Литература 29 введение настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса, изучающих тему "Интегральное исчисление" и выполняющих по данной теме типовой расчет

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТР "ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ" ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 4 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 5 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 18 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 29 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса, изучающих тему "Интегральное исчисление" и выполняющих по данной теме типовой расчет. Указания состоят из трех разделов. В первом разделе приводятся общие рекомендации по оформлению, выполнению и порядку защиты типового расчета. Во втором разделе приводятся основные теоретические положения, правила и алгоритмы решения аналогичных задач по указанной теме. Третий раздел содержит список задач для самостоятельного выполнения 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К выполнению типового расчета следует приступать после изучения темы "Интегральное исчисление". Следует внимательно разобрать решение тех задач, которые приводятся в данном пособии. При этом следует руководствоваться следующими указаниями. 1. Типовой расчет выполняется студентом самостоятельно и сдается на проверку в установленный преподавателем срок. 2. Студент выполняет тот вариант, который соответствует его списочному номеру в журнале. В задаче дана двойная нумерация. Первая цифра соответствует номеру задачи, а вторая – номеру варианта. 3. Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны специальность, номер группы, фамилия и инициалы студента, и вариант. 4. Решения всех задач должны быть подробными, т.е. все вычисления необходимо делать полностью. Графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов графика. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на графике. Для замечаний преподавателя на каждой странице необходимо оставлять поля шириной 3 – 4 см. 5. После проверки работы преподавателем, студент должен сделать работу над ошибками и предоставить работу на повторную проверку. 6. Работа над ошибками выполняется в той же тетради, после решенных задач. Не допускается вносить исправления в уже проверенные задачи. 7. Студент должен защитить работу по указанной теме, т.е. дать устные пояснения ко всем или некоторым задачам с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении задач. Студент допускается к защите типового расчета, если после очередной проверки, у преподавателя нет замечаний по его выполнению. 8. Типовой расчет считается выполненным только после правильного его решения и защиты. 9. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить самостоятельно, то он может обратиться к преподавателю для получения консультации. 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Для решения задач № 1 - 4 нужно знать определения и свойства дифференциала и неопределенного интеграла, а также таблицу неопределенных интегралов. Задача №1. Для решения задачи используем метод замены переменной, описываемый следующей формулой: , где x = (t) – дифференцируемая функция. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x. Пример 1.1. Найти неопределенный интеграл: . Решение. = = = = = = = = = |пусть t – 1 = z  | = 2t + = 2t + 2 ln|z| + C = = 2t + 2 ln|t – 1| + C = 2 + C. Пример 1.2. Найти неопределенный интеграл: . Решение. = = |пусть cоsx = t  -sinxdx = dt   sin xdx = -dt|= = -ln | t | + C = -ln | cоs x| + C = ln + C. Задача №2. Используем метод интегрирования по частям для неопределенного интеграла: где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям используется когда под интегралом стоит произведение разных функций (например, линейная и тригонометрическая), или когда для подынтегральной функции не существует первообразной. Через u и v обозначаем те функции, для которых существуют производная и первообразная соответственно. Если обе функции, стоящие под интегралом, имеют производные и первообразные, то обозначаем любую из них через u, а другую – через v. Пример 2.1. Вычислить интеграл: . Решение. = | пусть u = x  du = dx, dv = cosxdx   v = | = x sin x – = x sin x + cos x + C. Пример 2.2. Вычислить интеграл: . Решение. = = x lnx –. Задачи №3 – 4. Для решения задач необходимо ввести некоторые теоретические положения. Определение 1. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной. Определение 2. Правильные рациональные дроби вида ; (где k – целое положительное число, большее или равное 2); (где корни знаменателя комплексные, т.е. дискриминант меньше 0); (где k – целое положительное число, большее или равное 2, корни знаменателя комплексные), где А, а, М, N, p, q – действительные числа, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов соответственно. Интегралы от простейших дробей находим по формулам: I) ; II) ; III); IV) , где для интеграла имеет место рекуррентная формула: (вывод формул смотри в лекции №3). Используем общие правила интегрирования рациональных дробей: 1) если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, т.е. ; 2) разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей; 3) проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей (см. лекцию №3). Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Возможны следующие случаи: 1) корни знаменателя действительны и различны, т.е. f(x) = (x – a)(x – b)…(x – d). В этом случае, дробь раскладывается на простейшие дроби первого типа, т.е. . Тогда 2) корни знаменателя действительные и кратные: f(x) = (x – a) (x – b)…(x – d). Тогда дробь раскладывается на простейшие дроби I и II типов, т.е. . Затем находим интеграл (т.е. интеграл от суммы простейших дробей); 3) среди корней знаменателя есть комплексные различные корни и действительные кратные дроби: f(x) = (x2 + px + q)…(x2+ ℓx + s) (x – a)…(x – d). Тогда дробь раскладывается на простейшие дроби I, II и III типов, т.е. . Затем находим интеграл ; 4) среди корней знаменателя есть комплексные кратные и действительные кратные корни: f(x) = (x2 + px + q) …(x2 + ℓx + s)(x - a)…(x - d). Тогда дробь будет содержать простейшие дроби I – IV типов, т.е. = =. Затем находим интеграл . Пример 3. Найти интеграл . Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию: = = (т.к. знаменатель имеет действительные корни). Затем приводим правую часть равенства к общему знаменателю, т.е. = =  x2 + 2x + 6 = = A(x2 – 6x + 8) + B(x2 –5x + 4) + C(x2 – 3x + 2) х2 + 2х + 6 = = (А + B + C)x2 + (-6A – 5B – 3C)x + (8A + 4B + 2C). В правой части тождества переменной в наибольшей степени является х2. Выпишем коэффициенты стоящие перед х2 в правой части и приравняем их к коэффициенту перед х2 в левой части. Аналогично для х и х0. Получим систему уравнений с тремя неизвестными А, В и С вида: Решая систему, получим: А = 3, В = -7, С = 5. Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов. Тогда = . Отсюда = = = 3 ln |x – 1| - 7 ln |x – 2| + 5 ln |x – 4| + C = . Пример 4. Найти интеграл . Решение: Рассмотрим подынтегральную функцию: = . Знаменатель имеет действительные и комплексные корни, причем один из действительных имеет кратность 2. Приводим правую часть к общему знаменателю и получим: 1 = A(x - 1)(x2 + x + 1) + + A1x(x – 1)(x2 + x + 1) + Bx2(x2 + x + 1) + (Cx + D) x2 (x – 1)   1 = (A1 + B + C)x4 + (A + B – C + D)x3 + (B – D)x2 – A1x – A . Аналогично примеру 3 запишем систему уравнений вида: Решая систему, находим А = -1, А1 = 0, В = D = , C = . Тогда = = = + + = |пусть x2 + x + 1 = t  (2x + 1) dx = dt| = = = . Задача №5. Используем универсальную подстановку . Через новую переменную t выразим sinx = , cosx = , x = 2 arctg t и найдем . Пример 5. Найти интеграл . Решение. = = = = = = = = = = = . Задача №6. Чтобы найти интеграл вида , где m и n – целые числа, необходимо рассмотреть два случая: 1) если m и n таковы, что, по крайней мере, одно из них нечетное положительное число, то используем подстановки sinx = t (если n – нечетное) и cosx = t (если m – нечетное); 2) если m и n – неотрицательные четные числа, то для вычисления интеграла используем формулы: , .

Похожие:

	Методические указания для выполнения самостоятельной работы и проведению... Методические указания предназначены для студентов неэкономических специальностей изучающих дисциплину «Экономика». Темы семинарских...		Методические указания и контрольные задания для студентов первого... Английский язык: Методические указания и контрольные задания для студентов первого
	Методические указания по выполнению выпускной квалификационной работы... Методические указания предназначены для студентов 4 курса, выполняющих выпускные квалификационные работы (вкр) для получения дипломов...		Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...
	Методические указания по самостоятельной работе по курсу «Экономическая... Методические указания предназначены для студентов 1-го курсаочной формы обучения, изучающих дисциплину «Экономическая теория». Данные...		Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине... Методические указания предназначены для студентов направления подготовки 080100. 62 Экономика заочной формы обучения, выполняющих...
	Общие указания Методические указания предназначены для студентов специальности 290300 (новый код 270102) «Промышленное и гражданское строительство»,...		Методические указания по практике немецкого языка (как второго иностранного)... Методические указания предназначены для студентов 2 курса факультета филологии и журналистики ргу, романо-германского отделения,...
	Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Фемтосекундная оптика и фемтотехнологии» Настоящие методические указания с рекомендациями к выполнению курсовой работы предназначены для студентов дневной формы обучения...		Методические указания к семинарским занятиям по курсу «Социология» Методические указания предназначены для студентов всех направлений и специальностей, изучающих социологию
	Введение 3 Основные итоги деятельности Министерства образования и... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...		Отчет о работе за 2012 год Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...
	Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей, а также будут полезны студентам старших курсов...		История экономических учений Методические указания по самостоятельной... Методические указания предназначены для студентов 1-го курса очной формы обучения, изучающих историю экономических учений. Данные...
	Секция №1 «Социально-гигиенические аспекты здоровья населения Омской области» Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...		Методические указания и задание для контрольной работы с. Список... Методические рекомендации предназначены для студентов заочного обучения и предусматривают освоения курса знаний теоретического и...