Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № П1676 от 21 сентября 2009 г и Дополнения №1-П1676 от 22 октября 2009 г. Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный университет им.

4.3.2 Прямые и обратные задачи, связанные с определением пространственного распределения источников тепла в теле вулканической постройки и общие теоретические схемы их решения В соответствии с выбранными выше моделями строения вулкана Эльбрус перейдем к рассмотрению задачи, геометрия которой изображена на рисунке 13. На поверхности Земли, совмещенной с плоскостью декартовой системы координат, измеряется двумерное температурное поле , которое необходимо определить из условий эксперимента. Требуется по измеренным данным оценить запасы тепла в магматическом очаге, который расположен под поверхностью и имеет, вообще говоря, сложную форму и неоднородное распределение температуры внутри своего объема. Для проведения такой оценки требуется решить обратную задачу теории теплопроводности. Рисунок 13 - К решению пространственной задачи теплопроводности. Сформулируем постановку задачи. В общем случае, когда свойства вмещающей среды вокруг очага изменяются в пространстве, нужно решать неоднородное уравнение теплопроводности: . (16) Здесь – коэффициент температуропроводности, зависящий от координат, – пространственное распределение источников тепла. В простейшем случае, когда коэффициент постоянен, уравнение имеет вид: . (17) Граничное условие на плоскости характеризует теплообмен между поверхностью Земли и окружающей вулканическую постройку средой: . (18) Здесь – относительный коэффициент теплоотдачи, – температура на поверхности Земли, – локальная температура воздуха над точкой . Если теплоотдачей в воздух можно пренебречь, условие (2.5.3) будет соответствовать равенству нулю производной от температуры по внешней нормали к поверхности Земли. В типичной ситуации, характерной для вулкана Эльбрус, приходится иметь дело с потоком тепла, установившемся во времени, поскольку остывание очага происходит за времена, которые во много раз большие, чем время проведения измерений поверхностного температурного поля. Поэтому в уравнениях (16) и (17) не ограничивая общности можно пренебречь производной от температуры по времени. Начнем анализ тепловых структур с простейшей задачи, следующей из обсуждавшихся выше упрощающих предположений: . (19) Решаем задачу методом интегральных преобразований. Используем комплексное Фурье-преобразование по координатам и косинус-Фурье преобразование по вертикальной координате : . (20) . (21) Решение в форме (20) автоматически удовлетворяет граничному условию. При этом распределение источников тепла продолжено в верхнее полупространство четным образом по переменной . Подставляя формулы (20) и (21) в дифференциальное уравнение (19), получим следующую связь между трансформантами Фурье, помеченными волнистой линией сверху: . (22) Используя результат (22), из формулы (20), получим решение в интегральной форме: . (23) Отсюда следует, что распределение температуры на поверхности Земли описывается выражением . (24) Таким образом, найдено решение прямой задачи. Другими словами, рассчитано распределение температуры на поверхности по распределению источников тепла в магматическом очаге, которое предполагается известным. Рассмотрим простой пример прямой задачи на использование решения (24). Допустим, что форма магматического очага имеет вид диска толщиной , срединная плоскость которого ориентирована параллельно поверхности Земли (см. рис 13). Если толщина диска мала по сравнению с его диаметром, зависимостью от в функции можно пренебречь. Вычисляя интеграл по в (24), найдем . Следовательно, . (25) Теперь полагаем, что распределение источника тепла задается функцией , то есть они равномерно распределены в круге радиуса . Для этого случая трансформанта Фурье равна (26) Здесь – функции Бесселя нулевого и первого порядка. Подставляя (26) в (27), будем иметь: . (27) Здесь – полный эллиптический интеграл второго рода. Видно, что линии равных температур представляют собой концентрические окружности. С ростом температура убывает. При фиксированном радиусе температура возрастает с увеличением радиуса диска и интенсивности источников . Для решения обратной задачи подставим связь между трансформантами Фурье (22) в преобразование (21). Получим . (28) Итак, при известном пространственном распределении температур можно, по формуле (28) рассчитать пространственное распределение источников тепла. Поскольку, по определению, , (29) из формулы (28) имеем Внутренний интеграл вычислим, дифференцируя его два раза по параметру (то есть, применяя к нему оператор Лапласа): . С учетом последней формулы получаем . (30) В результате мы пришли к исходному уравнению теплопроводности (17) в его стационарном варианте. Таким образом, пара преобразований (28), (29) эквивалентна исходному дифференциальному уравнению. Для решения обратной задачи теплопроводности нужно по известному (измеренному) распределению температур вычислить его Фурье-образ. Затем, пользуясь формулой (28), рассчитать пространственное распределение источников тепла. Очевидно, что эта сложная и некорректная обратная задача может быть решена лишь численно, с применением современного программного обеспечения и мощной вычислительной техники. Необходимо, кроме того, иметь достаточно полный объем экспериментальных данных. Однако, если мы не интересуемся пространственным распределением источников, а хотим оценить их полную производительность , (31) можно получить общее аналитическое выражение. Проинтегрируем уравнение теплопроводности по объему и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для преобразования объемного интеграла в интеграл по поверхности: . (32) Здесь – внешний вектор нормали к поверхности. Выберем поверхность интегрирования в формуле (31), как показано на рисунке 14. Часть замкнутой поверхности представляет собой полусферу очень большого радиуса. Этот радиус должен быть большим по сравнению, как с характерным размером очага, так и с глубиной его залегания. При таком выборе можно приближенно считать, что очаг точечный, он лежит непосредственно под поверхностью и совпадает с центром выбранной полусферы. Рисунок 14 - Поверхность интегрирования. Вторая часть поверхности интегрирования совпадает с поверхностью Земли и замыкает полусферу . Очевидно, что при этих условиях ровно половина потока вектора градиента давления проходит через поверхность , причем этот поток однороден в каждой точке сферической поверхности. Пользуясь аналогией с электростатикой, можно сказать, что половина потока вектора напряженности поля точечного заряда проходит через полусферу, причем напряженность поля в каждой точке сферической поверхности одинакова. Вторая половина градиента потока температуры проходит через поверхность , но на этой поверхности поле неоднородно. С учетом сказанного интегральное соотношение (32) следует записать в виде: . (33) Используя граничное условие (18), преобразуем выражение под интегралом (33) следующим образом: . (34) Подставляя (33) в (34), найдем полную тепловую мощность магматического очага: . (35) В простейшем частном случае, когда относительный коэффициент теплоотдачи , коэффициент температуропроводности и локальную температуру воздуха можно считать постоянными, формула (35) упрощается: . (36) Таким образом, в простейшем случае тепловая мощность магматического очага определяется интегралом от температуры на поверхности Земли, вычисленным по достаточно протяженной области . В более сложных случаях необходимо измерять значения обоих коэффициентов ( и ), а также температуру воздуха, которая может изменяться от точки к точке над поверхностью сложного рельефа.

Похожие:

	Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № П1084 от... Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный...		Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № П869 от 18... Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный...
	Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № п 716 от... Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный...		Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № П710 от 12... Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный...
	Отчет о выполнении 2 этапа Государственного контракта №16. 740. 11.... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный университет...		Отчет о выполнении 2 этапа Государственного контракта № П371 от 07... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный университет...
	Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта №14. 740. 11.... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный университет...		Отчет о выполнении 2 этапа Государственного контракта № П782 от 24... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный университет...
	Отчет о выполнении 4 этапа Государственного контракта №14. 740. 11.... О выполнении 4 этапа Государственного контракта №14. 740. 11. 1071 от 24. 05. 2011 г		Отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта №16. 740. 11.... Программа (мероприятие): Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013...
	Отчет о выполнении 2 этапа Государственного контракта №14. 740. 11.... «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (мэси)»		Отчет по исполнению I этапа Государственного контракта №05. 043.... Исполнитель (Поставщик): Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы...
	Отчет по исполнению I этапа Государственного контракта №05. 043.... Исполнитель (Поставщик): Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы...		Отчет о проделанной работе Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский государственный...
	Программа (мероприятие): Федеральная целевая программа «Научные и... Исполнитель: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кабардино-Балкарский государственный...		Программа (мероприятие): Федеральная целевая программа «Научные и... Исполнитель: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кабардино-Балкарский...