Методические рекомендации по изучению дисциплины теория и методика обучения математике для студентов, обучающихся по специальности

Практическое занятие Логико-математический анализ определений понятий, основные этапы формирования понятий Основные цели работы: сформировать умения выполнять логико-математический анализ определений понятий школьного курса, показать на примерах возможную методику организации работы на основных этапах формирования понятий. Вопросы для обсуждения на занятиях Понятие. Объем и содержание понятия. Структура определения. Логико-математический анализ определений. Процесс формирования понятий. Варианты методики введения понятий школьного курса математики. Задания для подготовки к занятиям Вспомните основной теоретический материал темы. Выполните классификацию понятия «комплексные числа». Для понятий «отрезок» и «арифметический квадратный корень»: - установите способ определения; - определите структуру определения; - разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями. На основе анализа школьных учебников по математике 5-6 классов установите возможные последовательности изучения множества рациональных чисел. Для приведенных в списке понятий школьного курса математики установите вид (способ) определения, определите структуру определения (род, термин, видовые отличия, вид логических связей видовых отличий) понятий, которые определены через ближайший род и видовые отличия. Список понятий: десятичная дробь; обыкновенная дробь; равные дроби; модуль числа («Математика», 5-6 кл.); тождество; модуль числа; арифметическая (геометрическая) прогрессия («Алгебра», 7-9 кл.): точка; прямая; параллелограмм; прямоугольник: ромб; квадрат; симметрия относительно точки; параллельный перенос; скрещивающиеся прямые; параллельность прямой и плоскости («Геометрия, 7-11 кл.). Разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями трех понятий по одному из школьных курсов: «Математика», 5-6 кл., «Алгебра», 7-9 кл., «Геометрия», 7-9 кл. (выбор понятия осуществляет студент). Методический комментарий к заданиям Понятие – целостная многоуровневая иерархически организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Понятие характеризуется: объемом; содержанием (характеристическое свойство (свойства), присущее всем объектам класса). Средством раскрытия объема понятия является классификация. В качестве примера выполним классификацию понятия «четырехугольник». Классифицируя далее понятие «параллелограмм», можно в качестве основания классификации взять отношение длин смежных сторон и тем самым выделить из множества параллелограммов множество ромбов. Если же в качестве основания взять наличие прямого угла, то можно выделить множество прямоугольников. Множество квадратов будет пересечением множества ромбов и прямоугольников (заметим, что на этом шаге нарушен один из научных принципов проведения классификации, но, учитывая потребность решения задач, эту взаимосвязь между частными видами параллелограмма целесообразно показать). Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Виды определений: вербальные и невербальные (остенсивные). Вербальные в свою очередь делятся на явные (родовидовые) и неявные (аксиоматические и описательные). Неявно определяются исходные понятия; например, в курсе геометрии таковыми являются понятия точки, прямой. Структура явного определения: термин – род – видовые отличия. Видовые отличия могут быть заданы разными способами, например: описанием, отрицанием, конструктивно, рекурсивно. Таким образом, можно конкретизировать виды определений через ближайший род и видовые отличия, выделив определение понятия посредством указания характеристических свойств: конструктивные; рекурсивные; определения-отрицания. Видовые отличия, выделенные в определении, могут быть связаны конъюнктивно и дизъюнктивно. С учетом вида логической связи видовых отличий выделяют конъюнктивные и дизъюнктивные определения. Примеры выполнения логико-математического анализа родовидового определения понятия Пример 1. Определение неправильной дроби. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной дробью. Термин – неправильная дробь; род – дробь; видовые отличия – числитель больше знаменателя, числитель равен знаменателю. Видовые отличия соединены дизъюнктивно. Вывод: определение неправильной дроби вербальное, дизъюнктивное. Пример 2. Определение параллельных прямых. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Термин – параллельные прямые; род – пары прямых; видовые отличия – лежат в одной плоскости, не пересекаются. Видовые отличия соединены конъюнктивно. Вывод: определение параллельных прямых вербальное, конъюнктивное. Процесс формирования понятий у человека включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия) – представление (вторичный образ – создается у ученика в отсутствии наглядной основы) – предпонятие (образный концепт – ученик имеет образы, адекватные понятию, может назвать свойства объектов, существенные для понятия, но не может выделить их достаточный набор, может не владеть кванторами) – понятие (мыслится в системе понятий). Определить объект – значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия определяемого объекта от других. Существует два подхода к введению понятия и определения понятия: дедуктивный и индуктивный. Методика обучения математике выделяет основные этапы обучения явным определениям (раскрытия содержания математического объекта): логический анализ структуры определения объекта (термин, род, видовые отличия, их логическая связь); действие «подведение под понятие (решение задачи на «распознавание» – выделение математического объекта среди предложенных); действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением; если требует педагогическая ситуация, замена определения ему эквивалентным. Практическое занятие Методика обучения правилам и алгоритмам Основные цели работы: сформировать умения выполнять логико-математический анализ правил школьного курса, разрабатывать алгоритмические предписания; раскрыть методику на основных этапах работы: по введению правил и их применению; по обучению решению алгоритмических задач. Вопросы для обсуждения на занятиях Теоретический материал по теме «Алгоритмы, методика обучения правилам и алгоритмам». Варианты логико-математического анализа правил. Варианты разработки алгоритмических предписаний. Задания для подготовки к занятиям 1. Выделите основные теоретические положения по теме «Алгоритмы. Методика формирования алгоритмов в школьном курсе математики» по материалам лекции. 2. Выполните логико-математический анализ приведенных ниже правил по курсу математики 5-6 классов. Если правило не является алгоритмом, то разработайте соответствующий алгоритм. Правило умножения десятичных дробей: «Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную дробь, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. И в результате справа отделить запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе». Правило выделения целой части из неправильной дроби: «Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: разделить с остатком числитель на знаменатель; неполное частное будет целой частью; остаток (если он есть) дает числитель, а делитель – знаменатель дробной части». Правило деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю». 3. Разработайте алгоритм решения задачи нахождения наименьшего общего кратного двух чисел. 4. Разработайте алгоритм (памятку): - разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки; - разложения многочлена на множители способом группировки; - решения квадратного уравнения. Методический комментарий к заданиям Алгоритмы являются элементами теоретических знаний, с которыми учащиеся встречаются наряду с определениями понятий и математическими утверждениями (аксиомами, теоремами). Понятие алгоритм – основное, неопределяемое. Сущность его на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить задачу определенного типа. Свойства алгоритмов: 1. массовость (возможность использования для любой задачи данного типа); 2. элементарность и дискретность шагов (отдельные законченные шаги, каждый из которых в состоянии выполнить исполнитель); 3. детерминированность (однозначность определения первого и каждого следующего шагов, т.е. процесс решения задачи строго направлен); 4. результативность (точное выполнение указаний при решении задачи всегда приведет к результату, т.е. к получению математического факта). Одна из основных линий курса математики 5-6 классов – линия числа. На первом этапе обучения какой-либо операции на числовом множестве формулируется правило. Правило – это свернутый алгоритм. Обычно в правиле выделяются блоки – отдельные шаги (системы операций в сжатом виде, некоторые операции вообще не содержатся в формулировке правила). Это, в основном те операции, которые необходимы на начальном этапе применения правила и отработаны до введения правила. Можно утверждать, что любой алгоритм – правило; однако, не всякое правило является алгоритмом. Логико-математический анализ правил (алгоритмов) Логический анализ предполагает: - проверку наличия характеристических свойств алгоритма; - выделение последовательности операций и логических условий; - установление связей с другими знаниями. Математический анализ – установление математической основы, т.е. базовых математических положений. Если в результате логико-математического анализа правила учитель убеждается в том, что правило не является алгоритмом, то целесообразно (с учетом уровня подготовленности учащихся класса) разработать предписание выполнения того или иного действия, понятное каждому ученику. Также целесообразно проводить работу в этом направлении при обучении алгебре, алгебре и началам анализа. Основой разработки предписаний может служить, например, типовая задача темы «Тождественные преобразования», решение уравнения определенно го типа и т.д. Если на начальной стадии обучения к составлению алгоритмов желательно привлекать учащихся по мере возможности, то в старших классах это делать необходимо с целью формирования определенного исследовательского умения, именно умения открывать общий метод. Выделяются следующие основные этапы работы по введению правил, их применению и по обучению решению алгоритмических задач: - выполнение учителем логико-математического анализа правила; - разработка алгоритмического предписания (в случае необходимости); - разработка и проведение этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма; - введение алгоритмического предписания (обучающий этап); - этап закрепления (применение введенного алгоритма при решении типовых задач). Пример. Рассмотрим методику введения правила деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю». Проводим логико-математический анализ этого правила. Цель введения правила: сформировать умение выполнять деление дробных чисел. 1. Данное правило – не алгоритм, так как не обладает свойствами алгоритма, а именно: - свойством массовости (правило не является руководством для выполнения деления на натуральное число, деления смешанных чисел); - свойством элементарности и дискретности (не выделены отдельные и законченные шаги); - свойством детерминированности (не определен первый шаг, нет строгой направленности процесса выполнения действия); - свойством результативности (так как не обладает ни одним из указанных выше свойств). 2. Логические условия определения делимого, делителя и числа, обратного данному. 3. Базовые знания: понятие дроби; дробного числа; числа, обратного данному. Умения: выполнять преобразования дробных чисел (преобразование смешанного числа в неправильную дробь, обратное преобразование); при менять правило умножения дробей; упрощать дробь (сокращение дроби). Далее разрабатываем алгоритм. Разрабатывать алгоритмическое предписание можно двумя путями: сформулировать алгоритм для нахождения частного двух дробей и затем на примерах показать его применение к частным случаям деления натурального числа на дробь и дроби на натуральное число, деления смешанных чисел; частные случаи сразу включать в рассмотрение. Первый путь. Алгоритмическое предписание деления дроби на дробь: . Определите делимое . Определите делитель . Найдите дробь, обратную делителю . Делимое умножить на число, обратное делителю по правилу умножения дроби на дробь . Если возможно, полученную дробь упростите (сократите), выделите целую часть. Запишите ответ. Частные случаи: - если делимое или делитель – целое число, то, прежде чем приступать к выполнению предписания, представить его в виде дроби со знаменателем единица ; - если хотя бы один из компонентов действия – смешанное число, выразить его в виде дробного числа . Второй путь. Рассмотрим другой вариант оформления алгоритмического предписания. Необходимо выполнить систему подготовительных упражнений: - сократите дроби: ; ; - исключите целую часть: ; ; - замените неправильной дробью: ; ; - найдите произведение дробей: ; ; ; - найдите число, обратное данному: ; ; ; ; - умножьте: на число, обратное ; на число, обратное . На этапе введения алгоритмического предписания необходимо при выполнении заданий на нахождение частного дробных чисел каждый шаг выполнять в соответствии с предписанием (постоянно работать с ним). При рассмотрении частных случаев также следует обращаться к предписанию. При обучении алгебре на первоначальном этапе потребность в разработке алгоритмов не уменьшается. Пример алгоритмического предписания решения типовой задачи разложения на множители по формуле разности квадратов с рассмотрением примеров решения задач указанного типа. Условно назовем такого рода предписания памятками. Памятка по разложению многочлена на множители по формуле разности квадратов : Убедитесь, что данное выражение является разностью. Назовите выражения, составляющие эту разность. Проверьте, можно ли представить эти выражения в виде квадратов. Если выражения, составляющие разность, представимы в виде квадратов, то разложите данную разность на множители по формуле разности квадратов. Пример 1. Разложите на множители многочлен . Данное выражение является разностью: . Уменьшаемое: , вычитаемое: . Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов: , аналогично: . Разложим многочлен на множители по формуле разности квадратов: . Вывод: . Пример 2. Разложите на множители многочлен . Данное выражение является разностью: . Уменьшаемое: , вычитаемое: . Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов: и . Вычитаемое представить в виде квадрата нельзя. Вывод: многочлен разложить на множители по формуле разности квадратов нельзя.

Похожие:

	Методические рекомендации по изучению дисциплины в. 4 Теория и методика... Методические рекомендации по изучению дисциплины в. 4 Теория и методика обучения русскому языку и литературе для студентов, обучающихся...		Методические рекомендации по изучению дисциплины дпп. Ф. 11, Дс. 7 «Основы психоконсультирования» является профессионально-ориентированным курсом в системе подготовки студентов педагогического университета,...
	Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономика» Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономика» для студентов, обучающихся по специальности «Биология»		Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. Ф. 5 Теория... Утвердить прилагаемую Стратегию развития медицинской науки в Российской Федерации на период до 2025 года
	Методические рекомендации по проведению лингвокраеведческой работы в школе Методические рекомендации по изучению дисциплины дс. 6 Лингвистическое краеведение для студентов, обучающихся по специальности 050301....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Методические рекомендации предназначены для студентов, обучающихся по специальности 050303 Иностранный язык. Пособие содержит материалы...
	Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономика» Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономика» для студентов, обучающихся по специальности		Программа дисциплины «История и теория литературы» для направления 030600. 62 «Журналистика» Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. 12 История литературы для студентов, обучающихся по специальности 050403. 65...
	Программа дисциплины «История и теория литературы» для направления 030600. 62 «Журналистика» Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. 12 История литературы для студентов, обучающихся по специальности 050403. 65...		Московский университет в судьбе русских писателей и журналистов Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. Ф. 3 История отечественной литературы для студентов, обучающихся по специальности...
	Методические рекомендации по изучению дисциплины «Методика преподавания... Цель освоения дисциплины «Методика преподавания социологии» теоретическая и методическая подготовка студентов V курса к самостоятельной...		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 15,Опд. Ф. 4 Опд.... Курс «Теория и методика обучения «Физической культуре» предназначен для студентов, обучающихся по специальности Физическая культура»...
	Литвин Виктория Богдановна, к п. н., доцент кафедры литературы мгпу. 3 пояснительная записка Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. Ф. 3 История отечественной литературы для студентов, обучающихся по специальности...		Методические рекомендации по изучению дисциплины «Методология и методика... Цель освоения дисциплины «Методология и методика социологического исследования»
	Методические рекомендации по изучению дисциплины «Методы социологического... Для студентов специальности 050708. 65 «Педагогика и методика начального образования с дополнительной специальностью «Иностранный...		Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. 12 История литературы... Методические рекомендации по изучению дисциплины сд. 12 История литературы для студентов, обучающихся по специальности 050403. 65...