Инженерный анализ методом конечных элементов (мкэ)
Скачать 365.17 Kb.
|
 Инженерный анализ методом конечных элементов (МКЭ)1. Системы инженерного анализа Инженерный анализ представляет собой комплекс испытаний, предназначенных для определения способности оборудования, конструкций, а также производимой продукции выдерживать проектные нагрузки и бесперебойно функционировать при расчетных условиях эксплуатации. В современном проектировании широко используются различные программные пакеты автоматизированного конструирования (Computer-aided engineering-CAE), позволяющие проводить инженерный анализ компьютерных моделей не прибегая к реальным экспериментам. CAE (Computer-aided engineering) — общее название для программ и программных пакетов, предназначенных для решения различных инженерных задач: расчётов, анализа и симуляции физических процессов. Расчётная часть пакетов чаще всего основана на численных методах решения дифференциальных уравнений (метод конечных элементов, метод конечных объёмов, метод конечных разностей и др.). Современные системы автоматизации инженерных расчётов (CAE) применяются совместно с CAD-системами (зачастую интегрируются в них, в этом случае получаются гибридные CAD/CAE-системы). CAE-системы — это разнообразные программные продукты, позволяющие при помощи расчётных методов оценить, как поведёт себя компьютерная модель изделия в реальных условиях эксплуатации. Эти системы помогают убедиться в работоспособности изделия, без привлечения больших затрат времени и средств. Наиболее распространенным и эффективным расчетным методом, применяемым в CAE-системах, является метод конечных элементов (МКЭ). Системы, использующие в качестве численного анализа технических конструкций МКЭ, называют FEA системами (Finite Element Analysis ). Современные FEA системы:
САПР, включающие возможности для проведения инженерного анализа и использующие МКЭ как численный метод анализа:
Систем и САПР, решающих задачи инженерного анализа как видно огромное количество. Тут приведены только системы, использующие МКЭ как численный метод анализа. FEA-системы - это специализированные системы, чаще всего, со слабыми возможностями по геометрическому моделированию, но включают мощные решатели. САПР, решающие задачи инженерного анализа, зачастую направлены больше на решение CAD задач, и не включают каких-то сложных средств анализа. Зачастую САПР используют внешние решатели FEA-систем. Есть еще третий вид систем, которые используются для визуализации результатов анализа, например, GLView. МКЭ в сравнении с другими методами используется в разных областях, для разных типов анализа. К примеру МКО чаще используется для узкой области - гидрогазодинамики. МКЭ реализуется как система, то МКО часто включается как модуль в систему Например ANSYS заявлен как КЭ система, но включает модуль Flow, использующий МКО, основанный на МКЭ (как заявлено в документации). МКЭ и МКО оба сетчатых метода и очень похожи, но МКО использует более специфические сетки(полиэдрическая сетка) и чаще используется в областях, где есть потоки жидкости или газа, например, обтекание потоками воздуха крыла самолета - авиакосмическая промышленность. МКО более популярен в гидрогазодинамике в сравнении с МКЭ, из-за трудностей при описании тонких пограничных условий. Например, программы использующие метод конечных объемов (МКО):
Можно сделать вывод что МКЭ более широко применяемый метод, хотя и другие метода применяются, но в более узких областях. 2. История появления МКЭ Метод конечных элементов - основной метод современной строительной механики, лежащий в основе подавляющего большинства современных программных комплексов, предназначенных для выполнения расчетов строительных конструкций на ЭВМ. Строительная механика совокупность наук о прочности, жёсткости и устойчивости строительных конструкций. Но диапазон его применения чрезвычайно широк: строительство и машиностроение, гидро- и аэродинамика, горное дело и новейшая техника, а также различные задачи математической физики – теплопроводности, фильтрации, распространения волн и т. д. Метод конечных элементов впервые был применен в инженерной практике в начале 50-х гг. XX в. На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его применения. И только когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, стало возможным распространение его на многие другие задачи. Быстрое развитие МКЭ шло параллельно с прогрессом современной компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики. Значительный вклад в разработку МКЭ был сделан Иоаннисом Аргирисом. Им впервые дана общая матричная формулировка расчета стержневых систем на базе фундаментальных энергетических принципов, определена матрица податливости, а также введено понятие матрицы жесткости (как обратной матрице податливости). Аргирис — один из основателей метода конечных элементов. В 1956 г. его теоретические разработки использовались при строительстве Боинга-747. Работы Аргириса и его сотрудников, опубликованные в период 1954–1960 гг., дали отправную точку для матричной формулировки известных численных методов и применения ЭВМ в расчетах конструкций. Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ, относится к 1956 г. Американские ученые М. Тэрнер, Р. Клафф, Г. Мартин и Л. Топп, решая плоскую задачу теории упругости, ввели элемент треугольного вида, для которого сформировали матрицу жесткости и вектор узловых сил. Название – метод конечных элементов ввел в 1960 г. Р. Клафф. К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. Период последних десятилетий особенно характерен для развития и применения МКЭ в таких областях механики сплошных сред, как оптимальное проектирование, учет нелинейного поведения, динамика конструкций и т. п. 3. Введение в метод конечных элементов В реальных конструкциях почти всегда присутствуют сложные формы, состоящие к тому же из различных материалов. Метод конечных элементов является наиболее популярным численным методом решения задач проектирования конструкций сложных форм. 3.1. Дискретизация. Анализ методом конечных элементов начинается с дискретизации исследуемой области (области задачи) и делении ее на ячейки сетки. Такие ячейки называют конечными элементами.  Конечные элементы могут иметь различную форму. В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в отдельных точках (узлах) определенным конечным числом узловых параметров. Выбор подходящих элементов с нужным количеством узлов из библиотеки доступных элементов является одним из наиболее важных решений, которые приходится принимать пользователю пакета конечноэлементного анализа. Конструктору так же приходится задавать полное количество элементов (другими словами, их размер). Основная проблема МКЭ – построение сетки, особенно для объекта сложной геометрии. Создание трехмерных сеток конечных элементов обычно представляет собой трудоемкий и кропотливый процесс. Классическая форма метода конечных элементов называется h-версия. В качестве функции формы в данном методе применяются кусочные полиномы фиксированных степеней, а повышение точности достигается уменьшением размера ячейки. В p-версии используется фиксированная сетка, а точность повышается благодаря увеличению степени функции формы. Общее правило состоит в том, что чем больше количество узлов и элементов (в h-версии) или чем выше степень функции формы (p-версия), тем точнее оказывается решение, но тем дороже оно стоит с вычислительной точки зрения. Одной из САПР, в которой реализована p-версия МКЭ, является Pro/Engineer(CREO). Ансамблирование: Ансамблирование или сборка представляет собой объединение отдельных элементов в конечно-элементную сетку. С математической точки зрения ансамблирование состоит в объединении матриц жесткости отдельных элементов в одну глобальную матрицу жесткости всей конструкции. При этом существенно используются две системы нумерации узлов элементов: локальная и глобальная. Локальная нумерация представляет собой фиксированную нумерацию узлов для каждого типа конечных элементов в соответствии с введенной локальной системой координат на элементе. Глобальная нумерация узлов всей конструкции может быть совершенно произвольной, также как и глобальная нумерация конечных элементов. Однако, между локальными номерами и глобальными номерами узлов существует взаимнооднозначное соответствие, на основе которого и формируется глобальная система конечно-элементных уравнений. 3.2.Аппроксимация МКЭ относится к методам дискретного анализа. Однако в отличие от численных методов, основывающихся на математической дискретизации дифференциальных уравнений, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемого объекта. Реальная конструкция как сплошная среда с бесконечно многим числом степеней свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой элементов с конечным числом степеней свободы. Так как число возможных дискретных моделей для континуальной области неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать такую модель, которая лучше всего аппроксимирует данную область. Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит в следующем: 1. рассматриваемая область разбивается на определенное число КЭ, семейство элементов по всей области называется системой или сеткой конечных элементов; 2. предполагается, что КЭ соединяются между собой в конечном числе точек – узлов, расположенных по контуру каждого из элементов; 3. Для каждого КЭ задается аппроксимирующий полином. Аппроксимирующие функции : Аппроксимирующий полином для одномерного КЭ: u(x)=  Пример для одномерного КЭ:  Пример для двумерного КЭ:  Аппроксимирующий полином второго порядка:  Степень аппроксимирующего полинома определяет число узлов, которым должен обладать элемент, – оно должно равняться числу неизвестных коэффициентов  , входящих в полином.Искомые функции в пределах каждого КЭ (например, распределение перемещений, деформаций, напряжений и т. д.) с помощью аппроксимирующих функций выражаются через узловые значения, представляющие собой основные неизвестные МКЭ. Искомая аппроксимирующая функция: u(  )=  h(x)-координатные/базисные функции, т.н. функция формы; q - неизвестные коэффициенты(значения в узлах). В матричном виде:  Аппроксимация, как правило, дает приближенное, а не точное, описание действительного распределения искомых величин в элементе. Поэтому результаты расчета конструкции в общем случае также являются приближенными. Закономерно может быть поставлен вопрос о точности, устойчивости и сходимости решений, полученных МКЭ. Под точностью понимается отклонение приближенного решения от точного или истинного решения. Устойчивость, прежде всего, определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое решение является результатом неудачного выбора аппроксимирующих функций, «плохой» разбивки области на КЭ, некорректного представления граничных условий и т. п. Под сходимостью подразумевается постепенное приближение последовательных решений к предельному, по мере того как уточняются параметры дискретной модели, такие как размеры элементов, степень аппроксимирующих функций и т. п. В этом смысле понятие сходимости аналогично тому значению, которое оно имеет в обычных итерационных процессах. Таким образом, в сходящейся процедуре различие между последующими решениями уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Перечисленные выше понятия иллюстрируются рис. 3.1. Здесь абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточнении приближенное решение. На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно.    Рис.3.1. Зависимость решения от параметров 3.3. Задание граничных условий и материала Аппроксимировав область задачи набором дискретных конечных элементов, мы должны задать характеристики материала и граничные условия для каждого элемента. Указав различные характеристики для различных элементов, мы можем анализировать поведение объекта, состоящего из различных материалов. Согласно терминологии математической физики, рассматривающей различные дифференциальные уравнения, описывающие физические поля, с единой математической точки зрения, граничные или краевые условия для данных дифференциальных уравнений делятся на два основных типа: существенные и естественные. Обычно, существенные условия накладываются на искомую функцию, а естественные на ее производные по пространственным координатам. С позиции метода конечных элементов существенные граничные условия – это такие, которые непосредственно влияют на степени свободы модели и накладываются на компоненты глобального вектора неизвестных U (перемещения). Наоборот, естественные граничные условия – это такие, которые опосредованно влияют на степени свободы через глобальную систему конечно-элементных уравнений и накладываются на правую часть системы – вектор F(действующие силы). В задачах механики, как правило, к существенным граничным условиям относят те, которые включают в себя перемещения (но не деформации, представляющие собой производные перемещений по пространственным координатам). Согласно терминологии теории упругости такие граничные условия называются кинематическими. Например, заделка и шарнирное опирание в стержневых задачах представляют собой существенные, или кинематические, граничные условия, наложенные на прогиб или продольные перемещения точек стержня. Заметим, что в задаче изгиба стержня к существенным условиям относится также условия, наложенные на первую производную по продольной координате от прогиба стержня, которая имеет механический смысл угла поворота сечения стержня. Тоже можно сказать об углах поворота сечений в теории изгиба пластин. К естественным граничным условиям в механических приложениях МКЭ относят условия, наложенные на различные внешние силовые факторы, действующие на точки поверхности тела – сосредоточенные силы и моменты в стержневых задачах; распределенные силы в двумерных и трехмерных задачах. Такие ограничения носят название силовых граничных условий. В постановках задач механики сплошной среды, и в частности теории упругости, широко используются смешанные граничные условия. Это означает, что в данной точке поверхности тела одновременно заданы некоторые компоненты перемещений и поверхностных сил. Перечисленные три варианта граничных условий наиболее распространены в чисто механических приложениях МКЭ. Кроме граничных условий, для разрешения уравнений необходимо задать характеристики материала для каждого КЭ, из которого изготавливается объект исследования. К примеру, в исследовании напряженно деформированного состояния параметры определяют связь напряжения и деформации. 3.4 Формирование системы уравнений После задания граничных условий и материала программа конечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую граничные условия с неизвестными, после чего решает эту систему относительно неизвестных. 3.5 Получение результата После нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность рассчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемента по той же искомой функции, которая использовалась при построении системы уравнений. Выходные данные программы анализа методом конечных элементов обычно представляются в числовой форме. В задачах механики твердых тел выходными данными являются смещения и напряжения. В задачах на теплоперенос выходными данными является температура и тепловые потоки через конкретные элементы. Однако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о поведении соответствующих параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Моделирование течения ледников методом конечных элементов ... |  | Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос во... Салтанова Т. В. Метод конечных элементов в расчётах прочности. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления... |
| Повышение точности технологических систем горизонтальных координатно-расточных... ... | | Решение заданий из №128, 129 у доски по схеме ... |
| Министерство образования Российской Федерации Санкт Петербургский... Задачи курса: Изучить основные математические результаты и методы, лежащие в основе метода конечных элементов и других вариационных... | | Прогнозирование трещиностойкости бетона на основе метода конечных элементов Реальное строение материала и особенности его поведения под нагрузкой отражено в структурных теориях прочности. Однако практическое... |
| Методические указания к выполнению расчетно-графического задания... В методических указаниях изложены краткие сведения о пк «лира», о методе конечных элементов, реализуемом в системе «лира», рассмотрен... | | Образовательная программа «Компьютерные и информационные науки» Форма... Ук-1 Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерированию новых идей при решении исследовательских... |
| Физический факультет Сравнительное исследование парамагнитных свойств образцов, полученных методом пиролиза аэрозолей и золь-гель методом 19 | | Окислительно-восстановительные реакции Уметь определять степени окисления элементов в простых и сложных веществах, различать понятия: степень окисления, составлять уравнения... |
| При некоторых хронических бактериальных заболеваниях с успехом применяется Сравнительный и количественный анализ белков мочи и перитонеальной жидкости, разделенных методом гель | | Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Управление... Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Управление проектами» для студентов и слушателей факультета «Инженерный... |
| Ее Величества Реакции Цель: продолжить формировать умения учащихся в определении степени окисления элементов, процессов окисления и восстановления в овр;... | | Хорошавин Лев Борисович Докт техн наук реферат Периодической системе элементов, но и дополнительно по кластерам химических элементов, определять прогнозные свойства новых элементов... |
| Курсовая работа по курсу «Теория случайных потоков» на тему «Анализ... «Анализ надёжности электроснабжения подстанции «Новая» методом случайных потоков» | | Методические рекомендации к самоанализу урока с позиций системно деятельностного подхода Основой любого анализа урока может служить структурный анализ. Структурный (поэтапный) анализ – это выявление и оценка доминирующих... |
