3. Приложения
Приложение 1.
Требования к оформлению РГР:
- работа выполняется в школьной тетради в клеточку.
- решение каждой задачи начинается с новой страницы.
- условие задачи приводится обязательно.
- необходимые для решения задач формулы приводятся в общем виде.
- решение сопровождается кратким пояснением, объясняющим применение той или иной формулы.
- работа должна быть выполнена аккуратно, запись решения задачи должна быть четкой (читаемой).
Задания для РГР .
Часть 1. Теория вероятностей
Задание 1. Решить задачу двумя способами:
а) используя теорему умножения вероятностей для совместных зависимых событий;
б) используя классическое определение вероятности и формулы комбинаторики.
Вариант
|
Задача
|
1
|
Среди 50 изготовленных шестеренок находится 4 нестандартные. Определить вероятность того, что взятые наудачу две шестерни окажутся нестандартными.
|
2
|
Получена партия изделий, относительно которой известно, что в ней 100 изделий первого сорта и 25 второго. Из партии наудачу выбираются два изделия. Какова вероятность того, что оба будут второго сорта?
|
3
|
У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1 и 4 таких же детали, изготовленных заводом №2. Из общего количества наудачу отбирается две детали. С какой вероятностью следует ожидать, что обе они окажутся изготовленными на заводе №1?
|
4
|
Литье в болванках поступает из двух заготовочных цехов: 60 штук из первого и 40 штук из второго. Найти вероятность того, что две случайным образом отобранные болванки отлиты во втором цеху.
|
5
|
Телеателье получило партию из 45 однотипных запасных радиодеталей, среди которых 15 уже были в употреблении. Какова вероятность того, что две использованные из общего количества для замены детали окажутся новыми?
|
6
|
На складе горюче-смазочных материалов в 12 и 18 канистрах одинаковой формы хранится авиационный и автомобильный бензин. Чему равна вероятность того, что в двух случайно взятых канистрах окажется авиационное горючее?
|
7
|
На рабочее место фрезеровщика доставлено 75 деталей, из которых только 50 были подвержены закаливанию. Рабочий случайным образом отбирает две детали. Чему равна вероятность того, что они обе подвергались закаливанию?
|
8
|
На складе имеется 18 моторов, из которых 8 испорченных. Найти вероятность того, что два мотора, случайно отобранные будут исправными.
|
9
|
Среди 50 изготовленных шестеренок находится 4 нестандартные. Определить вероятность того, что взятые наудачу две шестерни окажутся нестандартными.
|
10
|
Получена партия изделий, относительно которой известно, что в ней 100 изделий первого сорта и 25 второго. Из партии наудачу выбираются два изделия. Какова вероятность того, что оба будут второго сорта?
|
Задание 2.
Решить задачу, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения для независимых совместных событий.
Вариант
|
Задача
|
11
|
В цехе три участка. Вероятность невыполнения плана первым участком составляет 0,02; для второго и третьего участков эти вероятности соответственно равны 0,05 и 0,01. Найти вероятность того, что к моменту подведения итогов работы плановое задание будет выполнено: а) одним участком; б) двумя участками.
|
12
|
Известно, что первый станок простаивает 5%, второй станок - 10%, а третий - 15% рабочего времени. Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент времени окажутся работающими: а) один станок; б) два станка?
|
13
|
В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15, второй и третий не дойдут до финиша соответственно с вероятностями 0,05 и 0,1. Требуется определить вероятность того, что к финишу прибудут: а) один автомобиль; б) два автомобиля.
|
14
|
В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для станков соответственно равны: 0,1; 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают: а) один станок; б) два станка.
|
15
|
ОТК проверяет партии деталей, изготовленные тремя рабочими. Вероятность того, что будет признана годной партия, изготовленная первым рабочим, равна 0,97. Аналогичные вероятности для партий, изготовленных вторым и третьим рабочими, соответственно равны 0,95 и 0,92. Чему равна вероятность того, что окажутся забракованными: а) одна партия; б) две партии?
|
16
|
Вероятность того, что в течение года в радиоприемнике выйдет из строя лампа №1, равна 0,25. Вероятности выхода из строя ламп №2 и №3 равны 0,15 и 0,1. Найти вероятность того, что вышедший из строя радиоприемник не работает из-за неисправности: а) одной лампы; б) двух ламп.
|
17
|
К испытываемому устройству подключены три прибора. Вероятности выхода из строя приборов соответственно равны 0,3; 0,2 и 0,15. Требуется найти вероятность того, что за время проведения испытания останутся работоспособными: а) один прибор; б) два прибора.
|
18
|
На участке установлены три станка, Вероятность выхода из строя первого при его подключении составляет 0,02; для второго станка подобная вероятность равна 0,03, а для третьего - 0,05. Чему равна вероятность того, что при одновременном включении всех станков останутся работоспособными: а) один станок; б) два станка?
|
19
|
В цехе три участка. Вероятность невыполнения плана первым участком составляет 0,02; для второго и третьего участков эти вероятности соответственно равны 0,05 и 0,01. Найти вероятность того, что к моменту подведения итогов работы плановое задание будет выполнено: а) одним участком; б) двумя участками.
|
20
|
Известно, что первый станок простаивает 5%, второй станок - 10%, а третий - 15% рабочего времени. Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент времени окажутся работающими: а) один станок; б) два станка?
|
Задание 3. Решить задачу, используя формулу полной вероятности.
Вариант
|
Задача
|
21
|
Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25, 0,5 и 0,25 соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны – 0,1 для первой партии, 0,2 – для второй и 0,4 – для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
|
22
|
У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 4 – изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,7, а для завода №2 – 0,9. Наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что она стандартна.
|
23
|
Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне – 3 белых и 4 черных кубика, во второй – 2 белых и 2 черных, в третьей – 3 белых и 1 черный. Из наудачу выбранной урны вынимают один кубик. Найти вероятность того, что он белый.
|
24
|
В первой коробке 20 деталей, из них 16 стандартных. Во второй коробке 15 деталей, из них 12 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность извлечения стандартной детали из первой коробки.
|
25
|
Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4, из второй – 6 и из третьей – 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.
|
26
|
На двух станках обрабатывают однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02. Обработанные детали поступают на склад, причем деталей с первого станка в два раза больше, чем со второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.
|
27
|
На первом заводе на каждые 100 лампочек в среднем 10 нестандартных, на втором из 100 – 15 нестандартных, на третьем из 100 – 20 нестандартных. Продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, приобретенных жителями района. Найти вероятность того, что наудачу приобретенная электролампочка будет стандартной.
|
28
|
На сборку поступило 3000 деталей с одного станка и 2000 деталей – со второго. Первый станок дает 0,2% брака, а второй – 0,3% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.
|
29
|
Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25, 0,5 и 0,25 соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны – 0,1 для первой партии, 0,2 – для второй и 0,4 – для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
|
30
|
У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 4 – изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,7, а для завода №2 – 0,9. Наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что она стандартна.
|
Задание 4. Решить задачу, используя формулу Бейеса.
Вариант
|
Задача
|
31
|
На склад поступает продукция с двух фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 60%, а второй – 40%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, а для второй – 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
|
32
|
Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика извлекли белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечен из первого ящика.
|
33
|
Электролампы изготавливаются на двух заводах, причем первый производит 60% общего количества, а второй – 40%. Продукция первого завода содержит 70% ламп высшего сорта, а второго – 80%. В магазин поступает продукция с обоих заводов. Купленная лампа оказалась не высшего сорта. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом заводе.
|
34
|
Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном – 0,7. Прибор вышел из строя за время t. Какова вероятность, что он работал в нормальном режиме?
|
35
|
Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% - из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Одна взятая наугад болванка оказалась без дефектов. Найти вероятность того, что она изготовлена во втором цехе.
|
36
|
Сборщик получил три ящика радиоламп. В первом ящике – 40 ламп, из них 20 окрашенных. Во втором – 50, их них 10 окрашенных. В третьем – 30, из них 15 окрашенных. Взятая наудачу лампа оказалась окрашенной. Какова вероятность того, что она взята из второго ящика?
|
37
|
Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?
|
38
|
Вероятность попадания снаряда в башню танка при одном выстреле 0,2; в корпус – 0,6 и в гусеницу – 0,1. При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3; в корпус – с вероятностью 0,1 и в гусеницу – с вероятностью 0,4. Одним выстрелом танк был поражен. Определить вероятность того, что снаряд попал в башню.
|
39
|
На склад поступает продукция с двух фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 60%, а второй – 40%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, а для второй – 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
|
40
|
Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика извлекли белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечен из первого ящика.
|
Задание 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения
Дискретная случайная величина принимает значения хi с вероятностью pi.
Вариант
|
х1
|
х2
|
х3
|
р1
|
р2
|
р3
|
41
|
1
|
5
|
3
|
0,1
|
0,7
|
0,2
|
42
|
4
|
7
|
1
|
0,4
|
0,5
|
0,1
|
43
|
6
|
2
|
8
|
0,3
|
0,2
|
0,5
|
44
|
3
|
6
|
7
|
0,6
|
0,3
|
0,1
|
45
|
8
|
7
|
3
|
0,4
|
0,2
|
0,4
|
46
|
3
|
5
|
7
|
0,5
|
0,4
|
0,1
|
47
|
4
|
7
|
6
|
0,6
|
0,2
|
0,2
|
48
|
4
|
5
|
5
|
0,5
|
0,3
|
0,2
|
49
|
1
|
2
|
8
|
0,8
|
0,1
|
0,1
|
50
|
8
|
3
|
4
|
0,1
|
0,5
|
0,4
|
Задание 6. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε
Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события А равна p.
Вариант
|
n
|
p
|
ε
|
61
|
200
|
0,2
|
0,02
|
62
|
300
|
0,25
|
0,04
|
63
|
400
|
0,35
|
0,05
|
64
|
600
|
0,45
|
0,06
|
65
|
700
|
0,55
|
0,07
|
66
|
800
|
0,6
|
0,08
|
67
|
900
|
0,65
|
0,09
|
68
|
1100
|
0,7
|
0,05
|
69
|
1200
|
0,75
|
0,04
|
70
|
1300
|
0,8
|
0,02
|
Часть 2. Математическая статистика
Задание 7. Варианты 71-80. (Выборочный метод: Полигон и гистограмма)
Вариант 71. Построить полигон частот по данному распределению выборки (стр. 153 – упр. 444-445)
Вариант 72. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
xi
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
ni
|
10
|
15
|
30
|
20
|
25
|
Вариант 73. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
2
|
4
|
5
|
7
|
10
|
ωi
|
0,15
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
0,45
|
Вариант 74. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
1
|
4
|
5
|
8
|
9
|
ωi
|
0,15
|
0,25
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
Вариант 75. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
20
|
40
|
65
|
80
|
ωi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
Вариант 76. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
Вариант 77. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
xi
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
ni
|
10
|
15
|
30
|
20
|
25
|
Вариант 78. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
2
|
4
|
5
|
7
|
10
|
ωi
|
0,15
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
0,45
|
Вариант 79. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
1
|
4
|
5
|
8
|
9
|
ωi
|
0,15
|
0,25
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
Вариант 80. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi
|
20
|
40
|
65
|
80
|
ωi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
Задание 8. Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена сл4учайная выборка объемом n пакетов. Средний вес пакета сахара в выборке Х кг, выборочное стандартное отклонение s кг. Найти доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной вероятностью p, если стандартное отклонение автомата σ кг. Определить необходимый объем выборки для достижения ширины доверительного интервала  .
Вариант
|
Х
|
n
|
σ
|
D
|
p
|
s
|
81
|
0.99
|
30
|
0.01
|
0.10
|
0.95
|
0.05
|
82
|
0.98
|
34
|
0.07
|
0.15
|
0.99
|
0.10
|
83
|
0.97
|
33
|
0.03
|
0.18
|
0.95
|
0.04
|
84
|
0.96
|
35
|
0.06
|
0.12
|
0.99
|
0.08
|
85
|
0.95
|
36
|
0.09
|
0.19
|
0.95
|
0.02
|
86
|
1.01
|
32
|
0.02
|
0.11
|
0.99
|
0.06
|
87
|
1.02
|
37
|
0.08
|
0.13
|
0.95
|
0.03
|
88
|
1.03
|
38
|
0.04
|
0.16
|
0.99
|
0.07
|
89
|
1.04
|
39
|
0.1
|
0.14
|
0.95
|
0.01
|
90
|
1.05
|
31
|
0.05
|
0.17
|
0.99
|
|
Приложение 2. Титульный лист
|
