Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
с углубленным изучением отдельных предметов № 5
им. А.М. Дубинного
Реферат по математике
Ученицы 10 «А» класса
Пирской Любы.
Учитель Кравченко А.Н.
Пятигорск 2007 г.
План.
Введение.
Линейные орнаменты и паркеты.
Как можно построить орнамент.
Атлас орнаментов.
Уравнения орнаментов.
Орнаменты в полярной системе координат.
Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики.
Герман Вейль (известный математик)
Введение.
Орнамент – это узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов для украшения каких – либо предметов или архитектурных сооружений.
Орнаменты с давних времен применяются в декоративном искусстве. Так, на рисунке 1 воспроизведены древнеегипетский орнамент (а), два мавританских орнамента (б, в),
  
Рис.1, а. Рис. 1, б. Рис. 1, в.
китайская оконная решетка (г), а также орнамент, украшающий окно мечети Каира (д).
 
Рис.1, г. Рис. 1, д.
С другой стороны, при исследовании геометрического строения кристаллов выявилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент. На рисунке 2 изображены проекции пространственных решеток граната, кварца и каменной соли (химические формулы -  ,  ,  ).
П о сути именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты.
Хотя орнаменты разных типов применялись в украшениях еще художниками Древнего Египта, полную их классификацию дал лишь в 1891 году крупнейший русский ученый Е. С. Федоров (в частности, он доказал, что число различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов в точности равно 17). Задача перечисления орнаментов возникла у Федорова в связи с потребностями кристаллографии — науки о геометрическом строении кристаллов. Как уже упоминалось, атомы и молекулы веществ, находящихся в
Рис.2
кристаллическом состоянии, образуют так называемую кристаллическую структуру — пространственный аналог орнаментов. Сечения подобных структур различными плоскостями представляют собой в точности плоские орнаменты, и группы симметрии плоских орнаментов принято называть плоскими кристаллографическими группами. Федоровым была получена и полная классификация пространственных кристаллографических групп — оказывается, их существует ровно 230!
Определение. Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия:
(1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы.
(2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.
Если плоский орнамент Ф отображается сам на себя при поворотах вокруг точки А на углы, только кратные 360°/п, где п — натуральное число, большее 1, то точка А называется центром симметрии порядка п этого орнамента Ф. (Плоский орнамент может иметь центры симметрии только порядков п=2,3,4 и 6.)
Линейные орнаменты и паркеты.
1. Линейные орнаменты.
Если плоская фигура отображается сама на себя при параллельных переносах только одного направления (и противоположному ему), причем среди этих переносов существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом - бордюром. (Рис.3)
Каждая эпоха, каждый стиль в архитектуре, каждая национальная культура выработали свою систему орнамента (мотивы, формы, расположение на украшаемой поверхности), поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства. Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса (рис. 3, а). Большое влияние на развитие орнаментального искусства оказал орнамент Древней Греции. Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие орнаменты - меандр и акант (рис. 3,6, в). Для азиатских культур древности и средних веков характерным видом орнамента были арабески - сложный орнамент, основанный на сочетании геометрических и стилизованных растительных узоров, иногда включающий в себя и надпись (рис. 3, г).
В ысокого развития достиг орнамент в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву. В плоскостном орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является так называемая плетенка - различного вида переплетения полосок типа лент, ремней, стеблей цветов (рис. 3, д).
Рис. 3
2. Паркеты.
Кроме рассмотренных линейных орнаментов (бордюров) существуют плоские орнаменты, заполняющие плоскость без промежутков. Такие орнаменты называются паркетами (Рис.4).
Рис. 4
Паркетом называется разбиение плоскости многоугольниками, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом.
Это такие же паркеты, как в наших квартирах, как орнаменты на линолеуме, как рисунки на обоях. Паркеты настолько часто встречаются в жизни, что мы не замечаем их. Тетрадный лист в клеточку – пример паркета с квадратной ячейкой (Рис. 5).
Рис. 5
На этой решетке можно составить и другие паркеты (их можно называть решетками). За элементарную ячейку можно взять и правильный треугольник. В этом случае плоскость заполняется без промежутков путем поворота треугольников вокруг их вершин на 60° (Рис. 6).
Рис. 6
Плоские орнаменты с древних времен привлекали к себе внимание художников. Пожалуй, из всех работ голландского художника М. Эшера лучше всего известны его орнаменты, т. е. периодические заполнения плоскости одинаковыми фигурами. Во время путешествия в Испанию Эшер старательно изучал и зарисовывал орнаменты в Альгамбре, выполненные в период мавританского владычества. В искусстве орнамента арабские мастера достигли совершенства. Ислам запрещает изображение человека, животных, рыб и птиц (в соответствии с заповедью: "Не сотвори кумира!"), поэтому мусульманские орнаменты составлены из абстрактных геометрических фигур. Эшера очень занимала задача составления орнаментов, использующих в качестве повторяющихся элементов реальные изображения.
Хорошо известен орнамент "Меньше и меньше". Здесь масштаб уменьшается к центру, который служит неподвижной точкой всего хоровода ящериц (Рис. 7).
Рис. 7
На орнаменте "Круговой предел" ситуация обратная - масштаб уменьшается к периферии рисунка (Рис. 8).
Рис. 8
Наконец, на последней работе Эшера "Змеи" масштаб уменьшается как к центру, так и к граничной окружности (Рис.9).
Рис. 9
Как можно построить орнамент.
Рассмотрим на плоскости фигуру Ф — квадрат с заштрихованной половинкой, как на рисунке 10, а, — а также два перемещения плоскости: - поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f2 = Sa — симметрию относительно прямой а — продолжения стороны квадрата (рис. 10, а).
Рис. 10
Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений  и  — в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф — так называемый плоский орнамент (с фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениями f1 и f 2): он изображен на рисунке 10, б.
Порядок построения этого орнамента показан на рисунке 11. Сначала мы забываем о заштрихованном треугольнике и применяем наши композиции только к квадрату. Повороты ,  ,  (рис. 11, а) добавляют к исходному три квадрата. Применив к этим квадратам симметрию f2 = Sa получим уже 8 квадратов — см. рисунок 11, б. Повторив проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией), получим картинку, изображенную на рисунке 11, в.
Рис. 11
Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений и дает сетку квадратов на плоскости — см. рисунок 11, г. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений , и их композиций (рис. 11, г): получится как раз орнамент, изображенный на рисунке 10,б.
Кроме прямой  , этот орнамент имеет много других осей симметрии — на рисунке 12, а они выделены пунктиром. Очевидно, при поворотах вокруг точки А на углы, кратные 90° (т. е. на углы 90°, 180°, 270° и 360° или 0°), весь орнамент отображается на себя, поэтому говорят, что А — центр симметрии порядка 4 (здесь 4 = 360° : 90°).
 Рис. 12
Наш орнамент имеет бесконечно много центров порядка 4 — на рисунке 12 это синие точки. Около каждой из них можно выделить состоящую из четырех треугольников фигуру «порядка 4» — две из них изображены на рисунке 12, а; весь орнамент можно представить в виде объединения таких фигур.
У данного орнамента есть еще и центры симметрии порядка 2, т. е. такие точки, при повороте вокруг которых только на угол 360° : 2 = = 180° орнамент отображается сам на себя— на рисунке 12, а они отмечены кружочками. Около этих точек, можно выделить фигуры «порядка 2»— три из них изображены на рисунке. Наконец, рассматриваемый орнамент отображается сам на себя и при бесконечном числе параллельных переносов, три из которых показаны на рисунке 12, б стрелками. На рисунке 12, б изображен как бы «скелет» нашего орнамента — оставлены только сетка осей симметрии и две «решетки» центров симметрии, порядков 4 и 2 (заметим, что центры симметрии порядка 2 — это то же самое, что и обычные центры симметрии).
Множество всех перемещений плоскости, при которых орнамент отображается сам на себя, называется группой симметрии орнамента — в нее входят и осевые симметрии, и повороты, и параллельные переносы.
Такое название согласуется с определением группы, принятым в математике – множество перемещений плоскости, отображающих орнамент на себя, является группой относительно операции композиции перемещений. «Скелет» орнамента можно понимать как схему его группы симметрий (только на скелете не изображены переносы).
Заметим, что любую «симметричную» фигуру данного «порядка» (Рис.12, а) можно некоторым перемещением из группы симметрий отобразить на любую другую фигуру того же «порядка».
Если вместо треугольника в фундаментальной области — в квадрате Ф — заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши построения дадут геометрически новый орнамент; например, так получены орнаменты на рисунке 13.
Рис. 13
Однако орнаменты А) и Б) имеют ровно ту же группу симметрии, что и предыдущий, — все эти орнаменты относятся к одному типу. Орнамент В) уже не относится к этому типу: за счет добавочной симметрии заштрихованной подфигуры у этого орнамента появились наклонные оси симметрии, а «половина» центров симметрии порядка 2 превратилась в дополнительную решетку центров симметрии порядка 4.
Атлас орнаментов.
На рисунке 14 изображены 15 фигур Ф и для каждой из них указаны некоторые, перемещения ,, ...; оси симметрии отмечены пунктиром, центры поворотов обведены кружком, а в скобках указаны углы поворотов; стрелками показаны параллельные переносы. Если в каждом случае применить к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений , , ... (в любом порядке и количестве), то получится 15 орнаментов.
Рис. 14
Это будут орнаменты разных типов: их группы симметрии устроены по-разному (имеют разные сетки осей симметрии или разные наборы порядков центров симметрии — разные «скелеты», — или же разные множества переносов). Начертив эти 15 орнаментов и их скелеты, вы наверняка подметите много интересных закономерностей.
Самое замечательное, однако, в том, что если добавить к этим орнаментам еще два, изображенные на рисунке 15, то получится полный «атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов, или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов.
Рис. 15
Уравнения орнаментов.
Под математическим орнаментом мы будем понимать рисунок, характеризуемым каким – либо уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений или системой неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.
Подбирая должным образом уравнения, можно получать самые разнообразные, подчас весьма причудливые картинки. Например, можно получить «рожицу», изображенную на рисунке 16.
 Как это сделать? Предварительно нам придется вспомнить, что числовой плоскостью называется множество всех пар действительных чисел. Любое множество точек числовой плоскости условимся называть геометрической фигурой, расположенной на числовой плоскости.
Можно, в частности, рассмотреть множество всех таких пар действительных чисел (x, y), для которых f(x, y)=0, где f(x,y) — заданное выражение. В этом случае
Рис. 16
говорят, что получающаяся геометрическая фигура описывается уравнением f(x, y)=0.
Так, уравнение x2 – y = 0 описывает параболу; уравнение x2 – y2 = 0 – две прямые (y = x и y = -x),пересекающиеся в точке (0, 0); уравнение x2 + y2 = 2 – окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом  ; уравнение  - квадрат с центром в точке в точке (0, 0) и вершинами, лежащих на координатных осях.
Теперь рассмотрим следующие уравнения:
 (1)
( n- целое число, принимающее значения  );
 (  ,  ); (2)
  ; (3)
 ; (4)
 ; (5)
 .
Уравнениям (1) соответствует овал лица, волосы и борода; уравнения (2) описывают глаза; уравнения (3) дают уши и нос; уравнению (4) соответствуют центры глаз и ноздри; уравнения (5) описывают рот и зубы рожицы, изображенной на рисунке 16.
На рисунке 17 (б, в) изображены ещё две фигуры, которые тоже можно описать уравнениями. В фигуре на рисунке 17, в используется даже кусок графика логарифмической функции.
Рис. 17
А теперь я расскажу, как можно получать уравнения, описывающие различные орнаменты.
Рассмотрим функцию  . Эта функция четна  и периодична  , поэтому ее график обладает зеркальной симметрией относительно оси ординат Oy и состоит из одинаковых периодически повторяющихся кусков.
Мы будем говорить, что график функции (его уравнение можно записать так: ) является линейным орнаментом.
Таким образом, линейный орнамент получается с помощью переносов некоторой основной фигуры вдоль некоторого направления. Если сам линейный орнамент считать основной фигурой и произвести над ним серию переносов вдоль нового направления, то мы получим двумерный орнамент. Повороты основной фигуры на углы, кратные  , приводят к круговому орнаменту.
Рассмотрим сначала один простой пример.
На рисунке 18 в качестве основной фигуры F0 взята окружность с центром в начале координат и радиусом r = 1, её уравнение в декартовой системе координат: x2 + y2 = 1.Заметим, что все точки окружности (кроме одной) лежат в полосе -  (отмеченной красным цветом).
Рис. 18
Перенесем фигуру F0 вправо вдоль оси Ox на 2 единицы масштаба; она займет положение F1, а красная область прейдет в синюю, определяемую неравенствами  (см. рис. 18). Уравнение окружности F1 в той же системе координат записывается уже в виде  .
Аналогично можно получить цепочку окружностей F-1 ,F2, F-2,…, Fk,
F-k,…Они образуют линейный орнамент.
Всю эту цепочку окружностей можно описать одним уравнением, если ввести в рассмотрение функцию  - целая часть. Вот это уравнение:  .
Если x находится в промежутке  , то это уравнение, как нетрудно проверить, задает одну из окружностей:  .
Вообще, если  (при  ) – уравнение некоторой геометрической фигуры, которую мы назовем основной фигуры F0, то линейный орнамент, полученный из F0 переносами на kT единиц по оси Ox ( где  ,  ), описывается уравнением
 . (6)
Пусть теперь основная фигура F0, заданная в полосе  переносится (по диагонали) на kT единиц по оси Ox и на kS по оси Oy. Тогда получается линейный орнамент со звеньями из фигур  ,расположенный вдоль отрезка, соединяющего начало координат (0, 0) с точкой  , а уравнение этого орнамента будет  (7)
(при  ). При  получается линейный орнамент, расположенный вдоль оси Oy. Комбинацией переходов (6) и (7) получаются уравнения двумерных орнаментов.
Интересно отметить, что если функция  определена в интервале , то функция  определена на всей вещественной оси  , периодична с периодом T и совпадает с  в интервале . Функцию  называют периодическим продолжением функции . Например, если  в промежутке (-1, 1), то  - периодическая функция с периодом T= 2, ее график приведен на рисунке 19.
Рис. 19
На рисунке 20 изображен линейный орнамент, составленный из дуг окружностей радиуса  . Основу этого орнамента составляет фигура F0
(красная часть рисунка 20), заданная уравнением
 .
Рис. 20
После серии переносов фигуры F0 по оси Ox ( при  ,  ) мы получим сам орнамент, уравнение которого после некоторых упрощений примет вид  .
Будем считать теперь этот орнамент основной фигурой и произведем над ним серию переносов по оси Oy (при  ). Мы получим двумерный орнамент, изображенный на рисунке 21.
Рис. 21
Интересный орнамент со сложной симметрией (если еще изменять цвета при преобразовании переноса в некоторых направлениях) изображен на рисунке 22.
Рис. 22
Основу белой части орнамента составляет фигура F0 – белая часть квадрата  ,  , ее уравнение
 по своей структуре напоминает уравнение основной фигуры, изображенной на рисунке 20. Производя над F0 сначала серию переносов по оси Ox ( при , ), а затем по оси Oy (при ,  ), мы получим всю белую часть орнамента, уравнение которой таково:   .
Уравнение черной части орнамента получается из этого уравнения заменой x на x-2 и y на y-2.
Теперь рассмотрим синюю, желтую и красную части трехцветного шестиугольного паркета, изображенного на рисунке 23.
Рис. 23
В основе синей части паркета лежит шестиугольник F0 – множество всех внутренних точек шестиугольника с центром в начале координат, вписанного в окружность радиуса  (Рис. 23).
У равнение этого шестиугольника можно записать в виде  , так как для этих и только этих точек выполняется неравенства
Рис. 23
 .
Чтобы получить синюю часть паркета, можно сначала произвести над F0 серию переносов по оси Ox ( при  ,  ), а затем полосу из фигур (на оси Ox ) перенести по диагонали ( при  ,  ,  ). Уравнение красной части паркета получается из построенного уравнения заменой y на y-2, а желтой части – заменой y на y+2.
Орнаменты в полярной системе координат.
Интересные круговые орнаменты получаются, если воспользоваться полярными координатами.
В полярной системе координат каждая точка А имеет две координаты (Рис. 24): Расстояние p от этой точки до начала координат O и угол  , который образует луч ОА с фиксированной осью (на рисунке 24 – с осью Ox);
о тсчитывается этот угол в положительном направлении (против часовой стрелки) от оси Ox. «Начало координат» (точка О) имеет координаты  и любой угол ; любая другая точка имеет однозначно определенную координату p и определенную с
Рис. 24
точностью до кратных  координату .
В полярной системе координат, как и в декартовой, можно описывать фигуру уравнениями. Например, уравнение окружности  на рисунке 18 будет  (как видим оно гораздо проще уравнения в декартовой системе координат).
Если  - уравнение основной фигуры, содержащейся в секторе  , то но аналогии формулой (6) уравнение
 (8)
задаёт круговой орнамент, составленный из фигур .
Например, можно описать уравнение правильного  - угольника, вписанного в окружность радиуса  . Уравнение  внутри сектора задаёт сторону АВ (рис. 25) , а после серии
поворотов отрезка АВ на углы, кратные  , получается и весь
- угольник. Его уравнение по формуле (8) может быть написано в виде 
Рис. 25
При и  получается правильный шестиугольник, изображенный на рисунке 23.
На рисунке 26 изображен орнамент, составленный из системы замыкающихся круговых цепочек по шесть кругов в каждой. Основу этого орнамента составляет множество всех внутренних точек первого черного круга с радиусом  , вписанного в сектор  . Уравнение этого круга будет  . После серии поворотов на
 углы, кратные  , получается первая круговая цепочка, состоящая из шести кругов радиуса , центры которых расположены на окружности радиуса  . Уравнение этой цепочки легко находится по
формуле (8):
Рис. 26
 , а следующие круговые цепочки получаются из первой растяжением полярных радиусов соответственно в 3, 9, …,  , … раз. Уравнение всего орнамента получится из последнего уравнения заменой  на  .
В самом деле, если угол меняется в пределах  , то полярный радиус остается без изменения, так как  . Если меняется в пределах  , то  и  , а замена на  в последнем уравнении соответствует преобразованию растяжения всех полярных радиусов в 3 раза. При  получаем  , что соответствует растяжению полярных радиусов в  раз и т.д.
Окончательно уравнение орнамента записывается в виде
 .
Заключение.
Орнамент стоит на первом месте по способности проникновения в разные виды искусства и по возможности обретать новый смысл, ранее с орнаментом не ассоциировавшийся. Но понятие орнамента не получило еще своего окончательного определения, несмотря на то, что орнаменту посвящена довольно обширная литература.
В заключении отметим следующие очевидные преимущества привлечения функции F(x,y) для описания геометрических фигур и орнаментов:
1. Соответствующий способ описания легко реализуется даже для достаточно сложных фигур, особенно если мы хотим обойтись одним уравнением или неравенством.
2. По имеющемуся уже аналитическому описанию можно без особого труда восстановить вид фигуры или всего орнамента целиком.
Список используемой литературы.
А. Земляков. Орнаменты./ Квант. – 1973 - №3 – с. 20-27
И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева Наглядная геометрия 5-6 класс/Издательский дом «Дрофа» 1998 г. – с.137-147.
М. И. Бржозовский. Уравнения орнаментов./ Квант. – 1972 – №7 – с.14–19.
Несколько орнаментов по мотивам Эшера./ Квант. – 1991 - №2 – с. 45
|
