Учебные пособия для педагогических училищ и колледжей Руководитель программы З. А. Нефедова Рецензенты: канд пед наук Л. Я
Скачать 3.83 Mb.
|
| § 4. Теоретические основы понятия натурального числа Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаков определенных явлений объективной действительности. Объектом отражения служат количественные отношения действительного мира. Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т.е. на основе конкретных представлений, на основе практического опыта. Отличительные черты этого процесса обусловливаются лишь сущностью объектов отражения — количеством. Особенностью количества является то, что реально количественные отношения вне предметов, отдельно от них, не существуют. Чтобы отделить количественные отношения от всех других признаков предмета, нельзя сразу откинуть сами предметы или заменить разнообразные совокупности совокупностями, составленными только из одних каких-то предметов. Трудности формирования понятия о количестве объясняются еще и тем, что в разных конкретных множествах необходимо выделить и обратить внимание на количественные отношения как самые главные, самые существенные. 28 Для того чтобы выделить постоянные количественные отношения, следует сделать однородные множества переменными, т.е. необходимо разнообразить совокупности предметов. Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию, но они одинаковы по количеству, что становится очевидно благодаря их сравнению. Количественная сторона данных множеств, оставаясь постоянной, становится заметной, так как отделяется от других качественных и пространственных признаков и обобщается в виде абстрактного понятия числа — всех их по пять. Следующей особенностью количественных отношений является то обстоятельство, что выделение их осуществляется с помощью сравнения. Только сравнение предметов открывает у них количественную сторону как объективное свойство материального мира. Поэтому основным в познании количества является восприятие не самих вещей, а восприятие их изменений — сравнение, умственная деятельность, динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть разными: непосредственное сравнение, счет, измерение, что зависит от природы самих вещей. Если это дискретные (прерывные) величины, то сравниваются они или непосредственно, или с помощью пересчитывания элементов. Если же это непрерывные величины, то сравнение осуществляется измерением или также непосредственным сравнением. Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно характеризовать количество. Например, восемь штук, четыре килограмма, пять метров и др. Итак, при формировании у детей понятия числа важно организовать систему действий с совокупностями предметов, научить их различным способам выделения и оценки количества предметов. Усвоение понятия натурального числа у детей даже под влиянием целенаправленного обучения — длительный процесс. Как и любое познание, оно не простое, не непосредственное, не целостное, а достаточно сложный процесс осознания абстракций, законов, закономерностей. Дети сами не изобретают ни действий, раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названий чисел, ни знаков для обозначения их записи. Это происходит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений (опыта взрослых). Однако личный опыт каждого ребенка также необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение, ни развитие математических понятий. На каждой ступени обобщения и углубления понятий натурального числа следует обеспечить правильное объедине- 29 ние чувственного и логического элементов познания. Чувственный опыт, как и логические способы раскрытия конкретного понятия, развивается и усовершенствуется. Чувственное познания — это наши ощущения и восприятия. На первых этапах возникновения числовых представлений у детей чувственную основу создает оперирование предметами. Для этого им необходимы разные группы (множества) предметов. Дети практически действуют с ними: складывают, раскладывают, нанизывают, накладывают, прикладывают, пересчитывают. При этом необходимо, чтобы взрослый направлял этот процесс на сравнение множеств по количеству (больше, меньше, поровну). Под влиянием этих действий, во-первых, развиваются операции сравнения и счета; во-вторых, формируется начальное понятие о числе как показателе мощности множества. В процессе формирования понятия числа особое значение приобретает связь счета с измерением, обучение детей пониманию отношения того или другого объекта (величины) как целого к его части (меры). Позднее понятие натурального числа углубляется благодаря оперированию самими числами: ознакомление с системой счисления, изучение свойств натурального ряда, выполнение арифметических действий. В результате изменяется само содержание понятия натурального числа, а соответственно этому изменяется также восприятие количества, числовые представления в целом. Важное значение тут приобретает логический элемент познания. Практика, индивидуальный опыт ребенка являются не только основой формирования абстрактного понятия натурального числа, но и способом изучения количественных отношений. Опыт в данном случае выступает как критерий жизненности, реальной значимости понятия числа. Для ребенка в первое время его жизни слова являются только вторым сигналом действительности. Первым же являются восприятия, которые поступают в его сознание через органы чувств из внешнего мира. Упражнения для самопроверки Возникая на основе ... представления чувственного (в процессе практического оперирова ния) с множествами, ... и измерения, счета понятие ... числа раскрывается далее в натурального его существенных признаках, знание ко торых не может быть приобретено ис- 30 следованием, поскольку число не относится к области непосредственного наблюдения. число меры практической теоретического выделить конечных множеств количественную чисел наибольшего число прибавить получим ряда задачи численности множеств элементов числительных В конце дошкольного возраста у детей должно быть сформировано понятие о том, что ..., которое получено в результате счета, зависит от избранной .... Только в результате длительного развития ... деятельности и... мышления человек сумел... для каждого класса... эквивалентных ..., общих для всех множеств этого класса, их ... характеристику, которую можно выразить с помощью числа (один, два, три и т.д.). Натуральных... бесконечно много, среди них не бывает.... Какое бы большое ... мы ни взяли, если... к нему единицу, то... еще большее число. С помощью чисел натурального ... человек решает две основные ...:
§ 5. Виды письменной нумерации. Системы счисления Цель всякой нумерации — изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака — 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание — к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуются только народы, у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков. С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств, измерения больших величин. 31 У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр, каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающие то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито у них достаточно высоко, с помощью иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное. Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально, и вертикально в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные, так называемые десятки — единицы второго разряда. Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. По имени ученого, который предложил ее, она вошла в историю культуры под названием геродианова нумерация. Так, в этой нумерации число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р», а число десять называлось «deka» и обозначалось буквой «Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуется никто. В отличие от нее римская нумерация сохранилась и дошла до наших дней. Хотя теперь римские цифры встречаются не так часто: на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, столетий, на старых строениях и т.д. В римской нумерации есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, D, М. Можно предположить, как появились эти знаки. Знак (1) — единица — это иероглиф, который изображает I палец (каму), знак V — изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем), а для числа 10 — изображение вместе двух пятерок (X). Чтобы записать числа II, III, IV, пользуются теми же самыми знаками, отображая действия с ними. Так, числа II и III повторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числа IV перед пятью ставится I. В этой записи единица, поставленная перед пятеркой, вычитается из V, а единицы, поставленные за V, 32 прибавляются к ней. И точно так же единица, записанная перед десятью (X), отнимается от десяти, а та, что стоит справа, — прибавляется к ней. Число 40 обозначается XL. В этом случае от 50 отнимается 10. Для записи числа 90 от 100 отнимается 10 и записывается ХС. Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений. Никаких действий в письменном виде (расчеты «столбиками» и другие приемы вычислений) с римскими цифрами проделать практически невозможно. Это очень большой недостаток римской нумерации. У некоторых народов запись чисел осуществлялась буквами алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта запись имела место у славян, евреев, арабов, грузин. Алфавитная система нумерации впервые была использована в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой системе, относят к середине V в. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными символами с помощью соответствующих букв алфавита. В греческой и славянской нумерациях над буквами, которые обозначали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, а, б, <Г и Т-Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с черточкой слева внизу, например, @ ,, q ; и т.д. Следы алфавитной системы сохранились до нашего времени. Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов, резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации сохранился у нас только для обозначения порядковых числительных. Количественные числа мы никогда не обозначаем буквами, тем более никогда не оперируем с числами, записанными в алфавитной системе. Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в. Сейчас существует индийская система записи чисел. Завезена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумерации для записи чисел используется 10 значков, которые называются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9. 33 2 Заказ 1391 Десятый значок — нуль (0) — означает отсутствие определенного разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси письменные знаки, кроме нуля, назывались знамениями. Итак, у народов разных стран была различная письменная нумерация: иероглифическая — у египтян; клинописная — у вавилонян; геродианова — у древних греков, финикийцев; алфавитная — у греков и славян; римская — в западных странах Европы; арабская — на Ближнем Востоке. Следует сказать, что теперь почти везде используется арабская нумерация. Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том, что все письменные системы делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. К непозиционным системам счисления принадлежат: запись чисел иероглифами, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисления — это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он написан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (единица) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину: X — десять единиц, I — единица, независимо от места, на котором они стоят в ряду других знаков. В позиционных системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра «2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая — два десятка, а третья — две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наряду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятиричная, двадцатиричная и др. Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важное преимущество позиционных систем — простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах. 34 Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно, а как закономерная ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого является самостоятельное возникновение позиционных систем у разных народов: у вавилонян — более чем за 2 тыс. лет до н.э.; у племен майя (центральная Америка) — в начале но-вой'эры; у индусов — в IV—VI в. н.э. Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы записи. Мультипликативная запись — это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1хЮ2+5х10+4. Как видим, в этой записи отображается тот факт, что при счете некоторые количества единиц первого разряда, в данном случае десять единиц, берутся за одну единицу следующего разряда, определенное количество единиц второго разряда берется, в свою очередь, за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изображения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств. В пятиричной системе счет осуществляется «пятками» — по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потом большие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами камешков следует производить те же самые операции, что и с отдельными камешками. Технику счета по этой системе иллюстрирует русский путешественник Миклухо-Маклай. Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи, он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги, которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы делали следующее: первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре» (один), «каре» (два) и так до десяти, второй повторял это же слово, но при этом загибал пальцы сначала на одной, потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени, проговаривая «ибен каре» — две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке. С другим десятком было 35 выполнено то же самое, причем третий папуас загибал второй палец, а для третьего десятка — третий палец и т.д. Подобный счет имел место и у других народов. Для такого счета необходимы были не менее чем три человека. Один считал единицы, другой — десятки, третий — сотни. Если же заменить пальцы тех, кто считал, камушками, помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прутики, то получился бы самый простой счетный прибор. Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать. Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага — введения нуля. При сравнительно небольшой основе счета, какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами, особенно после того как названия разрядных единиц начали пропускать, введение нуля стало просто необходимым. Символ нуля сначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки, которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако введение нуля было совершенно неизбежным этапом закономерного процесса развития, который и привел к созданию современной позиционной системы. В основе системы счисления может быть любое число, кроме 1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне, например, было число 60. Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнение арифметических действий будет более сложным. Если же, наоборот, взять число 2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко, но сама запись станет громоздкой. Можно было бы заменить десятичную систему на более удобную, но переход к ней был бы связан с большими трудностями: прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги, переделывать все счетные приборы и машины. Вряд ли такая замена была бы целесообразной. Десятичная система стала привычной, а значит, и удобной. Упражнения для самопроверка Последовательный ряд чисел опреде- лялся постепенно. Основную роль в создании ... чисел играла... сложения. Кроме того, использовались ..., а также умножение. алгорифмических операция вычитание знаки клинопись иероглифы алфавитная Для записи чисел разные народы изобретали различные .... Так, до наших дней дошли такие виды записи: , 36 геродианова, ..., римская и др. И в настоящее время люди иногда пользуются алфавитной и .., нумерациями, римской чаще всего при обозначении порядковых числительных. В современном обществе большинство народов пользуется арабской (...) нумера- индусской цией. Письменные нумерации (системы) де лятся на две большие группы: позицион ные и ... системы счисления. непозиционные |
Похожие:
 | Учебник для студ сред пед учеб заведений Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» | | 8 марта 2 класс Учитель Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» |
| Марченко Алексей Михайлович "Болезнь? Ну и хрен с ней!" Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» | | Поль л авиолетт – Лед и Огонь. История глобальных катастроф Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» |
| Валентин Штерн Метод Хосе Сильвы. Перепрограммируй себя на деньги Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» | | Кинслоу Фрэнк Эйфо-чувство и сила Намерения: Достижеиие внутренней... Издательская программа «Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей» |
| Союза сср Н. И. Надарейшвили; М. В. Сланская; В. М. Казарская; В. С. Горбаченко, канд пед наук; Н. Н. Павлов; А. А. Гончарова; Л. П. Сераева;... | | Под общей редакцией С. А. Ляшко Е. В. Сухорукова — доц., канд пед наук; С. И. Шумарин — доц., канд филол наук; В. В. Назаров — доц., канд ист наук; А. И. Золотухин... |
| Учебно-методическое пособие для студентов педагогических вузов /... Рецензенты: С. В. Кускова, канд пед наук, доцент (ноу «Мурманский гуманитарный институт») | | Система менеджмента качества в современном университете: достижения, проблемы и перспективы Солодков А. П., д б н., профессор Прищепа И. М., канд пед наук, доцент Турковский В. И., канд пед наук, доцент Ракова Н. А., канд... |
 | Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В 1, Д. С. 4, Сд психология... Авторы-составители программы: Синкевич И. А., канд пед наук, доцент, Тузова О. Н., канд психол наук, старший преподаватель | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рецензенты: Л. С. Вагинова, доктор культурологии, профессор мггу в. П. Сапрыкин, канд пед наук, директор мокм |
| Последовательность Фибоначчи в описании экономических процессов Аносов... ... | | Программа учебной дисциплины 1 Автор программы: В. Б. Выдрин, доцент,... Содержание курса органично связан с курсами «Теория и история хореографического искусства», «Этнография и танцевальный фольклор народов... |
| Лексикология Рецензенты: Богданова О. А., канд филологических наук, Стычишина Л. П., канд филологических наук, доцент | | Н. И. Иголкина, канд пед наук, Р. М. Базылева, канд филол наук (отв... Лингвометодические проблемы преподавания иностранных языков в высшей школе: Межвуз сб науч тр. / Под ред. Л. И. Сокиркиной. – Саратов:... |
