ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ |
|
| ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
|
539.3/.6(07)
Ч-498
В.Л.Данилов, О.Ф.Чернявский, Никитина И.Д. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Разделы
6. Основы теории напряжений и деформаций.
7. Критерии пластичности и разрушения
|
Челябинск
2008
|
УДК 539.3//6(07)
В.Л. Данилов, В.М. Сковпень, О.Ф. Чернявский, И.Д.Никитина. Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под.редакцией В.М. Сковпеня
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 3 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 4
6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ 5
НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА 5
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА 32
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО
ТЕЛА 38
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕНЗОМЕТРИИ 44
7. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ 53
КРИТЕРИИ ПОЯВЛЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЙ 53
КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ.
МЕТОД И КРИТЕРИЙ О.МОРА 68
РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН В КОНСТРУКЦИЯХ.
МОДЕЛЬ ГРИФФИТСА 72
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 80
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для использования студентами в процессе лекций в технически оснащённых аудиториях. Оно ни в коем случае не заменяет учебник или лектора и предназначено для более результативной работы студента на лекции. Отпечатанные в пособии схемы, рисунки и формулы являются копией материала, изображённого на дисплее (видеостенке, экране – при использовании кодоскопа) и предназначены для того, чтобы слушатель мог уделить больше времени анализу материала, общению с лектором и самостоятельной работе.
Чистые (не заполненные) участки пособия предназначены для конспектирования информации, излагаемой лектором и полученной студентом при самостоятельной работе (идей, определений, комментариев, некоторых выводов и обсуждения результатов). Как правило, в напечатанном тексте отсутствует описание постановки задачи и анализ результатов. Курсивом выделены вопросы, которые рекомендуется рассмотреть или в ходе лекции, или при самостоятельной работе студента.
Каждый преподаватель даёт свою трактовку курса, а каждый студент записывает то, что лично ему представляется необходимым зафиксировать на бумаге, поэтому использование уже заполненных кем-то конспектов неэффективно.
В конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и примеры типовых вопросов экзаменов прошлых лет.
Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей; при этом разделы курса, отражающие специфику той или иной специализации в нём, как правило, не приводятся. Предполагается, что в качестве основного учебника используется "Сопротивление материалов" В.И.Феодосьева (рекомендуется десятое издание, опубликованное МГТУ им. Н.Э.Баумана в 1999 г.)
Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.
6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ
НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
Напряжения в площадке, проведенной через заданную точку тела, зависят от положения площадки:
растяжение-сжатие:
 pv = cos ; v = cos2 ; 
MA = 0.
Рассмотрим сплошное тело (не обязательно упругое), нагруженное системой внешних сил (Pe) и находящихся в равновесии. Сплошность материала даёт возможность перехода к бесконечно малым объёмам.
Совокупность напряжений в точке тела, отвечающих всем проходящим через эту точку площадкам, называют НАПРЯЖЁННЫМ состоянием.
Выделим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед (с точкой О внутри) с помощью трёх плоскостей. Полные напряжения в секущей площадке раскладываем на три составляющих.
Размеры параллелепипеда:
dx dy dz
НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОЩАДКЕ, ПРОИЗВОЛЬНО НАКЛОНЁННОЙ К ОСЯМ
Д ано:
 , (v)(l, m, n)
Определить v, v, pv
-
Положение площадки определяется положением нормали v(l, m, n):
l2 + m2 + n2 = 1.
|
Площади граней:
Sv = S;
Sx = Sl;
Sy = Sm;
Sz = Sn.
|
Воспользуемся методом сечений и рассмотрим равновесие трёхгранной призмы:
X, Y, Z – составляющие полного напряжения pv;
pv = X2+Y2+Z2;
v
= Xl + Ym + Zn.
-
Условия равновесия
X = XS – xSx – yxSy – zxSz;
Y = YS – xySx – ySy – zySz;
Z = ZS – xzSx– yzSy – zSz;
Таким образом, зная напряжения в трёх взаимно перпендикулярных площадках можно найти напряжения в любой площадке, т.е. напряжённое состояние полностью характеризуют девять величин, совокупность которых называют ТЕНЗОРОМ НАПРЯЖЕНИЙ.
|
X = xl + yxm + zxn;
Y = xyl + ym + zyn; (1)
Z = xzl + yzm + zn;
направление
напряжений
|
И з компонентов тензора напряжений независимы только шесть. Докажем это, приравнивая к нулю сумму моментов сил, действующих на элемент:
My = zxdxdydz – xzdxdydz = 0; zx = xz;
Аналогично: xy = yx; yz = zy.
Эти равенства называют законом парности касательных напряжений: касательные напряжения во взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены к общему ребру этих площадок, либо от него.
ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Найдём секущую площадку, в которой касательные напряжения равны нулю.
X = l, Y = m, Z = n.
П одставляя в уравнение (1), получим:
l2 + m2 + n2 = 1
Отсюда: 
I1, I2, I3 – инварианты напряжённого состояния.
Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются ГЛАВНЫМИ.
Нормальные напряжения в главных площадках называются ГЛАВНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ, а соответствующие им координатные оси – главными осями напряжений.
В каждой точке тела имеются хотя бы три взаимно перпендикулярные главные площадки.
Обозначим: ГЛАВНЫЕ ОСИ – 1, 2, 3.
ГАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ – 1, 2, 3. 1 2 3.
ВИДЫ НАПРЯЖЁННЫХ СОСТОЯНИЙ
-
1. Линейное напряжённое состояние.
Одно из ГЛАВНЫХ напряжений отлично от 0.
|
|
|
|
|
2. Плоское напряжённое состояние.
Одно из ГЛАВНЫХ напряжений равно 0.
|
|
|
|
|
|
|
3.Объёмное напряжённое состояние.
Все ГЛАВНЫЕ напряжения отличны от 0.
|
|
|
|
НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОЩАДКАХ,
ПРОИЗВОЛЬНО НАКЛОНЕННЫХ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
-
Известны главные напряжения
|
|
Задана наклонная площадка
|
Определить v, v, pv
НАПРЯЖЕНИЯ В ОКТАЭДРИЧЕСКИХ ПЛОЩАДКАХ
Откаэдрическая площадка – площадка равнонаклоненная к главным осям:
 
НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОЩАДКАХ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ГЛАВНЫМ ОСЯМ
Д ано:
T = (1, 2, 3);
площадка 3, (v) (l, m, 0);
_____________________
Определить v, v.
l = cos, m = sin, n = 0;
v = 1cos2 + 2sin2 ;
v = (1 – 2)sin cos ;
 (2);
В системе координат (x = v, y = v) уравнение (2) является уравнением окружности, центр которой расположен на оси x (v) на расстоянии  от начала координат, а радиус  .
КРУГ НАПРЯЖЕНИЙ О.МОРА
Графическое изображение напряжений v, v в площадках, наклонённых к оси 1, при разных углах .
Круговая диаграмма напряженного состояния
Любая точка круга напряжений соответствует площадке, параллельной 3 и наклоненной под углом к направлению 1.
Площадка A перпендикулярна площадке B.
ПОЛНАЯ КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙ О.МОРА
Аналогично можно рассмотреть площадки параллельные 1 и 2:
СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ. НАИБОЛЬШИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Главные площадки 1, 2, 3 n = 0;
1 = max(v, v, pv);
3 = min(v, v, pv).
 – действует в площадках 2 и равно наклоненных к направлениям 1 и 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ
В случае, когда направление одной из главных осей и величина соответствующего главного напряжения известны:
Д ано:
 Sz – главная площадка;
z = Iгл ;
Sx, Sy – не главные площадки.
Определить:
IIгл и IIIгл , .
Две неизвестные главные площадки параллельны оси z и их нормали составляют с осью x углы и + 90.
Sv = Sn – главная площадка;
n – главное напряжение; n = 0;
Sx = Sncos; Sy = Snsin.
Уравнения равновесия:
  (*)
Система линейных однородных уравнений относительно cos и sin должна иметь не нулевое решение, т.к. cos2 + sin2 = 1.
Отсюда:
После определения IIгл и IIIгл с учетом z = Iгл обозначаем: 1 2 3.
Уравнение равновесия:
 
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ,
ХАРАКТЕРНОЕ ДЛЯ ТОЧЕК СТЕРЖНЯ
В площадках, параллельных оси стержня, нормальные напряжения равны нулю. Для точек стержня исходными площадками являются:
-
Растяжение
|
Сжатие
|
Линейное однородное напряженное состояние
Чистый изгиб
линейное неоднородное напряженное состояние
Кручение
 
Поперечный изгиб
Сложное сопротивление
Рассмотрим точки 5, 6, 7 и 8:
 
 
|
или
