Министерство образования и науки Российской Федерации
Комитет по образованию Администрации города Тобольска
Научно - практическая конференция
,,Первые шаги - 2014"
Секция: Математика
,,Нестандартные алгоритмы счёта"
Автор работы: Кадысев Александр Сергеевич.
Место выполнения работы: МАОУ ,,Средняя общеобразовательная школа №16"
имени В.П. Неймышева, 6 класс
Россия, г. Тобольск, Тюменская область
Научный руководитель: Николаева Анна Петровна,
Учитель математики высшей категории
МАОУ ,,Средняя общеобразовательная школа № 16" имени В.П. Неймышева
г. Тобольск, 2014
Содержание
Введение
1. Глава 1. История счёта
1.1. Как люди научились считать
1.2.Чудо - счётчики
2. Глава 2. Способы умножения
2.1. Русский крестьянский способ умножения
2.2. Индийский способ умножения
2.3. Умножение на пальцах
3. Глава 3. Устный счёт, гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4
3.2. Умножение и деление на 5
3.3 Умножение на 25
3.4. Умножение на 1,5
3.5. Умножение на 9
3.6. Умножение на 11
3.7. Умножение трехзначного числа на 101
3.8. Умножение чисел на 22,33,…,99.
3.9. Умножение чисел на 111, 1111, 11111 и т.д.
3.10. Возведение двухзначного числа в квадрат оканчивающего цифрой 5
3.11. Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.
4. Анкетирование школьников по нестандартным алгоритмам счета.
5. Выводы.
Список литературы.
Приложение.
Объект исследования: являются алгоритмы счёта. Вычислительные навыки и быстрый счет на уроках предметов естественно - математического цикла.
Предмет: исследования выступает процесс вычисления. Нестандартные приемы и навыки устного счета при умножении натуральных чисел.
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.
Задачи:
раскрыть историю возникновения счета и феномен « Чудо - счётчиков»;
описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования
Гипотеза: Если показать, что применение приёмов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся и им будет легче решать практические задачи.
Методы:
Поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
Практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
Анализ полученных в ходе исследования данных.
Диаграммы.
Актуальность: данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. За простым действием умножением скрываются тайны истории математике. Случайно услышанные слова ,, Умножение решёткой» и «шахматный способ» - заинтриговали захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения. Для того, что бы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и делением ,,Уголком», и хотели бы узнать новые способы, было проведено анкетирование, оно показало что школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами их программы. Поэтому я поставил перед собой проблему найти и рассмотреть нестандартные приемы быстрого счета, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.
Нестандартные алгоритмы счёта
Кадысев Александр Сергеевич
Россия, Тюменская область, г. Тобольск
МАОУ ,,Средняя общеобразовательная школа №16"
имени В.П. Неймышева, 6 класс
ВВЕДЕНИЕ
Я очень люблю уроки математики. Достаточно легко выполняю различные виды счета. Но однажды я увидел телевизионную передачу «Минута славы», где маленький мальчик - вундеркинд с легкостью выполнял, на мой взгляд, сложные арифметические действия. После этого я всерьез задумался: можно ли ребенку, не обладающему сверх способностями научиться считать так же легко и быстро.
С данным вопросом я обратился к своему учителю математики - Николаевой Анне Петровне. Мы вместе изучили доступную литературу, прочитали информацию многих сайтов интернета, разобрали предложенные варианты счета и пришли к выводу, что существуют определенные схемы быстрого счета, которыми пользуются люди с незаурядными способностями.
В нашей научной работе, мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действие может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счёта, можно поспорить и с ЭВМ.
Глава 1. История счёта
1.1. Как возникли числа.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов.[2.c.31] Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т. д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т. д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н. Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой, десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале 15 в. самаркандский математик и астроном аль - Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.
Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.
1.2 « Чудо - счётчики»
Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.[5. сайт]
Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ.
Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.
За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.
В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.
Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.
В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв, 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.
Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.
Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.
Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.
В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже несколько опередила ЭВМ.
Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой
степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.
Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.
Глава II . Способы умножения.
2.1. Русский крестьянский способ умножения.
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).[4.c.17.]
Пример: умножим 47 на 35,
- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
2.2 Индийский способ умножения
Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.
Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.
х23
12
276
Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?
Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»
12
…6
Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»
12
.76
Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».
12 пишу 2 левее цифры 7
276 получаем 276.
2.3. Умножение на пальцах
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. [3.c.121]
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощью пальцев числа до 10000.
А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10.
Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо загнуть тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от загнутого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от загнутого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.
Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.
Положив обе руки на стол, загибаем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до загнутого пальца находятся три пальца (десятки), а после загнутого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.
Еще пример:
Пусть требуется умножить 3 * 9.
Слева направо найдите третий палец, до того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.
Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.
Сами пальцы показали это число.
20 7
Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.
Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4.
Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.[2.c.78]
Например,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.
Например,
124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662
3.2. Умножение и деление на 5.
Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.
Например,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740
Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.
Например,
345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.
Например,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700
3.4. Умножение на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.
Например,
26 * 1,5 = 26 + 13 = 39
228 * 1,5 = 228 + 114 = 342
127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5
3.5. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.6. Умножение на 11.
1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. [1.c.12]
Например:
45 * 11 = 495 87 * 11 = 967
4 (4+5) 5 8 (8+7) 7
Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.
3 способ. Чтобы умножить двухзначное число от 10 до 20 на 11, нужно сложить умножаемое число и единицу умножив ответ сложения на 10 и прибавить единицы умножаемого числа. [6.сайт]
15*11=(15+1)*10+5=160+5=165
3.7. Умножение трехзначного числа на 101.
Например: 125 * 101 = 12625
(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)
125 + 1 = 126 и приписываем две последних цифры от числа 125 и получаем -12625
Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227
3.8. Умножение чисел на 22, 33,… ,99.
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44,…,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть
33=3 х 11; 44= 4 х 11 и т.д. затем произведение первых чисел умножить на 11.
Примеры:
18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 =792;
42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;
13 х 55= 13 х 5 х 11 =65 х 11 = 715.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:
28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924,
48 х 22= (48 х 2) х (22 : 2) = 96 х 11 =1056.
3.9. Умножение чисел на 111, 1111, 11111 и т. д.
Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим
примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.
Примеры:
32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;
45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995;
26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886;
52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772.
Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры
этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать
соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.
42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.
Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то
есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;
86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а
последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659
76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =
= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436.
3.10.Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25[5. сайт]
(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)
Например:
952 = 9025
9 *10
1252 = 15625
12 * 13
3.11.Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1. [6. сайт]
11 х 11 =121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
11111 х 11111 =123454321
111111 х 111111 = 12345654321
1111111 х 1111111 = 1234567654321
11111111 х 11111111 = 123456787654321
4. Анкетирование школьников по нестандартным алгоритмам счета.
Анкетирование проводилось среди учащихся 5,6 и 8 классов МАОУ ,,Средней общеобразовательной школы №16" имени В.П. Неймышева. Было опрошено 66 учеников, из них 23 ученика из параллели 5 класса, 19 учеников – 6 класс и 24- учащихся 8 класса.
Им предлагались следующие вопросы:
1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
На данный вопрос ученики всех классов ответили положительно за исключением двух.
2. Умеете ли Вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить уголком?
В этом вопросе не сомневаясь, ответили «да» ученики 6 и 8 классов, а вот в 5 классе четверо ответили, что не все арифметические действия научились выполнять.
3. Знаете ли Вы другие способы выполнения арифметических действий?
Большинство учащихся 5 и 6 классов еще не знакомы с другими способами выполнения арифметических действий, в то время как 8 класс по результату опроса показал, что многие ребята овладели не программными способами вычисления.
4. А хотели бы узнать?
На данный вопрос учащиеся показали свою заинтересованность и почти все ответили положительно, за исключением пяти ребят.
Результаты опроса представлены так же в таблице и диаграмме (см. приложение).
Анкетирование показало, что не все ребята овладели способами вычисления, которые даны в программе общеобразовательных школ. Тем не менее, они согласны с тем, что в современной жизни необходимо производить арифметические вычисления. Большинство учащихся более старших классов - информированы про другие способы вычисления, а младшие классы среднего звена очень хотели бы познакомиться с нестандартными способами вычисления.
5. Выводы.
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современный способ умножения прост и доступен всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
Нестандартные способы вычисления хоть и просты, но для каждой группы чисел очень индивидуальны. Поэтому они не очень популярны в общеобразовательных школах, так как почти для каждого числа нужно помнить свой алгоритм расчета. Но овладев данными методами можно не только быстро считать в уме, но и тренировать память.
Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивать логическое мышление и гибкость ума.
Список литературы:
1. Ванцян А. Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом
«Фёдоров», 1999.
2. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
3. Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.
4. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
5. http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm
6. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html
Приложение№1 Таблица. Анкетирование школьников по нестандартным алгоритмам счета.
КЛАССС/ВАРИАНТЫ
ОТВЕТОВ
ВОПРОС
|
5
|
6
|
8
|
да
|
нет
|
да
|
нет
|
да
|
нет
|
1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
|
22
|
1
|
19
|
0
|
23
|
1
|
2. Умеете ли Вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить уголком?
|
19
|
4
|
19
|
0
|
24
|
0
|
3. Знаете ли Вы другие способы выполнения арифметических действий?
|
5
|
18
|
6
|
13
|
18
|
6
|
4. А хотели бы узнать?
|
22
|
1
|
16
|
3
|
23
|
1
|
Приложение №2 Диаграмма. Анкетирование школьников по нестандартным алгоритмам счета. |
