ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА
 – полное перемещение т. A;
u, v, w – компоненты перемещения т.A по осям x, y и z.
Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называют деформированным состоянием в точке, а величины x, y, z, xy, xz, yz называют компонентами деформированного состояния.
Если по граням AD и BС действуют напряжения , размеры ребер изменяются, но углы между ними остаются прямыми.
|
Касательные напряжения приводят к перекусу элемента, длина ребра не изменяется.
|
Линейные деформации x и y связаны c нормальными напряжениями , а сдвиг зависит от касательных напряжений .
В плоскости x0y: Соответствие:
 x x; y y;
Аналогично две другие плоскости x0z и y0z:
z x;
 – тензор деформаций в точке тела.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Соответствие:
x x; y y; z z
Напряженное состояние
|
Деформированное состояние
|
|
|
Главные оси – 1, 2, 3.
|
Главные напряжения – 1 2 3
|
Главные деформации – 1 2 3
|
|
|
ВИДЫ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
1 2 3 – главные деформации (в соответствующих площадках = 0).
Для изотропного тела направления главных осей деформаций и напряжений СОВПАДАЮТ.
 
объемное деформированное состояние
плоское напряженное состояние
1 = z > 0; 2 = x = 0; 3 = y < 0.
плоское деформированное состояние.
Абсолютно жесткая матрица Объемное напряженное состояние
1 = x = 0; 2 = z = 0; 3 = y < 0.
Линейное деформированное состояние
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Рассмотрим упругое состояние материала.
|
Дано:
x, y, z, E, G и – физические константы
материала.
Определить x, y, z
|
|
Принцип независимости действия сил
|
|
|
|
|
|
|
Закон Гука для произвольных осей:
О    бобщенный закон Гука для главных осей:
ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Объемная деформация – относительное изменение объема в точке тела:
dx1 = (1+x);
dy1 = (1+y);
dz1 = (1+z);
Абсолютное приращение объема:
V = V1 – V0 = dx1dy1dz1 – dxdydz;
V = dx(1+x) dy(1+y) dz(1+z) – dxdydz;
При x << 1, y <<1, z << 1: V = (x+y+z)dxdydz.
Относительное изменение объема:
 . При повороте осей величина e в точке тела не меняется.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕНЗОМЕТРИИ
Тензометрия – замер деформаций с помощью специальных приборов – тензометров. Тензометры: механические (рычажные) или электрические.
В электрических тензометрах различают две основные части: датчик (преобразователь) и измерительное устройство.
Принцип работы датчика (тензометра) основан на изменении омического сопротивления проволоки при ее удлинении или укорочении.
1 – проволочная решетка (константан, нихром) d = 0,02…0,03 мм;
2 и 3 – тонкая бумага;
4 – соединительные провода;
l – база тензорезистора ( = 1,5…20 мм).
– деформация тензорезистора в направлении его продольной оси;
R – сопротивление тензорезистора.
С помощью датчика сопротивления замеряют на поверхности детали линейную деформацию по направлению базы.
По известным  и  вычисляют  и  (обобщенный закон Гука).  на поверхности тела.
1 2 3;
1 2 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ
 
Если направление главных осей неизвестно, замеряют деформации по трем направлениям с помощью розетки из трех датчиков сопротивления.
Замер деформации по третьему направлению (в частности – под углом 45 к осям x и y) позволяет вычислить угловую деформацию
xy = 245 – x – y;
1 2 3;
1 2 3.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Что называется напряженным состоянием в точке тела?
Какими компонентами напряжений характеризуется напряженное состояние в точке? Каково их число?
Какие оси напряженного состояния называют главными?
Какие площадки и напряжения называются главными?
Какое напряженное состояние в точке деформируемого тела называется линейным, плоским или объемным?
Как определяются величины главных напряжений в случае, когда одно из них известно (записать формулу)
Как определяются величины главных напряжений и положение главных площадок для точек стержня?
Как определяется (написать формулу) положение двух других главных площадок, если одна главная площадка в исследуемой точке может быть указана заранее?
Как принято нумеровать главные напряжения?
Какое напряженное состояние возникает в тонкостенной трубке при ее скручивании?
Какими компонентами деформаций характеризуется деформированное состояние в точке тела?
Связь между какими величинами устанавливает обобщенный закон Гука?
Как записываются относительные деформации (в направлении соответствующих осей) через напряжения?
На основании какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения обобщенного закона Гука?
Каким образом связаны три упругие константы материала?
Назовите виды деформированных состояний.
Какое напряженное состояние возникает в точках стержня при кручении?
Какие напряженные состояния возникают в точках стержня при одновременном скручивании его и косом изгибе?
Может ли возникнуть трехосное (объемное) напряженное состояние в какой либо точке пространственной рамы, нагруженной сосредоточенными силами в трех взаимно перпендикулярных плоскостях?
С какой целью строят круговые диаграммы напряжений?
Что называется кругом напряжений и что характеризует каждая точка этого круга?
Может ли круг Мора превратиться в точку? Если да, то какой вид напряженного состояния она характеризует?
По какой формуле определяются величины главных напряжений для случая плоского напряженного состояния?
Сколько кругов Мора следует построить, чтобы полностью охарактеризовать напряженное состояние в исследуемой точке?
По каким площадкам действуют экстремальные касательные напряжения?
Как определяются главные напряжения и положения главных площадок при помощи круга Мора?
Чему равна величина наибольших касательных напряжений при сложном напряженном состоянии?
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПРОШЛЫХ ЛЕТ
Деформированное состояние в точке тела и его компоненты. Тензор деформаций. Аналогия между зависимостями в теориях напряжений и деформаций. Виды деформированных состояний.
Напряженное состояние в точке тела и его компоненты; их обозначение и правило знаков. Тензор напряжений в точке тела.
Главные оси и главные напряжения. Виды напряженных состояний.
Круговая диаграмма напряжений. Свойства главных напряжений, вытекающие из круговой диаграммы. наибольшие касательные напряжения в точке тела.
Напряженное состояние стержня при растяжении, сжатии и кручении. Определение положения главных осей и величин главных напряжений. Круговые диаграммы напряжений.
Напряженное состояние точек стержня в общем случае действия сил. Определение компонентов напряженного состояния, положения главных осей и величин главных напряжений.
Определение главных напряжений и положения главных осей для элемента, у которого направление одной из главных осей и величина соответствующего главного напряжения известны (вывод формулы).
Напряжения в площадках, произвольно наклоненных к главным осям (вывод формулы для объемного напряженного состояния). Напряжения в октаэдрических площадках.
Напряжения в площадке, параллельной одной из наклоненных к двум другим главным осям (при выводе формул воспользоваться выражениями  ,  ). Окружность напряжений О.Мора.
Напряженное состояние стержня при чистом и поперечном изгибе. Определение положения главных осей и величин главных напряжений. Круговые диаграммы напряжений.
Связь между напряжениями и упругими деформациями для изотропного материала в общем случае напряженного состояния – обобщенный закон Гука (в главных и произвольных осях). Связь между упругими константами.
|
Дано:
E = 2105 МПа;
= 0,3
Определить
1, 2, 3
|
|
Определить
окт, окт
|
|
|
|
При каком значении x
x = 0
|
Кубик из материала
 Абсолютно жесткая матрица
|
Дано:
, E,
Определить
1, 2, 3
|
|
