Применение математических методов при формировании ценовой политики компании

На правах рукописи Дмитриенко Константин Юрьевич ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЦЕНОВОЙ ПОЛИТИКИ КОМПАНИИ Специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Новосибирск 2009 Работа выполнена в Институте экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения РАН. Научный руководитель: кандидат экономических наук, доцент Соломенникова Елена Афанасьевна Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор Коломак Евгения Анатольевна кандидат экономических наук, доцент Ковалева Галина Даниловна Ведущая организация Алтайский государственный университет Защита состоится 24 декабря 2009 г. в 12 часов на заседании Диссертационного совета Д212.174.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, улица Пирогова 2. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета, Института экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения РАН. Автореферат разослан 23 ноября 2009 г. Ученый секретарь Диссертационного А.В. Комарова совета, к.э.н. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Вопрос ценообразования является базовым для компании. Под кажущейся одномерностью решения проблемы определения цены скрывается целый комплекс стратегий обладания ценовым преимуществом, которое реализуется на различных уровнях бизнес среды. Радикальное изменение отношения менеджмента западных компаний к обозначенному вопросу произошло в 1980-х годах, когда многие фирмы столкнулись с тем, что направленное на защиту доли рынка ценовое продвижение (увеличение доли рынка за счет снижения цены) весьма негативно сказывается на лояльности потребителей и прибыльности компаний. Становится очевидным, что вопрос ценообразования требует более тщательного анализа. Прежде всего компании обратились к ценностному подходу формирования цены, в рамках которого именно экономическая ценность будущего товара для потребителя определяет последовательно цену, технологии, себестоимость продукта. Производитель сосредотачивает свои усилия на том, чтобы понять потребности покупателя и его желание платить за те или иные характеристики товара. Одновременно использование этого подхода открыло возможности для практической реализации методов ценовой дискриминации, так как теперь значимость дифференциации продукта не вызывает сомнений. Ценовая дискриминация может быть использована во многих аспектах: сегментирование рынка, дифференциация потребителей по показателю ценности товара для них, сезонное ценообразование, скидки, зависящие от объема покупки, и др. Чем более тонко настроен инструмент ценообразования – тем выше прибыльность компании. Применение любого дополнительного метода дискриминации является выгодным для фирмы. Поэтому наша работа была посвящена моделированию тех аспектов ценообразования и ценовой дискриминации, которые ранее не исследовались, а также имеют практическую значимость для предприятий. Целью данного исследования является разработка совокупности математических моделей по управлению ценообразованием с использованием математических методов. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи: на основе обзора и анализа текущих научных исследований по заданной теме диссертационной работы определить области возможного использования математических методов для решения вопросов в области ценообразования, обосновать авторский подход к использованию математических методов в области ценообразования; разработать совокупность моделей для определения оптимальных уровней цен на различных уровнях анализа, представить её общую схему и детализировать составные элементы (предпосылки, целевые функции участников рынка, модели, алгоритмы, модификации); получить качественные общие выводы на основе предложенных теоретических моделей, указать способы практического использования данного математического аппарата; провести апробацию предложенных модифицированных моделей, имеющих практический характер, указать способы подготовки исходных данных и пути использования модельного комплекса в реальных условиях. Объект исследования – ценообразование. Предметом исследования являются методы управления ценообразованием с использованием математических моделей. Область исследования. Диссертация выполнена в соответствии с паспортом специальности ВАК 08.00.13 – “Математические и инструментальные методы экономики”, п. 1.4. “Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений”. Методологическую базу исследования составляют методы и модели микроэкономики, теории отраслевых рынков. Теория игр использовалась в качестве базового инструмента для построения математических моделей. В работе над диссертацией использовались труды отечественных и зарубежных авторов, ведущих консалтинговых компаний, посвященные вопросам менеджмента, маркетинга, ценообразования: по проблеме неценовой дифференциации: Г. Хотеллинга, Ж. Тироля, Ж. Габшевича, Ж.-Ф. Тисса, Х. Вауфи, Ж. Чой, Х. Шина, К. Завада, М. Марна, E. Роегнера и др.; по проблеме дисконтного ценообразования: C. Карабати, П. Кувелиса, П. ДеГраба, К. и Р. Ванга, Д. Семчи-Леви, Чен Хи и др.; общие обзоры ценовой дискриминации: М. Армстронга, Л. Столя. Научная новизна работы заключается в следующем: предложена совокупность математических моделей по управлению ценообразованием с использованием математических методов; разработана модификация модели неценовой дифференциации товара, интегрирующая одновременно элементы вертикальной и горизонтальной дифференциации; предложена методика использования теоретической модели неценовой дифференциации в реальных условиях, указаны способы подготовки исходных данных для моделирования; разработана двухпериодная модель дисконтного ценообразования, на основании которой на качественном уровне исследуются вопросы межпериодной динамики цены, прибыльности механизма распродаж, влияния качественных факторов на размер предоставляемой скидки; предложена модификация модели дисконтного ценообразования при условии неопределенности относительно общей величины спроса покупателя. Практическая значимость результатов. Предложенные модифицированные модели в большей степени носят теоретический характер, но их использование позволяет получать качественные выводы, которые являются ценными при принятии решений менеджментом компаний. Кроме того, в работе предложены методики практического использования рассмотренных моделей. Основные модели, рассмотренные в работе, были успешно апробированы с использованием условного примера. Модель дисконтного ценообразования при условии неопределенности относительно спроса покупателя была апробирована на реальных данных компании ОАО “Скрижаль”. Имеется справка об апробации. Научные положения выносимые на защиту: 1) Интеграция аспектов вертикальной и горизонтальной дифференциации товара в единую модель позволяет нивелировать противоречия классических моделей теории отраслевых рынков, посвященных вопросу неценовой дифференциации. Также на основании формального анализа модифицированной математической модели показано, что конкурирующие фирмы стремятся производить товары схожей функциональности, но максимально дифференцированного качества. 2) Использование механизма распродаж обеспечивает фирме большую прибыль по сравнению со случаем фиксированной цены в обоих периодах. 3) Основной фактор снижения цены в период распродажи - снижение ценности товара для покупателя между периодами. Вертикальная дифференциация по качеству товара не оказывает влияния на сравнительный размер скидки в то время, как продавец товара с более сильным брэндом (горизонтальная дифференциация) во втором периоде назначает меньшую скидку. 4) Предложенная модель дисконтного ценообразования при условии неполноты информации производителя относительно общей величины спроса покупателя позволяет вырабатывать эффективные решения относительно скидок, зависящих от размера заказа, в условиях неопределенности. Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы общим объемом 1.9 п.л. Из них две статьи в научном журнале, рекомендованном ВАК (Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки) общим объемом 1.8 п.л., и две статьи в сборнике материалов XLVII международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс 2009” общим объемом 0.1 п.л. Кроме того, пятая работа объемом 1.5 п.л. принята для опубликования редакционной коллегией журнала “Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки” – имеется соответствующая справка. Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка (127 наименований) и приложений. Основной текст диссертации содержит 159 страниц машинописного текста (без учета списка литературы и приложений), 26 рисунков и 29 таблиц. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИСЛЕДОВАНИЯ Во введении диссертации обоснована актуальность темы исследования, сформированы цель и задачи диссертационной работы, определены объект и предмет исследования, теоретические и методологические основы, определена научная новизна и практическая значимость работы. В первой главе представлен обзор теоретических, практических и математических моделей, посвященных проблеме определения цены. Показано, в каких областях возможно интегрирование математических методов моделирования в практику решений вопросов ценообразования, принимаемых менеджментом компаний. Приведен сравнительный анализ существующих математических моделей, обоснован базис выбора моделей для их последующих модификаций. Во второй главе представлена структура предложенной совокупности модифицированных моделей, которые используются на уровне анализа рынка и на транзакционном уровне. Приводятся авторские блоки моделей, посвященных вопросам неценовой дифференциации товара, интеграции аспектов вертикальной и горизонтальной дифференциации в единую модель, сезонного дисконтного ценообразования и выработки решений относительно размера скидок, зависящих от размера заказа, в условиях неопределенности. В третьей главе произведена апробация модели неценовой дифференциации и модели дисконтного ценообразования при условии неопределенности на условном примере и реальных данных. Указаны пути подготовки исходных данных для моделирования с помощью методов маркетингового исследования, методов математической статистики. Успешная апробация подтверждает практическую значимость предложенных математических моделей. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Совокупность разработанных моделей представлена на рисунке 1: Анализ конкурентного положения фирмы на рынке Модель одновременной вертикальной и горизонтальной дифференциации товара [2.2.1 – 2.2.3] Модель выбора горизонтальной дифференцирующей характеристики товара [2.2.4] Модель неценовой дифференциации – случай трех фирм [2.3] Факторы конкурентного преимущества Характеристики товара Цена Оптимальный уровень цен Практическая апробация модели [3.1] Транзакционный анализ – предоставление скидок Сезонное дисконтное ценообразование Скидки, зависящие от размера заказа Обоснование целесообразности применения механизма сезонных распродаж [2.4.1 – 2.4.2] Анализ влияния качества товара и брэнда на размер предоставляемой скидки [2.4.3 – 2.4.4] Модель дисконтного ценообразования при условии неполной информации относительно спроса покупателя [2.5] Оптимальный уровень цен, дополненный схемой дисконтного ценообразования Практическая апробация модели [3.2], [3.3] Рис. 1. Схема совокупности моделей по применению математических методов для управления системой ценообразования 1) Интеграция аспектов вертикальной и горизонтальной дифференциации товара в единую модель позволяет нивелировать противоречия классических моделей теории отраслевых рынков, посвященных вопросу неценовой дифференциации. Также на основании формального анализа модифицированной математической модели показано, что конкурирующие фирмы стремятся производить товары схожей функциональности, но максимально дифференцированного качества. Отсутствие фактора неценовой дифференциации товара в классической модели олигополии приводит к существованию парадокса Бертрана, который обосновывает невозможность стабильного равновесия на рынке в обозначенной модели. В работах Г. Хотеллинга, Ж. Тироля и др. рассматривается вопрос нивелирования этого парадокса посредством горизонтальной (по местоположению, модели и т.п.) и вертикальной (по качеству) неценовой дифференциации товара. Однако выводы авторов относительно того, должны ли фирмы сближаться или дистанцироваться друг от друга по дифференцирующему признаку различны. Это обозначило необходимость интеграции подходов горизонтальной и вертикальной дифференциации в единую модель. Это достигается путем введения в рассмотрение функции полезности потребителя вида: . Первое слагаемое соответствует элементу горизонтальной дифференциации. Фирма предлагает товар модели . У потребителя есть предпочтении относительно модели . - показатель масштабирования относительно цены продукции. Отклонение предлагаемой модели товара от желаемой приводит к уменьшению полезности потребителя от приобретаемого блага. Второе слагаемое соответствует элементу вертикальной дифференциации. - это качество товара, - показатель ценности качества для потребителя. - цена товара, предлагаемого производителем. Рассматриваемые потребители гетерогенны. Показатели распределены равномерно на отрезке , причем . Показатели распределены равномерно на отрезке . Таким образом, покупатели равномерно распределены на единичном квадрате. В базовой модификации модели рассматривается рынок олигополии двух фирм. Производители предлагают пакеты товаров и - цена, качество, модель. Удельные издержки производства равны . Фирмы решают игру, состоящую из двух стадий: на первой стадии определяется качество производимой продукции, на второй – цена. Качество товара выбирается из интервала . Кроме того, анализируется выбор оптимальной модели товара. На обеих стадиях искомые величины находятся как результат равновесия Нэша, а в целом совершенное в под-играх равновесие (SPNE). Рис.2. Схема нахождения совершенного в под-играх равновесия В результате решения игры, состоящей из двух стадий, мы получаем следующее решение: . Интеграция вертикальной и горизонтальной дифференциации товара в единую модель позволило нивелировать противоречие классических моделей. В результате анализа решения мы пришли к выводу, что фирмы стремятся производить товары с одинаковыми функциональными характеристиками (модель и т.п.), но противоположного качества. По качеству фирмы стремятся максимально дистанцироваться друг от друга, чтобы получить максимальную монопольную власть на своем участке рынка, что гарантирует отсутствие парадокса Бертрана в рассматриваемой модели и стабильность равновесия. Соотношения цен, спроса, прибылей фирм является неоднозначными, так как в модели присутствуют три фактора, которые по-разному влияют на изучаемые величины: дифференциация качества – всегда положительно; издержки – положительно на цену, отрицательно на прибыль и спрос; модель товара – знакопеременно (в зависимости от того, насколько сильно характеристики, предлагаемые производителем, отклоняются от характеристик, которые желает потребитель). Данная модель описывает ситуацию на рынках потребительских товаров, где существует достаточная гетерогенность покупателей и дифференцирующие неценовые характеристики товаров. В расчетной части диссертационной работы предложена методика определения гетерогенности покупателей, характера их предпочтений методом опроса фокус групп с последующим использованием методов математической статистики. Апробация модели на условном примере позволяет утверждать, что данная теоретическая модель может найти практическое применение для получения качественных и количественных результатов. 2) Использование механизма распродаж обеспечивает фирме большую прибыль по сравнению со случаем фиксированной цены в обоих периодах. На основе модели неценовой дифференциации товара были исследованы вопросы сезонного дисконтного ценообразования. Каждый потребитель характеризуется параметром ценности товара для него , которые равномерно распределены на отрезке , причем . Функция полезности потребителя в первом периоде имеет следующий параметрический вид: , где - цена товара, - нормирующий коэффициент. Во втором периоде ценность товара для потребителя снижается в силу следующих факторов: изменение модных тенденций, сезонность, сложности выбора во втором периоде (большая вероятность отсутствия наиболее популярных размеров и моделей). В результате функция полезности во втором периоде принимает следующий вид: , где - коэффициент снижения ценности. Результаты сравнения деятельности фирмы, которая использует схему сезонного дисконтного ценообразования, с результатами фирмы, которая устанавливает фиксированную цену в обоих периодах, представлены в таблице 1 (где - спрос, - прибыль): Таблица 1 Сравнение результатов дисконтного ценообразования с механизмом фиксированной цены Механизм распродажи Механизм фиксированной цены > < > > Механизм распродаж обеспечивает продавцу больший спрос и прибыль. Соотношение цен следующее: в первом периоде продавец, использующий распродажи, назначит цену выше фиксированной цены для обоих периодов. Во втором периоде соотношение изменится в противоположную сторону. Подобные результаты на теоретическом уровне обосновывают целесообразность использования механизма распродаж как одного из инструментов ценовой дискриминации. Распространение анализа на случай двух товаров приводит к выводу, что снижение общего уровня цен в период распродажи не противоречит возможности фиксации или даже повышения цены на некоторые комплементарные товары. Низкая цена на некоторые позиции привлекает покупателей в магазин, где они могут совершить дополнительные покупки комплементарных товаров. 3) Основной фактор снижения цены в период распродажи - снижение ценности товара для покупателя между периодами. Вертикальная дифференциация по качеству товара не оказывает влияния на сравнительный размер скидки в то время, как продавец товара с более сильным брэндом (горизонтальная дифференциация) во втором периоде назначает меньшую скидку. Влияние характеристик неценовой дифференциации товара на сравнительный размер предоставляемой скидки в период распродажи было исследовано для двухпериодной модели рынка олигополии двух фирм. При изучении влияния качества используется функция полезности потребителя вида: . На рынке представлено два производителя, предлагающих товары качества и , причем . Соответственно, второй производитель назначает более высокую цену. При анализе влияния брэнда как фактора горизонтальной дифференциации была использована функция полезности вида: , где - это детерминированный показатель ценности качества (он одинаков для всех потребителей), - цена товара, - “расстояние” от потребителя до фирмы на отрезке . - это показатель силы брэнда: чем меньше этот показатель первого брэнда относительно второго, тем более привлекателен товар для покупателя. При выборе между двумя товарами при одинаковой цене покупатель сравнивает “издержки” вида и делает выбор в пользу того товара, чей брэнд приносит меньшие затраты заданного вида. Фирмы характеризуются различными показателями силы брэнда , . Предположим, что - брэнд первой фирмы обладает большей силой. Формальный анализ решения определения цены фирмами в период распродажи показал, что качество товара не оказывает влияние на размер относительной скидки в период распродажи. Но скидка товара с более слабым брэндом оказывается неизменно больше по сравнению со скидкой товара с более сильным брэндом. 4) Предложенная модель дисконтного ценообразования при условии неполноты информации производителя относительно общей величины спроса покупателя позволяет вырабатывать эффективные решения относительно скидок, зависящих от размера заказа, в условиях неопределенности. На уровне транзакционного анализа была разработана модель дисконтного ценообразования при условии неопределенности относительно спроса покупателя. Эта модель – модификация модели экономичного размера заказа, в которую внедрен блок анализа поведения покупателя/ритэйлера, что является ценным дополнением. Основные предпосылки модели следующие: годовой спрос покупателя является постоянной величиной, например, в силу жесткого бюджетирования, однако, это величина неизвестна производителю; издержки обработки одного заказа для производителя достаточно велики, чтобы модель имела смысл; производитель оценивает интервал годового спроса покупателя, используя математические, экспертные методы; покупатель использует модель экономичного размера заказа; большей величине спроса покупателя соответствует меньшая величина издержек обработки одного заказа в силу эффекта масштаба. Обозначения модели представлены в таблице 2: Таблица 2 Основные обозначения модели дисконтного ценообразования Постоянная величина спроса в единицу времени Величина заказа покупателя Удельные издержки хранения единицы товара покупателем Удельные издержки хранения единицы товара продавцом Издержки размещения заказа покупателем Издержки обработки заказа продавца Поскольку величина годового спроса постоянна, внимание покупателя при определении величины заказа сконцентрировано на издержках обработки заказа и хранения товара на складе: Издержки производителя представлены аналогичной функцией, где - величина превышения объема товара на складе фирмы над размером заказа покупателя: Производитель предлагает скидку размером для стимулирования покупателя к увеличению размера заказа. При этом фирма получает экономию на издержках обработки заказа. Задача усложняется тем, что производителю известны не все характеристики покупателя. Он делает интервальную оценку спроса . Далее этот отрезок разбивается на интервалов посредством точек , причем . Для каждого интервала производитель предлагает лот, представленный величиной скидки и увеличенным размером заказа . Для того, чтобы покупатель принял участие в дисконтной схеме, должны быть выполнены следующие условия: 1) условие участия вида: , , которое означает, что потребитель не проигрывает от использования скидки (где - размер заказа покупателя при отсутствии скидок, ); 2) условие самовыявления вида: , , которое означает, что у покупателя со спросом из -го интервала не возникает желания воспользоваться предложением, разработанным для покупателя, чей спрос попадает в интервал . Тогда задача производителя записывается в виде: , , Решение задачи приводит к следующим результатам: , , где . Выше представлен простой механизм формирования оптимальной дисконтной схемы для определенного количества точек дискретизации спроса , каждая из которых соответствует объему спроса в интервале . Иными словами, для заранее заданной - точечной дискретизации оценочного интервала спроса покупателя разработана оптимальная схема предложения скидок. Далее был исследован вопрос определения оптимальной дискретизации интервала спроса. Предложена итеративная процедура: сначала задается начальная дискретизация, для которой находятся оптимальные величины скидок и объемов заказа, далее на второй стадии заново определяются оптимальные точки дискретизации согласно формуле: , . Итерации продолжаются до тех пор, пока каждая из них приносит значимое увеличение экономии от внедрения механизма дисконтного ценообразования. Модель дисконтного ценообразования при условии неопределенности была апробирована на условном примере. В результате мы показали, что при увеличении точек дискретизации интервала спроса ожидаемая экономии от внедрения дисконтного механизма увеличивается, как показано на рисунке 3: Рис. 3. Зависимость уровня экономии от величины дискретизации интервала спроса Вопрос эффективности использования механизма дисконтного ценообразования предполагает исследование двух аспектов: оценка степени экономии от внедрения дисконтного ценообразования в абсолютном и относительном выражениях; сравнение результатов для случая полной и неполной информации (понятно, что случай обладания производителем полнотой информации обеспечивает максимальный уровень экономии). Ожидаемая экономия для точек дискретизации составила 110, 276 тыс. руб., или около 3%. Сравнение со случаем полной информации показало, что разработанная модель обеспечивает от 97% до 99% эффективности. Основные элементы рассмотренной выше модели также были успешно апробированы на реальных данных компании ОАО “Скрижаль”. Модель использовалась для достижения экономии транспортных затрат, которая составила до 23% при использовании модели. **** Предложенная в диссертационной работе совокупность моделей по управлению системой ценообразования является одним из возможных наборов математических инструментов, которые могут быть использованы компанией для достижения ценового преимущества. В дальнейшем при практической реализации разработанные модели могут подвергаться различным модификациям для адаптации к специфике фирмы, рынка. Рассмотренные модели имеют теоретические и практические приложения на уровне анализа положения фирмы на рынке и на транзакционном уровне и позволяют получать качественные и количественные выводы, которые могут быть ценными при принятии решений менеджментом компаний. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ а) Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК: 1. Дмитриенко К.Ю. Моделирование оптимального поведения фирмы на рынке олигополии при условии неценовой дифференциации товара // Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки. 2009. Т. 9. Выпуск 1. С. 42-53. 2. Дмитриенко К.Ю. Механизм дисконтного ценообразования: влияние качественных характеристик товара на размер скидки // Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки. 2009. Т. 9. Выпуск 2. С. 36-44. Также работа Дмитриенко К.Ю. “Моделирование оптимального механизма дисконтного ценообразования при условии неполноты информации относительно спроса покупателя” объемом 1.5 п.л. принята для опубликования редакционной коллегией журнала “Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки” – имеется соответствующая справка. б) Прочие публикации: 1. Дмитриенко К.Ю. Моделирование оптимального поведения фирмы на рынке олигополии при условии неценовой дифференциации товара // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс 2009”. Н-ск: НГУ. 2009. С. 196-197. 2. Дмитриенко К.Ю. Механизм дисконтного ценообразования: влияние качественных характеристик товара на размер скидки // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс 2009”. Н-ск: НГУ. 2009. С. 137.

Похожие:

	Секция «Математика» «Применение математических методов при решении... «Технология» в которых принимают участие учащиеся города Волгодонска и близлежащих территорий		Урока: Применение математических функций при создании Flash анимаций Тема учебного занятия: Применение математических функций при создании Flash анимаций
	Новосибирский государственный технический университет кафедра вычислительной техники Целью работы является: изучение методов решения задач нлп, особенностей, возникающих при использовании тех или иных методов решения;...		Применение математических методов для решения содержательных задач... «Технология» в которых принимают участие учащиеся города Волгодонска и близлежащих территорий
	Применение ит в формировании современного лица Реферат на тему «применение ит в формировании современного «лица» белорусских печатных сми» 4		«Применение векторно-координатного способа при нахождении угла между плоскостями» Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к егэ по математике по теме: «Применение различных методов нахождения...
	«применение современных инновационных технологий при формировании...		* “ Альтернативные источники энергии и их возможное применение в Черноморском регионе Охватывает возможные направления по применению виэ, включая и такие аспекты, как выявление этих источников и их защита, устанволение...
	Применение средств и методов информатики и икт при изучении различных школьных дисциплин		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... На тему: Применение теорий международной торговли при разработке экспортной стратегии компании
	1 динамическое программирование 5 Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим...		Применение информационных технологий в сфере разработки и координации валютной политики нб рб Использование информационных технологий при разработке валютной политики нб рб 10
	Применение информационных технологий в сфере разработки и координации валютной политики нб рб Использование информационных технологий при разработке валютной политики нб рб 10		Исследовательская работа математика в различных сферах жизнедеятельности Было дано понятие прикладной математики и ее основных составляющих. С помощью математических методов и моделей было охарактеризовано...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема учебного занятия: Применение математических функций при создании Flash анимаций		В. М. Гальперина и Н. А. Зенкевича Рынки и рыночная власть, теория организации промышленности Книга предназначена для студентов старших курсов, научных работников, преподавателей и аспирантов, специализирующихся в области экономической...