Математическое моделирование скорости скатывания вагона на первом профильном участке горки

УДК 656.212.5 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ СКАТЫВАНИЯ ВАГОНА НА ПЕРВОМ ПРОФИЛЬНОМ УЧАСТКЕ ГОРКИ Доктор техн. наук, профессор Х. Т. Туранов, канд. техн. наук, доцент С. А. Ситников аспирант А. В. Мягкова (Уральский государственный университет путей сообщения) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ СКАТЫВАНИЯ ВАГОНА НА ПЕРВОМ ПРОФИЛЬНОМ УЧАСТКЕ ГОРКИ Doctor (Tech.), Professor Turanov Kh. T., Ph. D. (Tech.) Assistant Professor Sitnikov S. A. Aspirant Myagkova A. V. (Ural State University of Railways – USURT) Ключевые слова: сортировочная горка, профильный участок горки, реакция связи, упрощённые расчётные модели, момент трения качения, качения со скольжением, теорема об изменении количества движения материальной точки. Key words: sorting hump, a profile hump section, reaction of constraint, simplified computation models, rolling friction moment, sliding rolling, theorem of material point momentum changes. Аннотация. В статье показан учёт моментов трения качения (чистое качение) колёс о рельсовые нити и в подшипниках буксовых узлов передней и задней тележек вагона с последующей их заменой условным трением скольжения. Отмечено, что, если активная сила в виде проекции силы тяжести и силы аэродинамического сопротивления на направления скатывания вагона (или отцепа), воздействующая на вагон, больше предельной силы трения, то одновременно с качением возможно также скольжение колёс о рельсовые нити. Получена аналитическая формула для нахождения разности движущих сил и всех сил сопротивлений при качении колёс со скольжением, которая на основе теоремы об изменении количества движения материальной точки позволила составить математическую модель для отыскания скорости одиночного вагона (или отцепа) на первом профильном участке горки. Выполнен анализ результатов решения задачи по определению скорости скатывания вагона. Отмечено, что теорема об изменении количества движения материальной точки для решения задачи нахождения времени скатывания с горки применима только тогда, когда известна конечная скорость вагона, в противном случае решение задачи в такой постановке окажется бессмысленной. Постановка задачи. Анализ литературных источников [1 – 5] показывает, что в рекомендуемых формулах для определения времени скатывания вагона (или отцепа) с горки вовсе не учтены движения вагона по профилю горки при качении колёс со скольжением, если не считать, что такое движение косвенно учтено понятием основное удельное сопротивления wо, которое найдено эмпирически. Без пояснений причин возникновения различных видов сопротивлений, появляющихся при скатывании вагона с горки, отмечено, что «определяющими факторами являются: основное удельное сопротивления wо, удельное сопротивление от воздушной среды и ветра wсв, удельное сопротивление от снега и инея wсн; дополнительными – эпизодические силы сопротивления от ударов на стрелочных переводах wс, при движении в кривых wк и торможении на замедлителях wт». Все указанные виды безразмерных удельных сопротивлений (т. е. сопротивлений, отнесённых к силе тяжести вагона) найдены по эмпирическим формулам. Кроме того, следует учесть, что результаты решения задачи на определение времени движения вагона при скатывании с горки, которые получены в [4], могут быть использованы только лишь для определения времени остановки (или торможения) вагона t1, учитывая, что в этот момент конечная скорость вагона vк = 0. В [5] построены расчётные модели скатывания вагона с сортировочной горки и сделана попытка нахождения времени его скатывания, принимая, следуя [1, 2], скорость скатывания по формуле, по которой находят скорость свободно падающего тела с заданной высоты, что является ошибочным. Таким образом, до настоящего времени из виду исследователей остались вовсе упущенными построения математической модели скатывания вагона с горки в строгом соответствии с классическими положениями теоретической механики, позволяющие найти скорость скатывания вагона с горки. В связи с этим, нахождения скорости при скатывании по профилю горки всё ещё является актуальной задачей железнодорожного транспорта и транспортной науки. Формулировка задачи. Требуется составить математическую модель скорости скатывания вагона (или отцепа) с горки при встречном и/или попутном ветре с учётом движущих сил и сил сопротивлений на первом профильном участке (от вершины горки до начала первой тормозной позиции). Методы решения. Воспользуемся классическими понятиями и положениями теоретической механики, например, такими, как связи, реакции связи, принцип освобождаемости от связей, закон Кулона, момент трения качения, второй (основной) закон Ньютона, теорема об изменении количества движения материальной точки [6]. Условия задачи и принятые предпосылки. Рассмотрим общий случаи, когда вагон с сортировочной горки скатывается поступательно с заданной начальной скоростью v0 (обычно 4–5 км/ч или 1,1…1,38 м/с, а допустимая скорость доходит до 7 м/с). При скатывании одиночного вагона (или отцепа) с горки вагон будет испытывать воздействие в основном внешних сил в виде сил тяжести вагона с грузом или без груза – и силы аэродинамического сопротивления воздуха – (где ). Считаем, что все допущения, принятые в [5], остаются в силе, например, груз в вагоне размещён симметрично относительно продольной и поперечной осей симметрии так, что колёсные пары от силы тяжести груза нагружены равномерно [7, 8]. Особо отметим, что сила аэродинамического сопротивления воздуха относится к классу реактивной силы, зависит от относительной скорости и действует на вагон, движущийся в такой, например, среде, как воздух. Сила аэродинамического сопротивления  это результат учёта отбрасываемой среды (воздух). Как и другая реакция, сила препятствует движению, в данном случае относительно скорости движения воздушного потока (встречный ветер) . Вместе с тем, сила может быть отнесена к числу активных сил, поскольку, начав действовать на объект, может привести его в движение, если направление скорости воздуха (попутный ветер) совпадает с направлением скорости вагона [5]. Заметим, что к числу движущих сил относятся проекции силы тяжести и, в случае попутного ветра, силы аэродинамического сопротивления на направления движения вагона , а к числу все возможных видов сил сопротивлений – силы аэродинамического сопротивления , в случае встречного ветра, и все случайные (или эпизодические) сопротивления [5]. Решение. За упрощённую расчётную модель скатывания вагона на первом профильном участке горки, учитывающая трение качения (чистое качение), примем модель, показанной на рис. 1 [5]. Рис. 1. Упрощённая расчётная модель скатывания вагона с горки а) – при встречном ветре; б) – при попутном ветре Для колес колёсной пары вагона, скатывающегося с горки, из-за того, что всегда соблюдается условие , т. е. F > (fк/rк)Fz (где F и Fz – сумма проекции всех активных сил на вертикаль, кН; rк – радиус колеса). Здесь отношение fк/rк для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения скольжения f, которого между контактируемыми поверхностями колёс грузовых вагонов и рельсовых нитей принимают 0,25 [9]. Отсюда ясно, что трение качения при необходимости можно заменить условным трением скольжения при чистом качении [6] , (1) где nк – количество колёс в тележках, шт. (nк = 8); fк – коэффициент трения качения, м, поскольку этот коэффициент равносилен плечу пары трения качения (колесо по рельсу fк = 5×10-6, сталь закаленная по стали fк = 1×10-6), rк – радиус колеса, равный для грузового вагона 0,475 м; Fz – сумма проекции всех активных сил на вертикальную ось, приходящейся на каждый буксовый узел, кН: ; (2) или . (3) На механическую систему также действуют внутренние силы в виде моментов трения качения MтрпA () и MтрпB () в подшипниках буксовых узлов передней A и задней B тележек вагона, причём Mтрп = MтрпA + MтрпB (см. рис. 1). В точках соприкосновения с телами качения внутреннего диаметра внутреннего кольца подшипника появляются внутренние силы Nпк – нормальная реакция подшипника и в той же точке на тела качения от внутреннего кольца подшипника действует такие же по модулю, но противоположно направленная реакция Nп. Здесь, (2, а) (i – количество колёс на одной оси тележки); Момент трения качения в подшипниках буксовых узлов передней и задней тележек вагона Mтрп = nбfк0Nп, (4) где nб = 8 – количество буксового узла в тележках, шт.; fк0 – коэффициент трения тел качения по кольцам подшипника (обычно принимают ~1·10–6), м; Nп – нормальная реакция, приходящейся на один подшипник качения, или сила, действующая на наиболее нагружённое тело качения и определяемое по формуле, кН [10]: (4, а) с учётом того, что nтк – общее количество тел качения, воспринимающих нагрузку в каждом подшипнике, шт.; k – постоянный коэффициент, принимаемый в зависимости от рядности и типа подшипников качения (для однорядных подшипников k = 4, для роликоподшипников с nп = 10…20 среднее значение k 4. Учитывая влияние зазора в подшипниках качения, для расчёта принимают k = 4,6). Аналогично (1) трение качения можно заменить условным трением скольжения при чистом качении тел качения в подшипниках [6] , (4, б) где nп – количество подшипников в буксовых узлах тележек, шт. (nп = 16); rп – наружный радиус внутреннего кольца подшипника качения, м, Перепишем последнюю формулу с учётом (2) и (3, а): . (5) Объединив (3) и (5), трение качения колёс можно заменить условным трением скольжения при чистом качении колёс и тел качения в подшипниках буксовых узлов: , или , или . (6) где f0 – некоторый условный (или приведённый) коэффициент трения скольжения: . (6, а) Особо отметим, что, если активная сила , воздействующая на вагон, больше предельной силы трения (где N – нормальная составляющая реакции рельсовых нитей), т. е. , то одновременно с качением возможно также скольжение. При этом отношение будет больше коэффициента трения скольжения f, т. е. . Такой случай возможен при воздействии на вагон проекции силы аэродинамического сопротивления при попутном ветре и силы (которая стремиться прижать гребни наружных колёс колёсных пар тележек к упорному рельсу), когда активная сила равна и соблюдается условие . Тогда расчётная модель, например, при воздействии попутного ветра, имеет вид, показанный на рис. 2. Рис. 2. Упрощённая расчётная модель скатывания вагона с горки при качении колёс со скольжением На рис. 2 видны, что на скатывание вагона с горки противодействуют силы трения скольжения колёс о рельсовые нити в виде FтрA () и FтрB (). Силы трения согласно закону Кулона состоит из двух слагаемых, учитывающих силы трения от нормального давления и ветрового давления с боковой стороны вагона: , (7) где – силы трения скольжения колёс по рельсовым нитям от воздействия нормальной составляющей () реакции связи: с учётом того, что fск – коэффициент трения скольжения колеса по рельсу (обычно «метал по металлу» – fск = 0,15…0,25); – силы трения скольжения гребней колёс по упорному рельсу от воздействия проекции силы аэродинамического сопротивления с боковой стороны вагона : с учётом того, что fск0 – коэффициент трения скольжения гребней колеса по рельсу (обычно принимают fск0 = 0,25 [9], а в случае применения гребнесмазывателей (или лубрикаторов) значение fск0 значительно меньше) (в частном случае fск = fск0). Рассмотрим случай плоской системы сил, когда отцеп скатывается с горки по прямому профилю пути с учётом того, что результирующая силы аэродинамического сопротивления направлена под некоторым углом к направлению скатывания вагона с горки, т. е. [5]. Вводя понятия «сдвигающих» и «удерживающих» сил, с учётом всех активных и реактивных сил, которые найдены в [5], получим: – при встречном ветре ; – при попутном ветре ; – при встречном ветре ; – при попутном ветре . Скатывания вагона с горки произойдёт лишь при соблюдении условия: , (8) или , (9) где ΔFx – движущая сила, вынуждающая скатывание вагона с горки. Записав условия равновесия плоской системы сил, получим: , или , (10) где знак «минус» соответствует встречному ветру, «плюс» – попутному ветру (см. рис. 1); Fτ – сумма всех сил сопротивлений при качении колёс со скольжением: . (11) Подставляя (11) и (2) или (2, а) в (10), будем иметь: или, после элементарных математических выкладок, Преобразуя последнее выражение, получим: Согласно (9) последнему соотношению придадим вид: (12) Таким образом, сила ΔFx является активной силой, которая согласно второму закону Ньютона, начав действовать на отцеп, вынуждает скатывание вагона с горки с ускорением. При начальных условиях: и (где v0 и vк – заданная начальная и приобретённая конечная скорость отцепа), теорема об изменении количества движения материальной точки [6] запишется в виде: или , (13) где М – масса вагона с грузом, кг; tк – время прохождения вагона на любом участке горки, с; vк – приобретённая конечная скорость вагона (величина отыскиваемая), м/с. Подставляя (12) в (13) и разделяя полученный результат на массу отцепа M, и учитывая, что , будем иметь: (14) В (14) будем учитывать, что и , где Lс и l0 – профильная длина первого профильного участка горки и её проекция на горизонталь, м; – крутизна первого профильного участка горки, ‰ (рис. 3). Рис. 3. Профиль различных участков горки На рис. 3 первый профильный участок горки имеет профиль 0 – 1 – 2 и на участке 1 – 2 расположена 1-я тормозная позиция (1ТРП) с координатами a и b. На нём обозначены: ВГ – высота горки; H и L – параметры расчётной высоты горки, м; h1, h2 и l01, la – высота и длина соответствующих участков горки, м; lab – длина первой тормозной позиции, м; ψ01 и ψ02 – углы наклона соответствующих участков горки, рад. Заменяя в (14) крутизной профиля первого профильного участка горки, получим: Учитывая, что в последнем соотношении – величина переменная, а t = 0, будем иметь: Последнее выражение перепишем для того, чтобы выделить случаи воздействие на вагон попутного и встречного ветра: (15) где a и a0 – величины, имеющие размерности ускорения, м/с2: Вспомним, что в (15) знак «плюс» учитывает попутный ветер, а знак «минус» – встречный ветер. Выражение (15) можно представить иначе, учитывая массу вращающихся частей (колёсных пар тележек) M0 в виде (15, а) где , поскольку M < M0) – доля ускорения свободного падения, м/с2. Анализ результатов решений задачи. Анализ полученной формулы (15, а) показывает, что при любой начальной скорости скатывания вагона с сортировочной горки v0, при попутном ветре второе слагаемое или , а при встречном ветре – или . Отсюда ясно, что скорость скатывания вагона при попутном ветре больше, чем при встречном, что подтверждает корректность полученных математических выкладок. Из (15, а) может быть найдена время t = tк, соответствующая заданной величине конечной скорости движения вагона vк, при t = 0: (16) Перепишем (16) при t = 0 и cosψ0 1, как для малых углов, (16, а) Если принять f0 + fвс за основное удельное сопротивление при качении колёс со скольжением по рельсу – w0, т. е. , и при скатывании вагона с горки не учитывать попутный ветер и качение колёс со скольжением, то последнее выражение можно представить в виде: Последняя формула подобна формуле, представленной в [4]. Замечание. При этом допускают, что конечная скорость вагона vк должна быть известной величиной, противном случае дальнейшее решение задачи в такой постановке окажется также бессмысленной, как это выполнено в [1 – 4]. В соответствии с этим, отметим, что теорема об изменении количества движения материальной точки для решения задачи нахождения времени скатывания с горки применима только тогда, когда известна конечная скорость вагона. Выводы. Полученные математические модели для нахождения скорости скатывания вагона с горки на скоростном участке во время формирования–расформирования подвижного состава позволяют спроектировать скоростной участок горки с рациональными профилями с тем, чтобы скорость входа отцепа на тормозную позицию не превышало допустимого значения (~ 8 м/с). Особо отметим, что скорость скатывания вагона с горки можно отнести к самостоятельной задаче, требующей своего решения на основе составления дифференциального уравнения движения. Литература 1. Савченко И. Е., Земблинов С. В., Страковский И. И. Железнодорожные станции и узлы: учеб. для вузов ж. – д. трансп. – М: Транспорт, 2002. – 479 с. 2. Железнодорожные станции и узлы: учеб. для вузов ж. – д. трансп. / В. Г. Шубко, Н. В. Правдин, и др. – М: УМК МПС России, 2002. – 368 с. 3. Правила и нормы проектирования сортировочных устройств на железных дорогах колеи 1 520 мм. – М.: ТЕХИНФОРМ, 2003. – 168 с. 4. Бессоненко С. А. Комплексный расчёт уклонов продольного профиля спускной части и высоты сортировочной горки по вероятностным показателям / Транспорт: Наука, техника и управление, 2006, № 7. - С. 12 – 19. 5. Туранов Х. Т., Мягкова А. В. Динамика скатывания вагона с горки / ВIСНИК Схiдноукраiнского нацiонального унiверситету iменi ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ. НАУКОВИЙ ЖУРНАЛ (Вестник Восточно–украинского нац. ун–та им. В. Даля. Научный журна), № 10 (152). ЧАСТИНА (Часть) I. – Луганьск, 2010. – С. 229 – 237. 6. Комаров К. Л., Яшин А. Ф. Теоретическая механика в задачах железнодорожного транспорта. - Новосибирск: Наука, 2004. - 296 с. 7. Туранов Х.Т., Тимухина Е.Н., Волков Д. В. Оценка безопасности движения при смещении центра масс груза вдоль вагона по критерию коэффициента вертикальной динамической добавки / Транспорт Урала, 2008, № 1.  С. 25 – 35. 8. Turanov Kh. Analytical basis of technology asymmetrical allocation of cargo masses common centre in wagons // Transport Problems International Scientific Journal. Silesian University of Technology. Poland, 2009. T. 4, № 1. - p. 77 – 86. 9. Расчёты и проектирование железнодорожного пути: Учебное пособие для студентов вузов ж. – д. трансп. / В. В. Виноградов, А. М. Никонов, Т. Г. Яковлева и др.; Под ред. В. В. Виноградова и А. М. Никонова. – М.: Маршрут, 2003. – 486 с. 10. Решетов Д. Н. Детали машин. – М: Машиностроение, 1989. – 496 с. Сведения об авторах Т у р а н о в Х а б и б у л л а Т у р а н о в и ч, доктор технических наук, профессор, почётный железнодорожник; место работы - 620034. г. Екатеринбург. ул. Колмогорова, 66. УрГУПС; e-mail: turanov@inbox.ru; тел. моб. + 7 963 035 31 89, тел. кв. - + 7 (343) 367 44 03. С и т н и к о в С е р г е й А н а т о л ь е в и ч, кандидат технических наук, доцент; место работы - 620034. г. Екатеринбург. ул. Колмогорова, 66. УрГУПС; e-mail: turanov@inbox.ru; тел. моб. +7 912 249 32 89. А л ё н а В а л е р ь е в н а М я г к о в а, аспирант; место работы - 620034. г. Екатеринбург. ул. Колмогорова, 66. УрГУПС; e-mail: amyagkova@yandex.ru; тел. моб. +7 922 109 21 91.

Похожие:

	Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ		Рабочая программа для студентов 010800. 62 специальности «Механика... Мосягин В. Е. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа...
	Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии математического... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»		Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии программирования... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Рабочая программа составлена в соответствии с фгт к структуре основной... Методы компьютерного моделирования. Статистическое моделирование Учебно-методический комплекс рабочая программа для аспирантов специальности...
	Математическое моделирование производства молока и объемов его государственной поддержки		Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...
	Рабочая программа по дисциплине ен. Р. 01. Экономико-математическое моделирование Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Математическое моделирование систем управления Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 080200 Менеджмент
	Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,...		Урок по теме: «Математическое моделирование» Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19
	Учебно-методический комплекс по дисциплине экономико-математическое моделирование на транспорте Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «математическое моделирование» Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 230700. 68 «Прикладная информатика»
	Аннотированная программа дисциплины М 20 Математическое моделирование биотехнологических процессов: Методические указания к самостоятельной работе [Текст] / сост. П....		Программа дисциплины «Математическое моделирование» для направления... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования