1 Парная линейная регрессия

• Введение

В последнее время широкое распространение получило использование моделирования и количественного анализа в экономике. В результате выделилось и сформировалось одно из направлений экономических исследований – эконометрика.

Формально эконометрика означает измерения в экономике. Однако область исследований этой дисциплины гораздо шире. Эконометрика  это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических процессов. Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение либо опровержение того или иного экономического закона или гипотезы. При этом одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям.

Эконометрика как научная дисциплина зародилась на основе слияния экономической теории, математики и статистики. Предполагается, что студенты, изучающие эконометрику, уже прослушали курсы математики, теории вероятностей, математическую статистику, микро- и макроэкономику.

• 1 Парная линейная регрессия

1. Суть регрессионного анализа

Поведение и значение любого экономического показателя зависят практически от бесконечного количества факторов, и все их учесть нереально. Однако обычно лишь ограниченное количество факторов действительно суще­ственно воздействует на исследуемый экономический показа­тель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным от­клонениям в поведении исследуемого объекта. В естественных науках большей частью имеют дело со стро­гими (функциональными) зависимостями, при которых каждо­му значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Однако в подавляющем большинстве случаев между экономическими переменными таких зависимостей нет. Поэтому в экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных либо статистических зависимостях.

Если переменные обозначить Х и Y, то зависимость вида:

(1.1)

называется функцией регрессии Y на X. При этом X называется независимой (объясняющей) переменной (прегрессором), Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении двух случайных величин говорят о парной регрессии.

Зависимость нескольких переменных, выражаемую функцией

, (1.2)

называют множественной регрессией.

Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Для отражения того факта, что реальные значения зависи­мой переменной не всегда совпадают с ее условными математи­ческими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной (наборе объясняю­щих переменных), фактическая зависимость должна быть до­полнена некоторым слагаемым , которое, по существу, являет­ся случайной величиной и указывает на стохастическую суть зависимости. Из это­го следует, что связи между зависимой и объясняющей (ими) переменными выражаются соотношениями

(1.3)

, (1.4)

называемыми регрессионными моделями (уравнениями).

Сре­ди причин обязательного присутствия в регрессионных моделях случайного фактора (отклонения) можно выделить следующие:

1. 
   Невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситуации. Последняя всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных фак­торов, многие из которых в модели не учитываются, что порож­дает отклонение реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений. Например, спрос (Q) на товар опреде­ляется его ценой (Р), ценой (P_s) на товары-заменители, ценой (P_с) на дополняющие товары, доходом (Г) потребителей, их ко­личеством (N), вкусами (Т), ожиданиями (W) и т. д. Безуслов­но, перечислить все объясняющие переменные здесь практиче­ски невозможно. Например, мы не учли такие факторы, как традиции, национальные или религиозные особенности, геогра­фическое положение региона, погода и многие другие, влияние которых приведет к некоторым отклонениям реальных наблю­дений от модельных, которые можно выразить через случай­ный член е: Q = f(P, P_s, P_c, I, N, Т, W, ). Проблема еще и в том, что никогда заранее не известно, какие факторы при создав­шихся условиях действительно являются определяющими, а какими можно пренебречь. Например, в ряде случаев учесть непосредственно какой-то фактор нельзя в силу невозможности получения по нему статистических данных.
   
2. 
   Неправильный выбор функциональной формы модели. Из-за слабой изученности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая. Это, безусловно, скажется на отклонении моде­ли от реальности, что отразится на величине случайного члена. Кроме того, неверным может быть подбор объясняющих переменных.
   
3. 
   Агрегирование переменных. Во многих моделях рассмат­риваются зависимости между факторами, которые сами пред­ставляют сложную комбинацию других, более простых пере­менных. Например, при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного спроса проводится анализ зависимо­сти, в которой объясняемая переменная является сложной ком­позицией индивидуальных спросов, оказывающих на нее опре­деленное влияние помимо факторов, учитываемых в модели. Это может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных.
   
4. 
   Ошибки измерений. Какой бы качественной ни была мо­дель, ошибки измерений переменных отразятся на несоответст­вии модельных значений эмпирическим данным, что также от­разится на величине случайного члена.
   
5. 
   Ограниченность статистических данных. Зачастую строятся модели, выражаемые непрерывными функциями. Но для этого используется набор данных, имеющих дискретную структуру. Это несоответствие находит свое выражение в слу­чайном отклонении.
   
6. 
   Непредсказуемость человеческого фактора. Эта причи­на может «испортить» самую качественную модель. Действи­тельно, при правильном выборе формы модели, скрупулезном подборе объясняющих переменных все равно невозможно спрогнозировать поведение каждого индивидуума.
   

Решение задачи построения качественного уравнения рег­рессии, соответствующего эмпирическим данным и целям ис­следования, является достаточно сложным и многоступенча­тым процессом. Его можно разбить на три этапа:

1) выбор формулы уравнения регрессии;

2) определение параметров выбранного уравнения;

3) анализ качества уравнения и поверка адекватности урав­нения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

Выбор формулы связи переменных называется специфика­цией уравнения регрессии. В случае парной регрессии выбор формулы обычно осуществляется по графическому изображе­нию реальных статистических данных в виде точек в декарто­вой системе координат, которое называется корреляционным полем (диаграммой рассеивания) (рис. 1.1).

Рис. 1.1
Если на первых двух графиках относительно четко определяется форма связи (для первого – линейная, для второго – квадратичная), то для третьего явная взаимосвязь между переменными отсутствует. В случае множественной регрессии определение подходящего вида регрессии является наиболее сложной задачей.