Название: Элективный курс
Скачать 133.14 Kb.
|
| Описание методической разработки. 1. Название: Элективный курс «Вычислительный эксперимент как новая методология научных исследований». 2. Краткая аннотация: Математическое моделирование и вычислительный эксперимент – первая и наиболее развитая область применения вычислительной техники. Методом вычислительного эксперимента решаются крупные и сложные проблемы, требующие проведения колоссальных объемов вычислений и, следовательно, применения компьютеров высокой производительности, превосходящих по быстродействию компьютеры массового применения на несколько порядков. Квалифицированному специалисту-вычислителю следует иметь представление о характере решаемых на «суперкомпьютерах» задач, проблематике соответствующих вычислений и основных вопросах в разработке алгоритмов на базе численных методов. Положенный в основу настоящего курса учебный материал можно рассматривать как введение в очерченный круг вопросов. 3. Учебный предмет(ы): физика, информатика (информационные технологии). 4. Уровень образования школьников: 10-й класс (34 часа, 1 час в неделю), информационно-технологический профиль. 5. Форма учебной работы (проектная, классно-урочная, факультативная и т. д.): классно-урочная + проектная; возможна организация факультатива. 6. Полное описание разработки, включая: - приобретаемые навыки детей: обеспечение устойчивой научной, технологической и функциональной грамотности на базе современных информационных технологий; формирование компетенций, связанных с возникновением «общества информации» (владение новыми технологиями, понимание их применения, осознание их силы и слабости и т. д.) и, как следствие, подготовка личности «информационного общества». - особенности роли учителя: консультативно-координирующая; -технологические особенности (технические условия, используемое оборудование и т. д.): специализированный кабинет информатики (компьютерный класс); -организация работы: общее представление о формах работы в ходе изучения материала курса дается следующей таблицей:
(детализация алгоритмов решения некоторых задач приводится в содержании учебного материала). - содержание учебного материала: Современные ученые не требуют чудес: они требуют экспериментов. Лев Карсавин. Появление и непрерывное совершенствование быстродействующей электронной вычислительной техники привело к радикальным преобразованиям в сфере науки вообще и в точных науках в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов [5]. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т. е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики [2]. Основными этапами вычислительного эксперимента являются [5, с. 268, 269]: выбор физической и соответствующей математической модели (уравнений математической физики (если речь идет о физической задаче)), построение дискретной модели и вычислительного алгоритма, составление комплекса программ, проведение расчетов, анализ и отображение результатов. Рассмотрим процесс построения и исследования модели на конкретном примере движения тела, брошенного под углом к горизонту. При этом содержательная постановка задачи будет состоять в следующем [6, с. 255]: В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии. Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения [6, с. 256]. При заданных начальной скорости и угле бросания значения координат дальности полета и высоты в зависимости от времени можно описать следующими формулами: x = v0 . cos α . t; y = v0 . sin α . t – g . t2/2. Пусть мишень высотой h будет размещаться на расстоянии s от автомата. Из первой формулы выражаем время, которое понадобиться мячику, чтобы преодолеть расстояние s: t = s/( v0 . cos α). Подставляем это значение для t в формулу для y. Получаем l – высоту полета мячика над землей на расстоянии s: l = s . tg α – g . s2/(2 . v02 . cos2α). Формализуем теперь условие попадания мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты l полета мячика будет удовлетворять условию в форме неравенства: 0 ≤ l ≤ h. Если l < 0 , то это означает «недолет», а если l > h, то это означает «перелет». Преобразуем теперь формальную модель в компьютерную с использованием электронных таблиц Microsoft Excel [6, с. 259-261]: 1. Для ввода значения начальной скорости будем использовать ячейку В1, а для ввода значения угла – ячейку В2. 2. Введем в ячейки А5: А18 значения времени с интервалом в 0, 2 с. 3. В ячейки В5 и С5 введем формулы: =$B$1*COS(РАДИАНЫ($B$2))*A5 =$B$1*SIN(РАДИАНЫ($B$2))*A5-4,9*A5*A5 4. Скопируем формулы в ячейки В6: В18 и С6: С18 соответственно. Получим итоговую таблицу результатов (рисунок 1). Визуализируем модель, построив график зависимости координаты у от х координаты (траекторию движения тела). Для этого необходимо: 5. Построить диаграмму типа Точечная, в которой используется в качестве категории диапазон ячеек В5: В18, а в качестве значений – диапазон ячеек С5: С18 (рисунок 2). Исследуем модель и определим с заданной точностью 0, 1˚ диапазон изменений угла, который обеспечивает попадание в мишень, находящуюся на расстоянии 30 м и имеющую высоту 1 м, при заданной начальной скорости 18 м/с. Воспользуемся для этого методом Подбор параметра. При этом потребуется: 6. Установить для ячеек точность один знак после запятой. 7. Ввести в ячейки В21, В22 и В23 значения расстояния до мишени s = 30 м, начальной скорости v0 = 18 м/с и угла α = 35˚, а в ячейку В25 – формулу для вычисления высоты полета мячика над поверхностью для заданных начальных условий: =B21*TAN(РАДИАНЫ(B23))-(9,81*B21^2)/(2*B22^2*COS(РАДИАНЫ(B23))^2) (см. рисунок 3). Для заданных начальных условий определим углы, которые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и 1 м. Необходимо: 8. Выделить ячейку В25 и ввести команду [Сервис – Подбор параметра…]. На появившейся диалоговой панели ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в мишень (то есть 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $B$23) (рисунок 4). 9. В ячейке В23 появится значение 32, 6. Повторить процедуру подбора параметра для максимальной высоты попадания в мишень – в ячейке В23 получим значение 36, 1. Таким образом, исследование компьютерной модели в электронных таблицах показало, что существует диапазон значений угла бросания от 32, 6˚ до 36, 1˚, который обеспечивает попадание в мишень высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с. Модифицировать содержательную постановку задачи можно следующим образом [1, № 778, c. 152]. «Письмо Робина Гуда узнику замка Ноттингем». Письмо привязывается к камню, а камень броском посылается через бойницу стены замка в окно темницы. Расположение строений и известные величины указаны на рис. 5 [1, рис. 53, c. 152]. Рост Робина Гуда – 1, 6 м. Можно ли забросить камень с письмом в окно? Если да, то с какой начальной скоростью, и под каким углом должен бросить камень Робин Гуд? В расчетах пренебрегать сопротивлением воздуха. Небезынтересно рассмотреть и некоторые предельные ситуации[6, № 5. 8, c. 261]. Тело брошено вертикально вверх с некоторой высоты. Определить, через какое количество времени тело упадет на поверхность земли. И в том, и в другом случае процесс построения и исследования моделей полностью аналогичен рассмотренному выше. При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер движения. Учитывая это в конкретных задачах, необходимо знать, от чего зависит сила сопротивления движению тела. Для относительно малых скоростей величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение: Fсопр = k1v, где к1 определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика к1 = 6πμvr- так называемая формула Стокса [4, с. 160], где μ – динамическая вязкость среды, r – радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20 ˚С и давлении 1 атм. μ = 0, 0182 Н . с/м2, для воды μ = 1, 002 Н . с/м2, для глицерина μ = 1480 Н . с/м2. При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: Fсопр = k2v2. Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления формально также сохраниться, но если k2v2 >> k1v, то вкладом k1v можно пренебречь. О величине к2 известно следующее: она пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, плотности среды ρсреды и зависит от формы тела. Обычно представляют к2 =  с S ρсредыгде с – безразмерный коэффициент лобового сопротивления, значения которого для некоторых тел даются следующей таблицей [4, с. 161]:
Учитывая сказанное, рассмотрим математическую модель падения тела в некоторой среде, считая, что на него действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила сопротивления среды, направленная вверх. В формуле для силы сопротивления будем учитывать только квадратичную составляющую. В этом случае математические уравнения дискретной модели, описывающие характер изменения скорости и перемещения со временем при всех заданных параметрах, являются конечно- разностными и имеют вид[4, с. 163]: hi+1 = hi + vi . Δt, vi+1 = vi +  . Δtили в улучшенном приближении: hi+1 = hi + vi . Δt, vi+1 = vi + . Δt,hi+1 = hi + ( vi + vi+1 ) . Δt, vi+1 = vi + [ g -  ]. Δt(О принципах построения улучшенного приближения см.[4, с. 157-159].) Компьютерная реализация этих моделей также может быть осуществлена с помощью электронных таблиц[4, с. 165]. На рисунке 6 приведен фрагмент электронной таблицы в табличном процессоре Excel. На рисунке 7 приводится фрагмент той же таблицы, только в ячейках на этот раз отображены результаты вычислений при некоторых заданных значениях входных параметров. В ячейках D2, D4, D6, D8 таблицы хранятся соответственно значения шага вычислений Н, массы тела m , величины mg и к2. Это связано с тем, что все константы удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не переписывать расчетные формулы. Достаточно правильно записать формулу один раз, а затем скопировать в остальные ячейки, при этом, как известно, она «настраивается» на соответствующую ячейку. Визуализация результатов расчета проиллюстрирована рисунком 8, из которого видно, что при t > 10 с скорость падения тела практически постоянна. Аналогичным образом можно дополнить табличную программу, чтобы она описывала еще и перемещение. Частичное тестирование программы можно провести при к2 = 0, т. е. для движения в отсутствие сопротивления среды. Решение в этом случае очевидно (свободное падение). Полезно также вернуться к движению тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием скорости и перемещения на горизонтальную и вертикальную оси координат. В простейшем приближении, они имеют вид[4, с. 168, 169]: vx(i+1) = vx(i) -  . vx(i) . Δt,vy(i+1) = vy(i) - . vy(i) . Δt,x(i+1) = x(i) + vx(i) . Δt, y(i+1) = y(i) + vy(i) . Δt. Стоит отметить, что в зависимости от степени идеализации исходной задачи набор входных параметров модели может изменяться, но, как правило, ими являются: - m - масса тела; - v - величина начальной скорости; - α - угол начального наклона вектора скорости к горизонту; - к1, к2 – коэффициенты сопротивления среды. Практическая работа с рассмотренными моделями может проводиться в процессе решения следующих задач: 1) [4, № 1, с. 166, 167]. Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)? 2) [4, № 2, с.167]. Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в к2), чтобы скорость приземления была безопасной? 3) [4, № 3, с.167]. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (масса, форма) в средах разной плотности. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Разработать программу, которая выводит на экран графики зависимости скорости движения и пройденного пути от времени. 4) [4, № 9, с. 169]. Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вертикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45˚ к горизонту с начальной скоростью 10 м/с 1) в воздухе; 2) в воде. Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически). 5) [4, № 10, с. 169]. Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов[]. 6) [4, № 11, с. 169]. Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом α подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше ее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель? 7) [4, № 12, с. 169]. Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется. Рисунки к тексту. Рисунок 1.  Рисунок 2.  Рисунок 3.  Рисунок 4.  Рисунок 5.  Рисунок 6.  Рисунок 7.  Рисунок 8.  Литература. 1. Абрамов С. А., Гнездилова Г. Г., Капустина Е. Н., Селюн М. И. Задачи по программированию. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 2. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1990. 3. Заварыкин В. М., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Численные методы: Учеб. Пособие для студентов физ. – мат. спец. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1990. 4. Информатика. Задачник-практикум в 2 т./ Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера: Том 2. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. 5. Самарский А. А. Введение в численные методы: Учебн. пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 6. Угринович Н. Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 7. Приложения: в качестве приложений читателю предлагаются электронные таблицы Microsoft Excel (Вычислительный эксперимент и Вычислительный эксперимент 1), составленные в соответствии с изложенным выше теоретическим содержанием курса. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Элективный курс «Задачи с параметром» Элективный курс предназначен для реализации в 11классе общеобразовательной школы |  | Элективный курс по химии Элективный курс «Рациональное питание» разработан в соответствии с концепцией предпрофильного образования |
| Элективный курс по физике «Элементы биофизики»» Автор : Лимонов Н.... Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений. Курс основан на знаниях и умениях, полученных... | | Элективный курс по математике «решение сюжетных задач» Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов. На его изучение отводится 17 часов |
| Элективный курс «Some Pages of British History» (From ancient time... Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов, как курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки | | Элективный курс по теме «Алгебра матриц. Методы решения систем линейных... Данный элективный курс рассчитан на 14 часов. Разработаны конспекты всех уроков элективного курса |
| Элективный курс по алгебре «Практикум по решению задач» Данный элективный курс во время уроков работают по учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра 9» и изучают алгебру по программе для общеобразовательных... | | Элективный курс по страноведению «Знакомьтесь: Соединенные Штаты Америки» Пояснительная записка Данный элективный курс заканчивается викториной on-line, позволяющей учителю закрепить и проконтролировать знания учащихся по всему... |
| Элективный курс «Симметрия вокруг нас» Автор: Соктоева Любовь Жамбаловна... Для учащихся данный элективный курс призван помочь представить математику в констексте биологии | | Элективный курс 9 кл. Мир профессий Составитель курса Шааф О. В.,... Назначение документа – руководители спецкурсов, классные руководители, учителя, желающие вести элективный курс |
| Элективный курс по биологии Загадки и тайны генов Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов и имеет целью вызвать интерес к биологии, желание изучать данный предмет в средней... | | Элективный курс по английскому языку «The Hotel Business» для учащихся... Данный элективный курс призван создать у учащихся дополнительную мотивацию к изучению английского языка и стимулировать их речевую... |
| Статьи Название статьи: нестандартные способы решения уравнений элективный курс в рамках реализации профильного обучения | | Элективный курс "История русской культуры" Элективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к истории русской культуры |
| Программа элективного курса Пояснительная записка. Элективный курс «индикаторы» Элективный курс «индикаторы» предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов. На изучение данного курса отводится... | | Элективный курс «введение в психологию» 9 класс 17 часов Элективный курс «Введение в психологию» разработан учителем 1 квалификационной категории Тукубаевой Ильсияр Амировной ( Зам директора... |
