Законы распределения случайных величин
Между отдельными значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в генеральной совокупности существует определенная связь (это наглядно можно увидеть на графике зависимости частот от значения вариат).
Реализация того или иного эначения варьирующего признака представляет собой случайное событие. Предсказать появление случайного события в отдельных испытаниях (наблюдениях) можно лишь с некоторой уверенностью, или вероятностью, которое имеет данное событие. Случайной называется переменная величина, способная в одних и тех же условиях испытания принимать различные числовые значения. Функция
, связывающая значения вариант
с вероятностями
называется законом распределения случайной величины.
В природе широко распространена закономерность: в массе относительно однородных членов, составляющих статистическую совокупность, большинство их оказывается среднего или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня варьирующего признака , тем реже встречаются в данной совокупности. Такое поведение может описано
законом нормального распределения (формула Гаусса-Лапласа)
, где
- дисперсия генеральной совокупности,
- генеральная средняя арифметическая или математическое ожидание.
Величина
получила название нормированного отклонения.
Выборочные характеристики рассматриваются как приближенные значения или точечные оценки соответствующих генеральных параметров, которые, как правило, остаются неизвестными. Средняя арифметическая выборки
служит оценкой средней арифметической генеральной совокупности
, выборочная дисперсия
является оценкой генеральной дисперсии
,
- в качестве точечной оценки стандартного отклонения
генеральной совокупности.
Формально математическое ожидание соответствует средней арифметической эмпирических распределений. Однако отождествлять эти величины нельзя. Средняя арифметическая выражается отношением суммы всех членов ряда к их общему числу, а математическое ожидание представляет сумму произведений членов ряда на их вероятности. Эмпирическая средняя стремится к своей вероятной величине, то есть, к математическому ожиданию по мере увеличения числа испытаний: чем больше число испытаний, тем ближе эмпирическая средняя к математическому ожиданию.
Статистические гипотезы
Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называется статистической ошибкой этого показателя или ошибкой репрезентативности. Статистические ошибки - это не ошибки возникающие в результате измерений. Их пояление обусловлено процессом отбора вариант из генеральной совокупности и к ошибкам измерений отношения не имеют. Чем сильнее варьирует признак, тем больше при прочих равных условиях будет ошибка выборочных показателей и наоборот.
По известным значениям выборочных характеристик можно установить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится величина генерального параметра. Вероятности, признанные достаточными для уверенных суждений о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называются доверительными.
Решение той или иной задачи, как правило не обходится без сравнений. О преимуществе одной из сравниваемых групп судят обычно по разности между выборочными средними. Но эта оценка тоже может носить случайный характер. Чтобы решить вопрос об истинной значимости различий,наблюдаемых между выборочными средними исходят из статистических гипотез - предположений или допущений о неизвестных генеральных параметрах, выражаемых в терминах вероятности, которые могут быть проверены на основании выборочных показателей.
Применяется так называемая нулевая гипотеза (
), то есть, предположение о том, что между генеральными параметрами сравниваемых групп разница равна нулю и различия, наблюдаемые между выборочными показателями, носят исключительно случайный характер.
Противоположная или альтернативная гипотеза
, наоборот, исходит из предположения, что между генеральными параметрами сравниваемых групп разница не равна нулю.Статистические гипотезы могут исходить и из других предположений.
Истинность принятой гипотезы проверяется с помощью критериев значимости, или достоверности, то есть, специально выработанных случайных величин, функции распределения которых известны. Обычно для каждого критерия составляется таблица, в которой содержатся критические точки, отвечающие определенным числам степеней свободы (
) и принятым уровням значимости
.
Уровни значимости - значение вероятности, при котором различия, наблюдаемые между выборочными показателями, можно считать несущественными, случайными. В исследовательской работе обычно принимается 5% уровень значимости, который соответствует вероятности
=0,05 и нормированное отклонение
, если распределение критерия нормально. Если окажется, что
, то нулевая гипотеза сохраняется, иначе отвергается.
Рассмотрим гипотезу о равенстве средних арифметических исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и средняя арифметическая (
и
для первой выборки и
и
для второй). Нулевая гипотеза предполагает, что
.
Имеется ли различие между этими средними значениями? Чтобы определить какой характер носит это различие используют критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия будет определено по формуле:
, а
.
Вычисленное значение критерия сравниваем с критической точкой, взятой из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с выбранным уровнем значимости и числом степеней свободы
. Если
больше табличного значения, то гипотезу о равенстве средних следует отвергнуть. Это будет означать, что различие средних нельзя считать случайным.
Теперь рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и дисперсия (
и
для первой выборки и
и
для второй). Нулевая гипотеза предполагает, что
. Воспользуемся критерием Фишера
(отношение большей из дисперсий к меньшей). Вычисленное значение критерия Фишера сравниваем с критическим значением, взятым из таблицы распределения Фишера в соответствии с уровнем значимости
и степенями свободы
и
. Если вычисленное значение критерия больше табличного, то различие выборочных дисперсий следует признать значимым.
Чтобы проверить, распределен ли варьирующий признак по нормальному закону, поступают следующим образом. Пусть элементы выборки распределены по
- интервалам, причем
- тому интервалу (
) соответствуе частота
. Для проверки гипотезы о каком - либо распределении случайной величины используют критерий
(критерий Пирсона).
Вычисленное значение критерия определяется по формуле:
, где
- относительная частота соответствующая
- ому интервалу,
- теоретическая частота, соответствующая
- ому интервалу. Правило вычисления
и определение числа степеней свободы зависит от вида теоретического распределния и способа оценки его параметров.
Сравним эмпирическое распределение с нормальным.
, где
и
- левая и правая границы
- ого интервала,
- плотность нормального распределения. Для упрощения вычислений можно заменить интеграл в правой части этого равенства произведением длины промежутка интегрирования и значения функции в средней точке интервала, то есть,
.
В таблице распределения
находим критическую точку, соответствующую выбранному уровню значимости
и числу степеней свободы
(если
и
не определяются по имеющимся данным, а известны заранее, то число степеней свободы
). Если вычисленное по формуле значение критерия больше табличного, то на уровне значимости
прверяемая гипотеза должна быть отвергнута.
Можно поступить еще и так. Пусть
- абсолюное значение частоты
- ого интервала. Можно сравнить частоты теоретические и эмпирические. В этом случае
, где
- объем выборки.
Для нормального распределения характерно совпадение по абсолютной величине средней арифметической, медианы и моды. Для этого вида распределения характерно то, что на равные интервалы, измеряемые нормированным отклонением от центра распределения, приходится равное число вариант.
Кривую нормального распределения характеризуют величины асимметрия (
) и эксцесс.(
). Эти величины для рассматриваемой выборки можно определить, зная выборочные характеристики: среднюю арифметическую и дисперсию.
,
.
Можно оценить статистические ошибки выборочных характеристик. Для выборочной средней
, для асимметрии
, для эксцесса
. И нулевая гипотеза о том, что эмпирическое распределение нормально будет отвергаться, если
и
.
Контрольные вопросы
Связь математической статистики с теорией вероятности. В чем заключается закон устойчивости частот?
Дайте определение генеральной совокупности.
Что такое выборочная совокупность? В чем ее преимущество перед генеральной совокупностью? Каков должен быть объем выборки? Принцип отбора вариант в выборочную совокупность.
4. Дайте определение статистического вариационного ряда?
5. Описать технику построения статистического вариационного ряда.
Эмпирическое распределение, полигон распределения частот, гистограмма распределения частот.
7. Дать понятие средней величины.
8. Средняя арифметическая выборочной совокупности и ее свойства.
Дисперсия и стандартное отклонение выборочной совокупности. Свойства дисперсии.
10. Коэффициент вариации. Что он характеризует?
11. Дать определения медианы, моды эмпирического распределения.
12. Дайте характеристику нормального распределения.
13. Проверка статистических гипотез.
Содержание лабораторной работы «Элементы математической статистики»
Сформировать выборку из 100 элементов (значения элементов выборки – 6 раз просуммированные значения, полученные с помощью датчика случайных величин).
Построить вариационный статический ряд, соответствующий полученной выборке.
Найти среднюю арифметическую данной выборки, дисперсию, квадратическое отклонение.
Проверить распределены ли варианты выборки нормально:
найти ассиметрию, эксцесс выборки и проверить верна ли гипотеза о нормальном распределении;
найти теоретические частоты, используя нормальное распределение и сравнить их с экспериментальными частотами выборки.
Литература
Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. - М.: - Высшая школа, 1990.
Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: - Наука, 1988.
Власов В. К., Королев Л. Н., Сотников А. Н. Элементы информатики. - М.: - Наука, 1988.
Воробьева Г. И., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: - Высшая школа, 1990.
Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. - М.: - Наука, 1987.
Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. - М.: - Просвещение, 1998.
Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой. - М.: - Финансы и статистика, 1982.
Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику. - М.: - Издательство МГУ, 1987.
Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: - Высшая школа, 1976.
Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: - Наука, 1982.
