4.3.1 Методика решения задачи для слоистой геофизической среды, моделируемой полупространством с заглубленной магматической камерой в виде канонической полости
Несмотря на большой объем выполненных полевых экспериментов и полученные важные результаты, отражающие структуру магматических образований в районе Эльбрусского вулканического центра, ряд параметров, связанных с общим объемом магматической камеры и магматического очага вулкана Эльбрус требуют уточнения. Дополнительные сведения можно получить в результате решения определенного класса модельных задач практической вулканологии.
Проанализируем, прежде всего, весьма простую модельную задачу, связанную с исследованием резонансных характеристик слоистой среды, содержащей полость сферической формы.
Пусть упругая среда, моделирующая вулканическую постройку, занимает в декартовой системе координат  область определенного объема (рисунок 8).
Рисунок 8 - Сферическая полость радиуса  ,моделирующая магматическую камеру, может быть расположена в подстилающем полупространстве  или в одном из слоев, не пересекая плоских границ, отражающих структуру геологической среды вулканической постройки.
Внешнее воздействие по некоторому заданному закону  приложено к поверхности полупространства и границе сферической полости –  , которая определяет положение магматической камеры.
Если полость расположена в полупространстве, то использование принципа суперпозиции позволяет свести поставленную краевую задачу к системе интегро-функциональных уравнений следующей структуры [Ляпин и др., 1999]:
 ,
 . (1)
Здесь  ,
 ,  ,
где  – некоторый функционал, определяемый структурой и свойствами пакета слоев, лежащих на упругом полупространстве с полостью.
 – функции напряжений, через которые определяется напряженно-деформированное состояние исследуемой структуры.
Будем далее полагать, что внешнее воздействие гармоническое. При рассмотрении установившихся гармонических колебаний система (1) сохраняет свой вид для амплитудных функций напряжения, только все функции и функционалы, определяющие выделенные элементы, не зависят от времени  . При этом, соответственно, отсутствует интегрирование по параметру  , имеющему смысл круговой частоты вынужденных установившихся колебаний,
 .
Следует отметить, что если полость целиком расположена в одном из слоев, система интегральных уравнений будет состоять из трех векторных уравнений, два из которых имеют вид, аналогичный первому уравнению (1).
В работе [Собисевич, 2001] показано, что для областей типа слоистого полупространства с заглубленной полостью канонической формы, определяющим свойства операторов системы, является положение полости в среде по отношению к границам раздела слоев. В случае, когда границы полости и слоев (полупространства) не пересекаются и не соприкасаются, во всех случаях удается доказать, что операторы системы (1) вполне непрерывны в пространстве суммируемых функций. Этот факт определяется физически следующим. Оператор первого векторного уравнения системы описывает напряжения, возбуждаемые нагрузкой, распределенной по границе полости, на плоской поверхности слоистой среды. Из решений задач для слоистых областей известно, что напряжения и перемещения в среде непрерывны вдоль любой кривой, не пересекающей границу поверхности, по которой производится нагружение (в том числе и вдоль плоской границы, если она не пересекает и не касается сферической). Аналогично, интегральный оператор второго уравнения определяет напряжения, возбуждаемые поверхностной нагрузкой в слоистом полупространстве без полости вдоль сферической поверхности. В исследуемом случае эти напряжения также непрерывны.
Если полость касается (пересекает) плоскую границу слоя (полупространства), операторы системы (1) теряют свойство непрерывности и при ее решении требуется регулировать систему. Для этого исследуется порядок особенности решения системы вблизи линии пересечения плоской и сферической (цилиндрической, эллиптической, эллипсоидальной) границ области, что существенно усложняет процесс построения решения и получения численных результатов.
Задача проанализирована численными методами.
При относительно большом заглублении полости канонической формы в полупространство оператор системы, кроме свойств непрерывности, является малым. Порядок малости определяется постановкой задачи (размерами и положением полости, длиной упругой волны в среде). Так, при относительно сильном заглублении полости в полупространство ( – величина заглубления центра полости радиуса ),  ,  ( длина волны сдвига в среде).
Порядок малости операторов системы при исследовании антиплоской или плоской задачи равен  , при исследовании осесимметричной или пространственной задачи порядок малости соответственно равен  . Малость операторов при данной структуре системы интегро-функциональных уравнений (1) определяет эффективность использования метода последовательных приближений и асимптотических методов анализа при построении приближенного ее решения [Орлов, 1979; Бабешко и др., 1994; Ляпин и др., 1999]. В этом случае представляется возможным построить первые члены асимптотического разложения решения краевой задачи – амплитудные функции смещения и напряжения точек области в аналитическом виде.
На основе полученных решений задач о возбуждении установившихся колебаний в слоистой геофизической среде, моделируемой полупространством с заглубленной магматической камерой, представляемой полостью типа сферы проведено исследование степени ее влияния на резонансные свойства среды в окрестности магматической камеры. При проведении исследований пришлось преодолеть ряд факторов, мешающих выделению резонансных режимов, обусловленных полостью. К этим факторам относятся: явления, определяемые взаимодействием полей прямых, отраженных и переотраженных волн в среде; резонансные явления, присущие элементам слоистой структуры, не связанные с полостью. Поэтому анализ амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) поля смещений напряжений в различных точках среды в окрестности полости с целью выделения резонансных явлений, определенных полостью, оказывается в некоторых случаях малоинформативным. Последнее также связано с тем, что амплитуды этих резонансов относительно малы по сравнению с амплитудой резонанса слоя или амплитудой пограничной волны, распространяющейся вдоль границ слоев в среде (при определенных соотношениях упругих параметров структуры).
В результате исследования получено, что амплитудная функция отраженных от полости волн имеет конечно-резонансный характер, добротность которого определяется положением полости по отношению к границам раздела упругих параметров слоистого полупространства и жесткостью слоев. Частота локального резонирования, моделируемой магматической структуры, хорошо коррелирует с частотой ограниченного резонанса полости соответствующей конфигурации в бесконечном пространстве.
Рисунок 9 - Величина  – круговая резонансная частота сферической полости, расположенной в полупространстве. Добротность резонанса зависит от положения полости по отношению к границам раздела.
Существенно, что если рассматривать амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) то, как показывает численный эксперимент, она имеет для точек границы полости следующий характер (рисунок 9): для амплитуды радиального смещения поля отраженных волн  – сплошная линия, а суммарное поле смещений может иметь несколько иной характер – штриховая линия.
Результаты численного эксперимента дают основание считать, что модуль амплитуды колебаний элемента среды вблизи полости на резонансной частоте определяется структурой прямого акустического поля источника, генерирующего колебания (удаленное землетрясение, взрыв и.т.д.). При удалении от полости амплитуда колебаний, генерируемых резонирующей полостью довольно быстро затухает (скорость затухания определяется геометрией магматической структуры и свойствами геологической среды).
Интенсивность описанных явлений прямо связана с добротностью основного резонанса полости в слоистой среде при возбуждении гармонических колебаний на ее поверхности.
В качестве примера расчета деформированного состояния слоистой среды приведем результаты численного анализа волновых полей в трехслойном полупространстве с магматической камерой, которая моделировалась сферической полостью. Источник колебаний представляет собой равномерно распределенное по границе сферической полости осциллирующее с частотой давление. На рисунках 10-12 приведены модули амплитуд вертикальных перемещений Свойства среды определялись следующими значениями скоростей упругих волн:
 м/с;  м/с;  м/с;  м/с;  м/с;  м/с («мягкие» слои)
и соответственно
 м/с;  м/с; м/с; м/с;  м/с;  м/с («жесткие» слои).
Кривая, помеченная звездочками, соответствует смещению соответствующей точки бесконечного пространства с параметрами слоя 1 («прямое» поле источника). Величина  соответствует приведенной частоте для продольных волн слоя 1. Амплитуды W отнесены к величине  .
Из сравнения приведенных графиков видны общие закономерности поведения амплитудно-частотных характеристик точек среды.
1. При возбуждении установившихся колебаний с поверхности дефекта (полости) следует учитывать соотношение упругих параметров элементов слоистой структуры. При увеличении скоростей упругих волн со смещением вглубь полупространства амплитуды точек слоистой структуры колеблются вокруг кривой, представляющей собой амплитудно-частотную характеристику для прямого поля источника.
2. При уменьшении скоростей распространения упругих волн с удалением вглубь среды амплитуда прямого поля, начиная с некоторой частоты колебаний, превосходит амплитуду прямого поля. В этом случае слоистая структура работает как низкочастотный фильтр. С этим эффектом вулканологи неоднократно сталкивались при изучении условий затухания поперечных сейсмических волн в магматических структурах вулканов.
Таким образом, методы численного анализа позволяют также выявить особенности возбуждения и распространения волн в зависимости от характера распределения усилий по поверхности магматической полости, а также проследить эффекты, связанные с многократным отражением волн от выраженной поверхности, исследуемой структуры.
При проведении теоретической оценки характерных размеров резонансных образований в составе магматической камеры и магматического очага, О.В. Руденко и А.Л. Собисевич рекомендуют особое внимание обращать на одну важную геофизическую особенность вулканических структур. Дело в том, что в некоторых случаях наличие неоднородности может и не приводить к появлению отражающих границ с достаточным «контрастом» по импедансу  , где  – плотность среды,  – скорость распространения продольных волн.
Рисунок 10 - Модули амплитуд вертикальных перемещений точек с координатами  . Свойства среды определяются следующими значениями скоростей упругих волн:
 м/с;  м/с;  м/с;  м/с;  м/с;
 м/с («мягкие» слои).
Рисунок 11 - Модули амплитуд вертикальных перемещений точек с координатами  . Свойства среды определяются следующими значениями скоростей упругих волн: м/с; м/с; м/с; м/с; м/с; м/с («мягкие» слои).
Рисунок 12 - Модули амплитуд вертикальных перемещений точек с координатами  . Свойства среды определяются следующими значениями скоростей упругих волн:  м/c;  м/c; м/c; м/c;  м/c;  м/с («жесткие» слои).
Вместе с тем, при нахождении резонансной структуры в магматической камере сильный контраст возникает для поперечных волн в окрестности точки плавления, где модуль сдвига  и, следовательно, составляющая скорости звуковых волн  обращаются в ноль. Эта особенность может заметно повлиять на поведение не только поперечных, но и продольных волн [Осипов, 2001].
Наглядным примером такого влияния служит известный результат линейной динамической теории упругости [Лилиенберг и др. 1991, Влодавец, 1984]. Если в среде с малым значением модуля сдвига колеблется сферическая полость радиуса  , ее собственная частота  и коэффициент затухания  равны
 ,  . (2)
При этом длина излучаемой продольной волны
 , (3)
оказывается много большей радиуса колеблющейся полости. Такое соотношение
 , (4)
характерно для сосредоточенных систем или резонаторов типа Гельмгольца, у которых колеблющаяся масса велика, а упругость мала. Затухание осцилляций за период равно  . Это означает, что колебания полости затухают медленно, теряя свою энергию на излучение продольных волн.
Добротность колебания, определяющая относительную ширину спектральной линии частотного отклика
 (5)
достаточно велика.
Отсюда следует, что спектральная линия отклика весьма узкая. С другой стороны, падающий сигнал на частоте будет усиливаться полостью в  раз, что приведет к заметному подчеркиванию компоненты в спектре рассеянного (наведенного) поля.
В реальных условиях необходимо учитывать еще и потери на частотно-зависимое трение при сдвиговых деформациях среды, а при сильных деформациях требуется решать задачу в нелинейной постановке.
При построении динамической модели магматических образований при температуре близкой к точке плавления, следует анализировать базовую задачу о нелинейных колебаниях одиночной полости, которая может быть выделена в магматической камере. В работе [Собисевич и др., 2003] эта задача решена при условии, что полость сферической формы, а сама среда, окружающая полость, рассматривается как сильно вязкую изотропную жидкость, модуль сдвига которой зависит от предыстории локального нагружения. Связь между тензорами деформаций  и напряжений  в такой среде при сдвиговых деформациях определяется соотношением [Лилиенберг и др., 1991]:
 . (6)
Здесь  – время релаксации, которое зависит от температуры; чем она выше, тем время релаксации, вообще говоря, меньше. Процесс приближения к равновесному состоянию может происходить не по экспоненциальному, а по более сложному закону.
В диапазоне крайне низких частот или при малых временах релаксации, характерных для магматических образований, можно использовать разложение по степеням и положить:
 . (7)
В дальнейшем автор цитируемой работы полагает, что модуль сдвига мал по сравнению с модулем всестороннего сжатия, то есть  . В этом случае волновое уравнение для рассматриваемой структуры примет вид
 . (8)
Выделяя в магматическом очаге полость сферической формы (полость содержит большое количество летучих (сжимаемого газа) естественно полагать, что эта полость совершает радиально-симметричные колебания, возбуждаемые давлением падающей волны, источником которой является любое крупное сейсмическое событие. Тогда, следуя [Собисевич и др, 2003] запишем граничное условие на поверхности  , приравняв компоненты тензора напряжений  по обе стороны от границы полости:
 . (9)
Здесь  – внешнее давление падающей волны,  – давление газа в полости,  – радиальная компонента смещения.
В процессе колебаний полость излучает расходящуюся сферическую волну, потенциал которой  должен удовлетворять волновому уравнению. В работе [Руденко и др., 1996] рассмотрен важный для вулканологии предельный случай низкочастотных колебаний, когда характерное время изменения объема газовой полости велико по сравнению со временем протекания релаксационных процессов в сильно вязкой среде:  . В этом случае уравнение колебаний записывается в виде:
 . (10)
Добротность, отвечающая рассматриваемой колебательной системе (10), равна
 . (11)
Как следует из формулы (11), добротность будет достаточно большой не всегда, а лишь при выполнении условия  или для радиуса полости в магматической структуре
 .
Выполним необходимые для дальнейших исследований количественные оценки, которые соответствуют вулканическим структурам в изучаемом регионе. Так для частот порядка 10 Гц (акустический диапазон частот) условие выполняется при значениях времен релаксации  c. Положим в формуле для оценки радиуса полости:  = 0.02,  =3000,  = 3000 м/с,  с. При этом получается, что добротность колебательной системы с учетом релаксационных процессов будет значительной, если радиус полости имеет размеры не менее 40 см.
Для частот порядка 0.01 Гц, которые характерны для магматической камеры вулкана Эльбрус, условие выполняется при значениях времен релаксации  с.
Принимая при оценке радиуса полости:  = 0.02, = 3000, сL=3000 м/с,  с, получаем, что добротность изучаемой колебательной системы с учетом релаксационных процессов будет значительной, если радиус насыщенной флюидами полости имеет размеры не менее 100 метров. В магматической камере содержащей вязкую жидкость с газовыми включениями повышение температуры должно приводить к уменьшению времени релаксации и скорости распространения сдвиговых волн , а также к увеличению размера полости .
Все три тенденции ведут к возрастанию добротности (11) и, следовательно, к повышению интенсивности рассеянного поля на низких частотах, отвечающих резонансам колебательной системы (10).
В тех случаях, когда падающая волна является сильной или же продолжительность воздействия на высокодобротную резонансную структуру достаточна для накопления в полости значительной энергии, возможно появление нелинейного отклика на высших гармониках и комбинационных частотах [Руденко и др., 2001]
Во всех случаях возрастание отклика магматической структуры, появление в спектре рассеянного сигнала резонансных выбросов и обогащение спектра гармониками должны свидетельствовать о повышении температуры, связанной с повышением активности геолого-геофизических процессов в районе вулканической постройки.
Линейный отклик полости, которой моделируется активная зона магматической камеры, на внешнее воздействие может быть рассчитан по известным формулам. В частных случаях, для моделей, определяемых соотношением (10), потенциал скорости излучаемой волны описывается выражением
 (12)
Если падающая волна может рассматриваться как стационарный шум, корреляционная функция рассеянного сигнала будет равна
 , (13)
где  – спектр интенсивности падающего шума ,  – комплексная передаточная функция системы. В частности, для (10)
 . (14)
Для сосредоточенной системы, движение которой описывается линеаризованным уравнением, нетрудно получить обобщение выражения (2, 4, 14) и рассчитать линейный спектральный отклик
 , (15)
При наличии слабой нелинейности отклик также рассчитывается аналитически. В более сложных случаях необходимо прибегнуть к численному моделированию динамических особенностей магматических структур, как это сделано в работе [Собисевич, 2001].
Итак, теоретический анализ магматических образований в районе Эльбрусского вулканического центра и проведенный геофизический мониторинг в районе вулканической постройки позволил в первом приближении оценить их размеры и положение в пространстве. Это позволяет ставить вопрос о построении теоретических методов оценки и тепловых полей, которые несут дополнительную информацию о «жизни» вулкана.
|
