«Применение векторно-координатного способа при нахождении угла между плоскостями»

1 А.И.Бычкова Итоговая работа Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике по теме: «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве» Задание С2 Единого государственного экзамена - стереометрическая задача на определение расстояний или углов между объектами, связанными с некоторым многогранником. При решении таких задач обычно используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный методы. Поэтапно-вычислительный метод является традиционным, опирается на определения расстояния или угла и требует от учащихся развитого пространственного воображения, интуиции, умения проводить дополнительные построения, запоминания алгоритмов решения для каждого вида задач. Координатный или векторный методы позволяют избежать такого рода трудностей, решений задач во многом алгоритмизировано. При использовании координатного метода надо выбрать систему координат, вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. При применении векторного метода вычислить длины отрезков и величины углов можно с помощью операции скалярного произведения. Векторы помогают даже не слишком сильным ученикам находить решения довольно трудных задач. Примерное планирование учебного времени Тема Количество часов 1. Использование вычислительного метода для нахождения расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми 1 2. Использование вычислительного метода для нахождения угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями 2 Применение координатного и векторного методов для нахождения расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми 1 Применение векторно-координатного способа для нахождения угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью 1 Применение векторно-координатного способа при нахождении угла между плоскостями 1 Всего 7 часов Урок 7 Тема: «Применение векторно-координатного способа при нахождении угла между плоскостями» Цели: Повторить основной теоретический материал, формулы; закрепить навык решения задач. Ход урока Напомнить, что решение задач на нахождение угла между плоскостями векторно-координатным способом сводят к задачам о нахождении угла между векторами нормалей данных плоскостей или угла между направляющими векторами скрещивающихся прямых, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения. 1.Использование векторов нормалей пересекающихся плоскостей. 1) Если плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Ax+By+Cz+D=0 , то коэффициенты А,В,С при переменных x,y,z можно рассматривать как координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости – вектора нормали. Угол φ между двумя плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 находится как угол между векторами их нормалей ={A1,В1,С1} и ={A2,В2,С2} по формуле: (1) 3 Учащиеся конспектируют основные теоретические сведения и формулу (1). 2) На доске и в тетрадях решается задача: Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 2x+3y+6z-5=0 и 4x+4y+2z-7=0 3)Учитель напоминает, что для определения векторов нормалей к плоскостям не всегда составляют уравнения этих плоскостей. Иногда исходя из свойств многогранника легко найти вектор нормали данной плоскости, затем этот вектор выражается через базисные векторы или находятся его координаты относительно введенной декартовой системы координат. Задача 1. В кубе ABCDD1C1B1A1 найти угол между плоскостями AB1C и ВС1D. Решение. Пусть где Векторы и являются векторами нормали плоскостей AB1C и ВС1D соответственно. Тогда: Откуда где φ – искомый угол. 4 П. Использование направляющих векторов скрещивающихся прямых 1) При вычислении угла между плоскостями линейный угол можно заменить углом между скрещивающимися прямыми a и b, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения. Пусть и - направляющие векторы прямых a и b, тогда угол φ между этими прямыми находят по формулe (2) . (2) Учащиеся конспектируют данный способ нахождения угла между плоскостями и записывают формулу (2) 2)На доске и в тетрадях решается задача: В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углов в 600. Точка R – середина ребра МС. Найти угол между плоскостями МАС и ADR. Решение. Если считать, что АВ = a, тогда AD = 2a, и все линейные элементы в пирамиде будут зависеть от одного параметра а. Поэтому, с точностью до подобия, можно принять АВ = 4 и AD = 8. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании. ОМ – высота пирамиды MABCD. Из 5 Вершина М пирамиды MABCD проектируется в точку О. Введем систему координат следующим образом: точку О примем за начало координат, оси Ох и Оу направим параллельно сторонам основания, а ось Oz – вдоль высоты пирамиды ОМ. Выразим координаты точек: А( - 4; -2; 0), В( -4; 2; 0), С( 4; 2; 0), D( 4; -2; 0), М(0; 0; ), R(2; 1; ). Отрезок AR является высотой в равностороннем треугольнике АМС, поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого двугранного угла. Проведем в треугольнике ADR высоту DH. Тогда задача сведется к нахождению угла между прямыми MR и DH. Найдем координаты векторов: Так как векторы и коллинеарны, то Так как получаем Теперь, используя условие имеем уравнение 6(6k - 8) + 9k + 15k = 0. Отсюда k = 0,8 и Так как и - направляющие векторы прямых MR и DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми воспользуемся формулой (2): Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными плоскостями равен Ответ: 6 Ш.Самостоятельная работа Используя векторно-координатный способ решить задачи: Вариант 1. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре KK1 отмечена точка P так, что KP:PK1 =1:3. Найти угол между плоскостями KLM и LPN1 . Варрант 2. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре KK1 отмечена точка P так, что KP:PK1 =1:2. Найти угол между плоскостями KLM и LPN1 . Вариант 3. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 3. На ребре KK1 отмечена точка P так, что KP:PK1 =2:1. Найти угол между плоскостями KLM и LPN1 . Варbант 4. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре KK1 отмечена точка P так, что KP:PK1 =3:1. Найти угол между плоскостями KLM и LPN1 . Ответы: вариант 1 – arccos 3/ вариант 2 - arccos 2/3 , вариант 3 - arccos 1/ вариант 4 - arccos 1/ 4. Домашнее задание: 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C1В и СВ1A1D. 2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны, найти косинус угла между плоскостями АВ1С и А1В1С. 3. В правильной шестиугольной призме A…F1, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 найти угол между плоскостями BA1D1 и АА1Е1. Литература Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов для решения задач. Санкт-Петербург, Пресс, 2002 Беликова И. Задание С2:Решаем методом координат, Математика, 2010 № 20 Корянов А.Г., Прокофьев А.А., Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников., ПУ «1 сентября» ,2012 Литвиненко В.Н. , Стереометрия в типовых задачах ,М., 2001 Лурье М.В., Геометрия. Техника решения задач, М., УНЦ ДО, 2002 Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. , под редакцией Семенова А.Л., Ященко И.В. , М.,МЦНМО, 2011 Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы: пособие, М., БИНОМ,2003 Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии, М.,МЦНМО ,2005

Похожие:

	Тема: Подготовка к итоговой аттестации. Решение задач на нахождение... Общить и систематизировать знания учащихся о нахождении углов между скрещивающимися прямыми, углов между двумя плоскостями, углов...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Отработка наиболее распространенных приемов решения задач по нахождению угла меду плоскостями
	Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала... Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины...		Исследование свойств прямоугольного тетраэдра В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной...
	Урока. Вступительное слово учителя Цель: Сформировать конструктивный навык нахождения расстояния между точкой и прямой; угла между прямой и плоскостью		Урок по теме «способы словообразования. Алгоритм действий при определении... В чём отличие между словоизменительными и словообразовательными морфемами? (привести примеры)
	Какие существуют два основных способа познания мира? Эмпиризм и теория – два основных, связанных между собой вида знания (способа познания) мира. Чувственное восприятие и абстрактное...		Какие существуют два основных способа познания мира? Эмпиризм и теория – два основных, связанных между собой вида знания (способа познания) мира
	Какие существуют два основных способа познания мира? Эмпиризм и теория – два основных, связанных между собой вида знания(способа познания) мира		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать, какая геометрическая фигура называется углом, что такое стороны и вершина угла. Уметь обозначать неразвернутые и развернутые...
	Календарно тематическое планирование № п/п Раздел, название урока... Знать, какая геометрическая фигура называется углом, что такое стороны и вершина угла. Уметьобозначать неразвернутые и развернутые...		План работы в день открытых дверей «Решение задач по теме: «Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла»
	Урок 2 Тема урока: Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол... Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла...		Урока: «Косинус угла» Цели урока Познакомиться с определением острого угла прямоугольного треугольника, сформулировать теорему о косинусах
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Закрепить понятие двугранного угла, способы построения линейного угла, проверить знания учащихся		Методическая разработка урока математики во 2 классе по теме: «Угол. Виды углов.» Они могут построить точку, отрезок, луч. На этом уроке учащиеся учатся видеть углы, вершину и стороны угла, обозначать вершину латинской...