5.3.Содержание разделов дисциплины «Математика», образовательные технологии
5.3.1.Лекционный курс для очной формы обучения
№п/п
|
Наименование темы дисциплины
|
Трудоемкость (часы/
зач. ед.)
|
Содержание
|
Формируемые компетенции
|
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
|
Образовательные технологии
|
Семестр 1
|
Тема 1.
|
Линейная алгебра
|
4/0,1
|
Матрицы, действия с матрицами. Свойства операций над матрицами. Понятие обратной матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Определители 2 и 3 порядков. Их свойства. Алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Правило Крамера. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
|
ПК-1
ПК-5
ОК-1
| Знать:основные понятия и теоремы линейной алгебры
Уметь: складывать, перемножать матрицы, находить обратную матрицу. Вычислять определители 2,3,…,n-го порядков. Решать СЛУ методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Решать однородные СЛУ.
Владеть: решением СЛУ с помощью компьютерных программ.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 2.
|
Аналитическая геометрия
|
8/0,23
|
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора. Длина вектора. Система координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространство R2 и R3. Полярная система координат. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Их свойства и выражение в координатной форме. Условие ортогональности и коллинеарностивекторов. Приложение в геометрии и технике. Простейшие задачи аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Признаки параллельности прямой и плоскости. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка. Окружность, эллипс, парабола, гипербола. Их геометрические свойства и уравнения. Поверхности второго порядка (эллипсоиды, гиперболоиды и т.д.). Понятие линейного пространства. Примеры. Линейные подпространства. Линейная зависимость. Базис. Линейные отображения. Собственные векторы и собственные значения.
|
ПК-1
ПК-3
ОК-1
|
Знать:основные понятия и теоремы аналитической геометрии.
Уметь: использовать полученную информацию для решения задач геометрии.
Владеть: навыками сбора и анализа информации, для решения задач повышенной трудности.
|
Лекции, проблемные лекции
|
Тема 3.
|
Предел последовательностиПредел функции.
|
6/0,17
|
Числовые последовательности.
Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Свойства пределов.Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющей предел. Бесконечный предел. Замечательные пределы.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычислении пределов. Понятие непрерывности функции. Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Классификация точек разрыва функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.
|
ПК-1
ОК-2
|
Знать:Основные определения и теоремы теории пределов.
Уметь: находить пределы функции в точке, в ∞, при различных видах неопределённостей, вычислять 1-ый и 2-ой замечательные пределы, определение непрерывности функции, определение точек разрыва.
Владеть: навыками сбора и анализа информации
|
Лекции
|
Тема 4.
|
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
|
8/0,23
|
Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного. Таблица производных.
Производная сложной и обратной функции.
Понятие сложной функции. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производная параметрически заданной функции. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции. Связь производной и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Примеры их применение, правило Лопиталя.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение функций ex, sinx, cosx, ln (1 + x), (1 + x)α по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора.Исследование поведения функции. Отыскание точек локального экстремума функции. Условия монотонности функций. Экстремумы. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функций. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывных на отрезке функций. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.Общая схема построения графиков функций.
Асимптоты функций. Примеры построения графиков функции.
|
ПК-1
ПК-2
ОК-1
| Знать:основные понятия и теоремы дифференцируемости функции одной переменной, правила дифференцирования, таблицу производных, таблицу дифференциалов. Уметь:применять полученные знания для вычисления производных функций, для построения графиков функций.
Владеть: навыками решения прикладных задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 5.
|
Интегральное исчисление.
|
10/0,27
|
Первообразная и неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования.Основные методы интегрирования.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и замена переменной.
Интегрирование рациональных функций. Использование методы разложения на простейшие дроби разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Условия существования определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Интеграл и переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница и ее применение для вычисления определенных интегралов. Вычисление определенных интегралов. Интегрирование по частям и замена переменной. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей криволинейной трапеции. Длина дуги кривой. Объем тела вращения. Работа переменной силы. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Их основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
|
ПК-1
ПК-2
ОК-1
|
Знать:понятие первообразной, свойства интегрирования, таблицу интегралов, определение определённого интеграла, несобственного интеграла.
Уметь:применять полученные знания для интегрирования различными методами, для решения определённого и несобственного интегралов.
Владеть: навыками решения прикладных задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
|
Итого за первый семестр
|
36/1
|
|
|
|
|
Семестр 2
|
Тема 6.
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
|
6/0,17
|
Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Геометрическое изображение функции двух переменных Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Градиент и производная по направлению.
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций двух переменных.
Экстремумы функции нескольких переменных. Определение экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие существования экстремума. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
|
ПК-1
ПК-2
ОК-1
ОК-2
|
Знать:основные понятия, теоремы теории функции нескольких переменных.
Уметь:находить частные производные 1-го и 2-го порядков, смешанные частные производные, экстремум функции.
Владеть: навыками описания зависимостей, существующих в природе, с помощью теории ФНП.
|
Лекции
|
Тема 7.
|
Дифференциальные уравнения.
|
6/0,17
|
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений 1-го порядка в различных областях науки. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциального уравнения.
Уравнения, высших порядков допускающие понижения порядка.Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Их основные свойства. Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского Структура общего решения.
Линейные однородные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. 3 возможных случая.
Линейное неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
|
ПК-1
ПК-2
ПК-5
ОК-6
|
Знать:основные понятия и теоремы теории дифференциальных уравнений.
Уметь:решать ДУ 1-го порядка с разделёнными и раздедяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ.
ДУ 2-го порядка, ДУ 2-го порядка, допускающие понижение степени, линейные ДУ высших порядков.
Владеть: навыками постановки и решения прикладных задач.
|
Лекции
|
Тема 8.
|
Ряды.
|
6/0,17
|
Числовые ряды. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Достаточные условия сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях значений функции и интегралов
|
ПК-1
ПК-5
ОК-6
|
Знать:основные понятия и теоремы теории рядов.
Уметь: применять признаки сравнения рядов, находить радиус и интервал сходимости, раскладывать функции в степенной ряд.
Владеть:применением рядов в приближённых вычислениях.
|
Лекции
|
Тема 9.
|
Теория вероятностей
|
6/0,17
|
Вероятность события. Случайные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятностей событий. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Основные формулы для вероятности событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Дискретные случайные величины. Виды случайных величин. Распределение дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана. Моменты. Основные виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное
Системы случайных величин. Распределение двумерной случайной величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Линейная регрессия. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
|
ПК-1
ПК-5
ОК-6
|
Знать: классическое определение вероятности, формулы комбинаторики, теоремы сложения и умножения вероятностей, условную вероятность, формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Пуассона, виды случайных величин, основные виды распределений.
Уметь: применять полученные знания при решении задач.
Владеть:приёмами решения нестандартных задач.
|
Лекции-беседы
|
Тема 10.
|
Математическая статистика
|
8/0,22
|
Выборка и ее распределение.
Выборочная и генеральная совокупности. Типы выборок. Полигон частот и гистограмм. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
Статистические оценки. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Точечная и интервальные оценки. Доверительный интервал. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Проверка статистических гипотез.Понятие статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Критерий Пирсона. Корреляционно-регрессионный анализ. Выборочные уравнения регрессии. Линейный коэффициент корреляции.
|
ПК-1
ПК-18
ПК-19
ОК-8
|
Знать: теоретический материал данного раздела.
Уметь: применять данный материал при решении задач математической статистики.
Владеть: навыками сбора и обработки информации.
|
Проблемные лекции
|
|
Итого за второй семестр
|
32/0.9
|
|
|
|
|
|
Итого:
|
68/1,9
|
|
|
|
|
|
