Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.56 Mb.
|
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры» Об этом свидетельствует так же задача из папируса Райнда. «Имеется семь домов; в каждом доме по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Найти сумму мер зерна». Решение: Домов всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колос, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607мер. б) (Слайд №9) Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов. в) Старинные русские задачи. (Слайд №10) 1) “Шли 7 старцев. У каждого старца по 7 костылей. На каждом костыле по 7 сучков. На каждом сучке по 7 кошелей. В каждом кошеле по 7 пирогов. В каждом пироге по 7 воробьев. Сколько всего?” Решение. В данном случае речь идет о нахождении 6-ого члена геометрической прогрессии с первым членом, равным 7 и знаменателем, равным 7. Воспользуемся формулой bn = b1 qn-1. b6 = b1 q5 = 7 75 = 76 = 117649 воробьев. Ответ: 117649 воробьев. 2) Проторговался ли купец? (Задача из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого) Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько? Решение: Полушка – это  часть копейки. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить  копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.г) (Слайд №11) Примеры арифметической и геометрической прогрессий встречаются повсюду, даже в литературе. Вспомним строки из романа А.С. Пушкина «Евгений Онегин», о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя`дя са`мых че`стных пра`вил), т.е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой, и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной 2. Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу`ря мгло`ю не`бо кро`ет). Номера ударных слогов так же образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность 2. (Слайд №12) В природе если дать видам размножаться свободно без ограничений, то численность любого из них росла бы в геометрической прогрессии. Например, при каждом делении амёбы получаются две новые особи. Задача : Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество особей получится через 4 деления? Решение: (bn) – геометрическая прогрессия, b1 = 1, q = 5, n = 4, S4-?  ,  .Ответ.156. 5. Исследовательская работа. В 1544 г. вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:
(В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2.) Пример №1. Надо умножить  на 128. Обращаем внимание, что в таблице над написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа, получим 6, а под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение. Пример №2. Разделим 32 на 8. Обращаем внимание, что в таблице над 32 написано 5, а над 8 написано 3. Вычтем эти числа 5-3, получим 2, а под двойкой читаем 4. Это и есть искомое частное. Пример №3. Заметим, что с помощью таблицы можно возводить в степень и извлекать корни. Например, чему равно43? Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, получаем 6, против 6 читаем 64, значит, 43 = 64. Что можно сказать о числах во второй строке данной таблицы? Ученик. Числа во второй строке данной таблицы – это степени числа 2. Тогда нижнюю строчку таблицы можно записать так:
Теперь можно увидеть, что если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. Если бы между числами нижней строки не было таких больших разрывов, то таблицы прогрессий можно было бы использовать для облегчения вычислений. Как улучшить таблицу Штифеля? Ученик. «Уплотнить» верхнюю строчку можно так: между членами арифметической прогрессии будем вставлять их среднее арифметическое. Например, между 1 и 2 вставим  , между 1 и вставим  , между и 2 вставим  и т. д. Этот процесс можно продолжать и будет получаться арифметическая прогрессия со все меньшей и меньшей разностью и со все большим и большим числом членов.Выпишем часть верхней таблицы с вставками: 1   2.Учитель. Но как «уплотнить» геометрическую прогрессию? Что вставить между 2 и 4 ? 2-2 под числом . Ученик 4. Среднее геометрическое этих чисел, т.е.  . А между 2 и , можно вставить  .Учитель. Рассмотрим часть таблицы с полученными вставками:
Изучение прогрессий представляет большое практическое значение. Рассмотрим несколько задач. Задача: Предприниматель взял в банке кредит на сумму 500000 рублей в год под 15% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через 3 года? Решение. b1 = 500000, q = 1,15, b4 - ? b4 = b1 q4-1 = 500000 1,153 = 760437,5 рублей, т.е. 760 тыс. 437 руб. 50 коп. Ответ: 760 тыс. 437 руб. 50 коп. Задача: Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? Решение. Переведем условие задачи на алгебраический язык. Речь идет об арифметической прогрессии, в которой а1 = 15, d = 10, an = 105. Нужно найти порядковый номер последнего члена прогрессии. Воспользуемся формулой:  Отсюда: 105 = 15 +10(n - 1), n – 1 = 90:10, n = 10. Ответ: Нужно принимать ванны 10 дней. 6. Итог урока. Домашнее задание. В качестве домашнего задания учащимся предлагается индивидуальная самостоятельная работа с заданиями для каждого учащегося класса (по номеру в списке классного журнала), составленная по сборнику для подготовки к ГИА и размещённая электронном журнале. |
