Признаки делимости
Трошева Наталья,8 класс
Тезисы
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В арифметике много разделов и один из них – делимость чисел.
При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на перечисленные, т. е. на 2, 3, 5, 9 на 10 числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
В ходе своей работы я попыталась найти в литературе признаки делимости чисел, познакомиться с ними, систематизировать их, рассмотреть их применение при решении задач, сделать выводы по изученному материалу.
Предположив, что исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач использовала следующие методы исследования:
Анализ синтез сравнение
Работа имеет теоретический характер и большое практическое применение. Ее могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях на повторение. Данное исследование будет полезным и для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, а также для учеников – участников олимпиад и конкурсов.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия.
Он сформулировал следующий признак делимости, который носит его имя:
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
Например,
число 2814 делится на 7, так как  делится на 7.
В школе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10. Я же расскажу о других признаках.
Признаки делимости на 4
Чтобы число делилось на 4, надо проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:
1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.
Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.
Например: 5500
Признаки делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
Число сотен умножить на 2,
Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:
138 – число сотен 1·2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
Число, стоящее до десятков умножить на два,
К результату прибавить оставшееся число.
Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:
4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
Признаки делимости на 8
Число делится на 8 только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8. Например:
6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.
Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Испытаем число 100397.
Нумерация идет слева направо.
1+0+9=10
0+3+7=10
10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
Признаки делимости на 12
Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400- делится на 3 и 4, а значит и на 12.
- делится на 3 и 4, а значит и на 12.
Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Например:
858 делится на 13, так как  делится на 13.
Признаки делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Пример:
Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признаки делимости на 15
Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Например:
1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.
1 0 2 6
1 2
1 1 4
8
1 9
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Признаки делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:
Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признаки делимости на 50
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что
полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности,
самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче,
применить изученные признаки в реальной ситуации. В дальнейшем
предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости
чисел.
Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому
это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить
дополнительные знания по признакам делимости чисел. |
