Скачать 71.1 Kb.
|
Урок 3Геометрический смысл производнойРассмотрим график некоторой функции y = f(x), непрерывной на интервале (a, b). Пусть точки M0(x0, f(x0)), N(x0 + ∆x,f(x0 + ∆x)) − произвольные точки, лежащие на кривой y = f(x) (a < x0 < b). Прямая M0N называется секущей. Отношение равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки M0 и N. Пусть Δx → 0, тогда точка N стремится к точке M0. Если существует производная f ′ (x0), т.е. существует предел отношения , то секущая M0N стремится к прямой, проходящей через точку M0 с угловым коэффициентом f ′ (x0). Предельное положение секущей M0N при стремлении N к M0 называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M0. Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке: f ′ (x0) = k = tg . Тогда y – f(x0) = f (x0) · (x – x0) – уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х0. Нормалью к кривой в точке х0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке х0. Тогда x – x0 + f (x0) · (y – f(x0)) = 0 – уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке х0. Пример 1. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 = 1. Решение Уравнение касательной y = f(x0) + f '(x0)(x – x0); уравнение нормали (x – x0) + f '(x0)(y – f(x0)) = 0. Найдем значение функции в точке х0=1: Найдем производную: Тогда значение производной в точке х0 = 1: Запишем уравнение касательной: Запишем уравнение нормали: Итак, – уравнение касательной; – уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 = 1. Пример 2. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 = −1. Решение Уравнение касательной y = f(x0) + f '(x0)(x – x0); уравнение нормали (x – x0) + f '(x0)(y – f(x0)) = 0. Найдем значение функции в точке х0=−1: Найдем производную заданной функции как производную частного: Тогда значение производной в точке х0 = −1: . Запишем уравнение касательной: Запишем уравнение нормали: Итак, – уравнение касательной; – уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 = −1. Пример 3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = −2. Решение Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке: x0 равен значению производной функции f(x) в этой точке x0: f ′ (x0) = k = tg . Найдем производную заданной функции: . Найдем ее значение в точке х0 = −2: . Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = −2 равен 0. Пример 4. Написать уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой . Решение По условию задачи искомая касательная параллельна прямой . Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту этой прямой. Угловой коэффициент прямой равен 1. С другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Следовательно, . Найдем производную заданной функции: . Тогда Решим квадратное уравнение: D = 4 + 12=16; Уравнение касательной y = f(x0) + f '(x0)(x – x0). Напишем уравнения касательных в точках У нас f '(x0) = 1. a) При . Тогда уравнение касательной в точке a) При Тогда уравнение касательной в точке Итак, уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой : Пример 5. Прямая y = x + 4 является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. Решение Найдем производную :.Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке: f ′ (x0) = k = tg . Угловой коэффициент прямой, которая является касательной к графику заданной функции, равен 1.Тогда ; Корни уравнения: x0 = 0 и x0 = −2.Значение функции в точке x0 = 0 равно 4, а значение этой функции в точке x0 = −2 равно 6.Заметим, что координаты точки (−2; 6) уравнению касательной y = x + 4 не удовлетворяют. А координаты точки (0;4) уравнению касательной удовлетворяют, так как 0+4=4.Значит, искомая абсцисса точки касания равна 0.Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции f(x) = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6). Решение Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) =5 6. Пусть a – абсцисса точки касания. Тогда . Найдем производную функции f(x) = – x2 – 4x + 2: Тогда производная функции в точке x0 = a: Напишем уравнение касательной в точке x0 = a: по формуле y = f(x0) + f '(x0)(x – x0). Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. Решим квадратное уравнение: D = 36 − 32=4; Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Контрольные вопросы. 1). Какая связь между секущей и касательной к кривой? 2). Почему нельзя говорить, что касательная к кривой − это прямая, имеющая общую точку с кривой? 3). Что называется касательной к графику функции f в точке x0? 4). Как найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0? 5). В чем состоит геометрический смысл производной? 6). Каков общий вид уравнения касательной к графику функции, проходящей через точку с абсциссой x0? 7). Какие данные нужно иметь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в данной его точке? 8). Сформулируйте алгоритм решения задачи на составление уравнения касательной к графику функции. 9) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0 =−1. Ответ: 8 10) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0 =2. Ответ: 2. 11) Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2. Ответ: (3, −2). 12) Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси Ох под углом . Ответ: 2 |
Решение задач по теме «Уравнение касательной к графику функции» Решение задач по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков» | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Находить скорость и ускорение тела в заданный момент времени по уравнению движения тела, уравнение касательной к графику функции | ||
Урок 7 Уравнение прямой Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятие касательной, точки касания, рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при... | ||
Урок по теме «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной» Цель урока: Научить проводить анализ условия задачи, выделять главный вопрос задачи, научить выстраивать шаги решения, конструировать... | Конспект урока Тема урока: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной» Цель урока: Научить проводить анализ условия задачи, выделять главный вопрос задачи, научить выстраивать шаги решения, конструировать... | ||
Урок 49 касательная к окружности цели Цели: ввести определение касательной к окружности; рассмотреть свойство касательной и свойство отрезков касательных, проведенных... | Урока: «Уравнение» (урок математики в 5 классе) «уравнение», «корень уравнения», «решить уравнение», повторить название компонентов при сложении и вычитании, подвести учащихся к... | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятия к касательной к окружности, свойство и признака касательной, ввести понятия касания двух окружностей,... | Тема: Уравнение окружности Вывести уравнение окружности, научить строить окружность по уравнению, научить записывать уравнение окружности | ||
Учебник «Геометрия 10-11» Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности (п. 90-91, №959, 960, 961, 966) | Урока: провести контроль усвоения знаний по теме «Решение уравнений» Если в уравнении 6х+5=7 слагаемое 5 перенести в правую часть, то получим уравнение | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Понимать, что такое «уравнение», «решить уравнение». Знать способ решения уравнений | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... | Урок алгебры в 9 классе по теме «Решение систем уравнений второй степени» Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство |