Реферат Записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников

Скачать 410.26 Kb.

Название	Реферат Записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников
страница	3/7
Дата публикации	08.03.2015
Размер	410.26 Kb.
Тип	Реферат

100-bal.ru > Математика > Реферат

1 2 3 4 5 6 7

1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений

1.3.1 Идея метода

Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).

Предположим, что

, (1.15)
т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:

, (1.16)

где

– малая величина. Такие корни называются отделенными.

Далее из системы (1.7) соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1.3) получаем:

(1.17)
где

,…,

– малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами

, будем иметь приближенные соотношения

(1.18)
Откуда находим корни

(1.19)
Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины

в соотношениях (1.16)

Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение

, (1.20)
корнями которого

,…,

являются m-e степени корней

,…,

уравнения (1.3).

Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни

,…,

уравнения (1.20) будут отделенными, т.к.

при

.
Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени

1.3.2 Квадрирование корней

Многочлен (1.3) запишем в следующем виде

И умножим его на многочлен вида

Тогда получим

Сделав замену

и умножив на

, будет иметь

. (1.21)
Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена

(1.3) следующим соотношением

.
Следовательно, интересующее нас уравнение есть

,
коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)

, (1.22)
где предполагается, что

при

.

Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен

, (1.23)
в котором

, и т.д.

При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система

(1.24)
Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.

Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен

,
для которого также выполнена система (1.24) при

.

Так как в силу формулы (1.22)

, (1.25)
то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов

должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов

. Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.

Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.

Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле

(1.26)
Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения

в уравнение (1.3).

1.3.3 Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней

Рассмотрим теперь случай когда среди корней уравнения (1.3) содержаться одинаковые по модулю, тогда из предположения, что уравнение (1.3) не содержит кратных корней, следует, что если

, то

– коплексно-сопряженные.

Характерным признаком этого является тот факт, что при квадрировании корней коэффициент при

в уравнении (1.25), меняет знак, так как при наличии лишь действительных корней все коэффициенты преобразованных уравнений неотрицательны.

Согласно общей теории отделенных корней [1] корни

, соответствующие комплексным корням

, приближенно удовлетворяют квадратному уравнению

.
Откуда получаем модули корней по формуле

(1.27)
Относительную погрешность модуля найденного по формуле (1.27), без учета погрешности округлений при преобразованиях многочлена, можно оценить следующей величиной [2]

, (1.28)

где

Комплексные корни можно найти воспользовавшись первым и последним равенством из системы (1.7). Откуда

, (1.29)

. (1.30)
Тогда

находятся из квадратного уравнения

. (1.31)

1.3.4 Модификация метода Лобачевского–Греффе. Метод Бродетского–Смила

Пусть

– неопределенный параметр, малый настолько, что его первой степенью еще нельзя пренебрегать в вычислениях, а второй и более высокими степенями можно пренебрегать.

Для простоты предположим, что

(1.32)
Разложим многочлен (1.3) по степеням

.
Проделаем преобразования Лобачевского–Греффе над многочленом

. Как легко доказать [2], коэффициенты многочлена, полученного после k-го преобразования, будут иметь следующий вид

.
Пусть

– корень однократного модуля. Тогда при достаточно малом

представляет собой корень однократного модуля многочлена

. Его можно найти по формуле

При выполнении операций деления и извлечения корней над числами вида

можно пользоваться следующими формулами:

.
Тогда

, (1.33)
где

.
Так как

, то приравнивая модули коэффициентов при

, получим:

.
Заменяя

через

, будем иметь

.

Перепишем теперь равенство (1.33) в виде

.

Из соотношения

следует, что при положительном

и положительном

. Из соотношения (1.33) видно тогда, что

должно быть отрицательным. Аналогично получаем, что при отрицательном

и положительном

должно быть

, так что

.
Эта формула дает возможность вычислить корни однократного модуля без извлечения корней степени

и без неопределенности в знаке.

Рассмотрим теперь, как вычислить корни двукратного модуля

(по ранее сделанному предположению эти корни являются комплексно сопряженными). Для этого найдем квадратичный делитель

, где

1.3.5 Потеря точности в методе Лобачевского–Греффе

Коэффициенты многочлена в методе Лобачевского–Греффе растут неодинаково быстро и вскоре становятся величинами разного порядка.

Число преобразований многочлена обычно бывает невелико, и точность коэффициентов последнего многочлена по сравнению с точностью коэффициентов первого многочлена уменьшается за счет ошибок округления не более чем на две-три значащие цифры.

Разность между корнем последнего многочлена, взятым с обратным знаком, и соответствующей степенью корня исходного многочлена не превосходит, очевидно, безусловной погрешности корня последнего многочлена, обусловленной погрешностью округления.

Относительная безусловная погрешность корня довольно часто бывает величиной примерно такого же порядка, как и погрешность коэффициентов многочлена. Таким образом, относительная погрешность корня последнего многочлена лишь на несколько порядков превосходит погрешность округления.

При извлечении корня степени

относительная погрешность уменьшается в

раз, так что относительная погрешность найденного по методу Лобачевского–Греффе модуля корня оказывается величиной такого же порядка, что и погрешность округления. Таким образом метод Лобачевского–Греффе для однократных корней дает очень малую потерю точности.

1 2 3 4 5 6 7

Похожие:

	Реферат Пояснительная записка: с., рис., табл., приложений, источников.... Пояснительная записка: с., рис., табл., приложений, источников		Реферат Пояснительная записка содержит: 90 стр., 53 рис., 26 табл., 12 источников информации Телефонная сеть, оборудование связи, программный комплекс, база данных, клиентское приложение, паспортно-отчетная документация
	Реферат Отчет 35 с., 3 главы, 16 рис., 1 табл., 12 источников, 5 прил Объектом разработки является программа восстановления каркасных 3D объектов по 2D проекциям		Реферат Дипломный проект 117 с., 15 рис., 19 табл., 39 источников Цель работы – детальная разработка пункта технического обслуживания электровозов с комплексной механизацией
	Реферат Дипломный проект с. 114, рис. 4, табл. 17, источников 15, прил. 4 Целью работы является проектирование основного электровозного депо пассажирских электровозов постоянного тока серии чс		Реферат Дипломный проект  137 с., 49 рис., 33 табл., 23 источников ...
	Реферат Отчёт содержит: 189 с., 94 рис., 5 табл., 45 источников Целью работы является набор экспериментальных данных в физических сеансах измерений при энергии сталкивающихся пучков протонов до...		Реферат Объем: 119 стр., 16 рис., 7 табл., 7 использованных источников ...
	Реферат Тычинин И. А. Разработка приложения для портативных устройств... Тычинин И. А. Разработка приложения для портативных устройств с использованием qt framework, квалификационная работа на степень бакалавра...		Реферат по проекту рнп 2 4186 Отчет 55 с., 8 ч., 15 рис., 2 табл., 124 источников, 1 прил Ортологи гена sbr имеются у всех исследованных на этот предмет эукариот. Мутантные аллели гена
	Реферат Отчет 175 стр., 4 приложений, 6 табл., 65 источников правила... Правил, пояснения к ответам гу «гги» на замечания и предложения гу «вниигми-мцд»		Реферат Отчет 232 с., 4 ч., 53 рис., 29 табл., 197 источников Ландшафт, динамика, факторы, высотная поясность, горы, котловины, климат, рельеф, ледник, река, сток, природопользование, освоение,...
	Реферат Отчет 33 с., 2 ч., 26 рис., 2 табл., 7 источников Ключевые слова: фазовый химический состав, эффективный заряд атомов, рентгеновская эмиссионная спектроскопия, спектроскопия отражения...		Реферат Отчет 563 с., 2 тома., 45 рис., 34 табл., 35 источников, 9 прил Ключевые слова: звуковой корпус русского языка, грамматика речи, многоуровневая лингвистическая разметка, спонтанная речь, фонетика,...
	Реферат Отчет состоит из Введения, двух разделов, списка используемых... Содержание деятельности и результаты Мероприятия №7 «Подготовка и обучение различных возрастных групп населения г. Москвы основам...		Реферат Отчет 99 с., 7 ч., 47 рис., 28 табл., 26 источников Проект направлен на изучение термодинамической стабильности, структуры и свойств минеральных фаз, содержащих радиоактивные и токсичные...

Школьные материалы