Министерство образования республики беларусь белорусский государственный университет гуманитарный факультет Кафедра информационных технологий

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Нелинейное программирование: Пример 1 Исследовать на экстремум функцию Решение. Находим частные производные: (2.30) Приравниваем частные производные нулю: (2.31) Решаем систему уравнений (2.31). Вычитая из первого уравнения второе, получим , поэтому x1 = x2 , и из первого уравнения найдем , откуда x1 = 0 или x1 = ±1. Имеем три стационарные точки: X1 = (0; 0); X2 = (1; 1); X3 = (-1; 1). Найдем вторые частные производные, используя (2.30): Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель Δ и применяем достаточные условия экстремума. В точке X1 = (0; 0) a11 = - 2; a12 = a21 = - 2; a22 = - 2; Вопрос об экстремуме остается открытым (такая точка называется седловой). В точке X2 = (1; 1) (а также и в точке X3 = (-1; 1)): Функция в этих точках имеет минимум, так как Δ > 0, a11 > 0. Zmin = -21 Пример 2 Решить задачу Решение. Необходимо найти переменные x1 и x2 ,удовлетворяющиеуравнению x1 + 2x2 = 4 (2.35) (уравнение связи), условию неотрицательности x1> 0, x2 > 0иобращающиевмаксимумфункцию (2.36) Ограничение (2.35) вместе рис. 2.8 с условиями неотрицательности определяют на плоскости x1 Ох2 отрезок AВ — замкнутую ограниченную область (рис. 2.6). Согласно теореме Вейерштрасса максимум функции может достигаться либо внутри этого отрезка, либо в граничных точках: А (4; 0) или В (0; 2). Следовательно, необходимо найти условный экстремум функции (2.36), если уравнение связи имеет вид (2.35). Из уравнения связи найдем, например, х1, и подставим в (2.36): x1 = 4 - 2x2 z = (4 - 2x2 )2 x2(4 - 4 + 2x2 x2) Упростив это выражение, получим z = 4 (2 - x2 )2 x22 (2.37) При этом x2 € [0; 2]. Найдем глобальный экстремум функции (2.37) на отрезке [0; 2]. Производная этой функции равна z' = 16 (2 - x2 )x2(1 - x2 ) Стационарные точки: x2 = 0, x2 = 1 и x2 =2. Одна из них х2 = 1, лежит внутри отрезка, две другие совпадают с концами. Найдем значения функции (2.46) в стационарной точке x2 = 2 и на концах отрезка: z(1) = 4; z(0) = 0; z(2) = 0. Следовательно, Zmax= 4 и достигается при x2 = 1, x1 = 4 - 2x2 = 2, т.е. в точке [2; 1]. Максимальный объем производства, равный Zmax = 4 ед., достигается при условии, что затраты производственных факторов х1 и x2 равны соответственно 2 ед. и 1 ед. Пример 3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции  при условии, что x1, x2, x3 удовлетворяют уравнению  Решение. Уравнение связи определяет в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат (2.7). Так как сфера — замкнутое рис. 2.9 ограниченное множество, то согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на ней своего наибольшего и наименьшего значений. Необходимо найти условный глобальный экстремум. Запишем уравнение связи в виде: Составим функцию Лагранжа: Найдем частные производные этой функции по x1, x2, λ. Приравняв частные производные нулю, получим систему: Решая систему, получим стационарные точки, в которых найдем значения функции Z. Выберем из всех значений z наибольшее и наименьшее: zнаиб. = 1, а zнаим. = 0. Легко видеть, в каких точках сферы достигаются эти значения. Пример 4 Найти наибольшие значения функции z = 2x12- x2 при ограничениях Решение ОДР (рис. 2.8) ограничена прямыми x1 — x2 = 2, x2 = 4, осями координат x1 = 0, x2 = 0 и гиперболой x1+ x2 x1 x2 - 0, уравнение которой приводится к виду  Линии уровня целевой функции — 2x12 - x2 = C Для разных значений С графиком уравнения x2 = 2x12 C является парабола с осью симметрии, совпадающей с осью ординат. При С = 0 парабола проходит через начало координат. При С > 0 параболы Рис. 2.10 сдвигаются вниз. Перемещая в направлении возрастания, получим, что линии уровня покидают ОДР через точку X* пересечения гиперболы и прямой x1 - x2 = 2. Решая систему, составленную из этих двух уравнений, получим

Похожие:

	Республики Беларусь Белорусский государственный университет Юридический факультет Принятие решения по акту проверки и порядок его обжалования в Республике Беларусь 3		Республики Беларусь Белорусский Государственный Университет Интересный факт из истории создания Java-технологии, или удар по «пакету Windows» 29
	Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный... Составители: В. А. Овсянкин, кандидат педагогических наук, доцент, Г. Н. Сущенко, старший преподаватель		Министерство образования и науки РФ новосибирский государственный... Когда появляется изображение цепи ордена Андрея Первоз­ванного на российском гербе
	Республики Беларусь Белорусский государственный университет Управляющие... Если необходимо обеспечить выполнение цикла хотя бы один раз, то удобно использовать оператор цикла с постусловием: 20		Дмитрий Олегович Роль информационных технологий в обеспечении деятельности... Роль информационных технологий в обеспечении деятельности банковской системы Республики Беларусь на примере сэд «Канцлер»
	Совершенствование правового регулирования таможенных процедур переработки... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный...		Государственный образовательный стандарт высшего профессионального... На основании статьи 35 Закона Республики Беларусь от 20 июля 2007 года "Об обращении с отходами" Министерство природных ресурсов...
	Классификация и кодирование информации; системы классификации; методы кодирования Министерство образования республики беларусь учреждение оразования «мозырский государственный педагогический университет имени И....		Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный... Контрольная работа предназначена для самостоятельного выполнения студентами с целью проверки качества освоения ими теоретического...
	Пояснительная записка программа интернатуры по оториноларингологии... Заведующая кафедрой болезней уха, горла, носа учреждения образования «Белорусский государственный медицинский университет», кандидат...		Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный... Дневник здоровья предназначен для определения физического состояния студентов бгпу, записи заданий преподавателя для самостоятельных...
	«московский психолого-социальный университет» факультет информационных технологий утверждаю Рабочая программа предназначена для бакалавров кафедр Информатики и математики и Информационных технологий очной и заочной формы...		Министерство образования и науки российской федерации правительство... Правила определяют основные требования технической эксплуатации железной дороги
	Применение технологий olap и Data Mining для поддержки принятия стратегических решений в вузе Дагестанский государственный университет, факультет информатики и информационных технологий, Махачкала, Россия		Учебно-методический комплекс по модулю «астрономия» (б кв ) Факультет... ...