РАЙОННАЯ НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ «СТАРТ В НАУКУ»
Секция «Математика»
«Применение математических методов
при решении задач
из различных областей науки и практики»
Автор: Медведева Анастасия,
учащаяся 10 класса,
МОУ СОШ №3.
Руководитель: Алексашина
Галина Михайловна,
учитель
г. Ртищево, 2011 г.
Оглавление:
I. Введение…………………………………………………………………………………1
II. Математика-царица всех наук.
1.Математика и физика…………………………………………………………………...2-3
2.Математика и химия…………………………………………………………………….4-5
3.Математика и биология…………………………………………………………………5-7
4.Математика и экономика……………………………………………………………….7-8
III. Математика в практических задачах…………………………………….…………..8-9
IV. Заключение………………………………………………………………….................10
V. Список используемой литературы…………………………………………………….11
Введение.
Наука только тогда
достигает совершенства,
когда ей удается
пользоваться математикой.
К.Маркс
Математика – царица всех наук. Как часто мы слышим эти слова, сказанные немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855) много лет назад. Эти слова можно подтвердить и высказываниями других ученых. Александров А.Д. говорил: «Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы» Слова Гнеденко Б.В, советского математика, подтверждают это высказывание: «В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога»
Каким же образом математика применяется в изучении физических, химических, биологических, экономических и других явлений? Чтобы ответить на этот вопрос, я поставила перед собой следующие цели и задачи:
1.Показать связь математики с другими науками.
2.Узнать, какие реальные процессы в окружающем нас мире задают математическую модель.
3.Познакомиться с формулами, описывающими реальные процессы в жизни, и научится решать задачи по этим формулам.
II. Математика – царица всех наук.
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках. Сейчас никого не удивишь словосочетаниями "математическая лингвистика", "математическая биология", "математическая экономика" и т.п. — какую дисциплину ни взять, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета "математический". Распространение математики вширь сопровождается се проникновением вглубь. Математика занимает сегодня видное место в жизни общества.
Сферу приложения математики мы можем увидеть из схемы:
1.Математика и физика.
В физике широко распространена показательная функция:
- Барометрическая формула:
p=p0e–h/H
- Движение тела в сопротивляющейся среде:
V=v0e-kt/m
- Радиоактивный распад:
m(t)=C e–kt=m02-t/T
- Охлаждение тел:
T=T1 - C e-kt
Задача:
Два тела имеют одинаковую температуру 100о. Они вынесены на воздух (его температура 0о). Через 10 минут температура одного тела стала 80о, а второго 64о. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25о?
Решение:
Температуры первого и второго тел в момент времени R1=100е-k1t, R2=100e-k2t,
e-1Qk1 =8/10, e-1Q2=64/100, е-k1= (4/5)1/10, е-k2=(64/100)1/10.
Требуется найти момент времени t, когда R1(t)-R2(t)=25. Получаем уравнение:
100(е-k1t- е-k2t)=25, т.е. е-k1t- е-k2t=1/4.
(4/5)t/10 – (64/100)t/10=1/4;
(4/5)t/10 – (16/25)t/10=1/4;
(4/5)t/10 – (4/5)2t/10=1/4.
Пусть у =(4/5)t/10, тогда получаем уравнение:
-у2+ у – 1/4=0.
Решая это уравнение, получаем у=½, т.е (4/5)t/10=½. Логарифмируя по основанию 10, получим t/10 * lg 0,8 = lg ½, откуда t=10(-lg2)/3*lg2-1=31,06, т.е t=31,06.
Ответ: Через 31,06 минут.
2) Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m02-t/T .В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m0 = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого равен Т = 15 ч. В течении скольких часов содержание натрия-24 в веществе будет превосходить 3 мг?
Решение:
Подставим в данную формулу известные данные, получим:
12*2-t/15>3
2-t/15>1/4
2-t/15>2-2
-t/15>-2
t<30
Ответ: В течение 30 часов.
2.Математика и химия.
И естествоиспытателем
нельзя быть, не получивши
начальных знаний в
математике.
Менделеев Д.И.
Из задач по химии школьного курса изучения можно выделить задачи, при решении которых используются логарифмы:
- равновесные процессы;
- гидролиз растворов солей;
- скорость химической реакции изучает раздел кинетика;
- расчет рН.
Приведем примеры решения данных типов задач.
1) На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растет в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10о?
Решение:
3x=59000; lg 3x = lg 59000; x lg3 =lg 59000;
10° · x =10°·10° = 100°
Ответ: Надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции.
2) Реакция при температуре 50°С протекает за 2 мин. 15 сек. За сколько времени закончится эта реакция при температуре 70°С, если в данном температурном интервале температурный коэффициент скорости реакции равен 3?
Решение. При увеличении t с 50° до 70° С скорость реакции в соответствии с правилом Ван-Гоффа возрастает:
 = γ(t2 - t1)/10
Где t2 = 70° С, t1=50°C, а υt2 и υt1– скорости реакции при данных температура.
Получаем:
= 3(70-50)/10 = 32 = 9
т.е. скорость реакции увеличится в 9 раз.
В соответствии с определением,  реакция обратно пропорциональна t реакции, следовательно
 ,
где τ – время реакции при температуре t1 и t2, следовательно τ t2 = τ t1 * υt1/ υt2
Учитывая, что τ t1= 135 сек., определяем t при 70°С: τ t2= 135 * 1/9 = 15 сек
Ответ: τ t2=15 сек.
3.Математика и биология.
В биологии так же широко используется показательная функция. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей и ферментов подчиняются одному закону: N=N0ekt. По этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.
Рассмотрим такие задачи:
1) Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?
Решение: Применим для вычисления времени формулу сложных процентов:  где
 2 тыс. – численность животных по истечению искомого времени;
 5 тыс. – численность животных в начальный момент времени;
p = 8 - % сокращения численности животных.
Предварительно разделив обе части уравнения на 1000, получим:
 
 лет.
Ответ: Приблизительно через 11 лет.
2) Рассмотрим задачу об органическом росте в общем виде.
Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц.
Решение: Для того чтобы это сделать, сначала напомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида   .
В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда  , и значит,  , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид  . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением  , т.е.  , откуда 
  Таким образом, по данным условия мы получаем функцию  . И теперь ясно, что мы ищем x, при котором  , т.е. надо решить уравнение  Выполняя логарифмирование уравнения  по основанию 10, получим  
 
 
Ответ:
4) Математика и экономика.
1)Заглянем в кабинет экономиста одного из торговых предприятий. Перед которым возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В. Можно закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В. Торговое предприятие остановилось на первом варианте, т.к. при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товара А. Какова цена товара А и товара В? Математика, выручай!
Пусть стоимость единиц товара А – х рублей, единиц товара В – у рублей. Тогда мы получим систему уравнений:
5х+8у=92;
8х+5у=92+2х;
Решив которую, получим, что стоимость одной единицы товара А-12 тысяч рублей, а цена одной единицы товара В-4 тысячи рублей.
2)Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли, которых в минувшем году составила 13 млн. рублей. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго - на 140%. В результате, суммарная прибыль фирмы должна вырасти в 2 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений:
1)в минувшем году?
2)в текущем году?
Решение: Обозначим через х млн.рублей прибыль первого отдела и через у млн.рублей прибыль второго отдела в минувшем году. Тогда по условию задачи составим и решим систему уравнений с двумя переменными:
х+у=13;
1,75х+2,4у=26.
Решив которую, получим, что:
1)прибыль в минувшем году у первого отделения 8 млн.рублей, у второго-5 млн.рублей.
2)Прибыль в этом году у первого отделения 14 млн.рублей, у второго-12 млн.рублей.
3)А теперь заглянем в кабинет экономиста некоторой фирмы, которая производит детские велосипеды. Экономисты рассчитывают, сколько велосипедов в день надо производить по цене х рублей, чтобы прибыль была максимальной. И в этот раз нам не обойтись без математики…
Решение: Изначально надо установить зависимость между ценой х руб. одного велосипеда и количеством у единиц товара, приобретаемого за один день. Математическими методами было определено, что данная зависимость задана формулой у=570-3х. (1) Выясним, какую цену на товар установит фирма для того, чтобы прибыль от его реализации была наибольшей. Прибыль р находится по формуле р=ху. Согласно (1), р=х(570-3х), или р=-3х2+570х. Таким образом получается, что функция р=-3х2+570х является квадратичной. Функция будет достигать своего наибольшего значения при х=-570/(-3)*2=95.
Это наибольшее значение равно р=27075. Получается, что наибольшая выручка в 27075 рублей будет достигаться в том случае, если фирма реализует по цене 95 р. у=570-3*95=285 единиц товара.
III. Математика в практических задачах.
Решено комнату (включая потолок) оклеить обоями. Обои покупаются с запасом 20 % от оклеиваемой площади. Стоимость обоев указана в таблице. Потолок решено оклеить белыми обоями, стены – зелеными. Ширина двери комнаты равна 0,8 м, высота – 2 м. Ширина окна – 1,5 м, высота – 1 м. Сколько рублей надо заплатить за обои, если эскиз комнаты представлен на рисунке?
Ц   ена обоев за 1м3 (в руб.) в зависимости от покупки:
|
до 30м2
|
от 30 до 100 м2
|
Свыше 100 м2
|
Белые
|
14
|
13
|
12
|
Зеленые
|
12
|
11
|
10
|
|
|
|
|
6м
2,5 м
Решение задачи:
|
|
Площадь с учетом 20% запаса
|
Стоимость обоев
|
Площадь передней и задней стен
|
2,5*6=15
0,8*2=1,6-дверь
30-1,6=28,4
|
|
|
Площадь боковых стен
|
4,5*2,5=11,25
1,5*1=1,5-окно
22,5-1,5=21
|
|
|
Площадь всех стен
|
28,4+21=49,4
|
20%-4,94*2=9,88
49,4+9,88=59,28
|
59,28*11=652,08
|
Площадь потолка
|
4,5*6=27
|
20%-2,7*2=5,4
27+5,4=32,4
|
32,4*13=421,2
|
Ответ: Стоимость всей покупки 1073,28 рублей.
IV. Заключение.
Итак, математика – это не только самостоятельная наука о “математических структурах”, но и язык других наук, язык единый, универсальный, точный, простой и красивый. Хорошо сказал об этих качествах математики советский математик С.Л.Соболев: “Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед с огромной точностью ход веще
V. Список используемой литературы:
-Ресурсы Интернет
-Симонов А.С. «Экономика на уроках математики»;
Москва, Школа-Пресс, 1999
-Журнал «Математика в школе», №8 2002 год.
-Математика. Приложение к газете «Первое сентября»,1997 год, № 4,5,6.
-Сборник для подготовки к ЕГЭ по математике 2011 г.
|
