Институт развития образования
Скачать 157.29 Kb.
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ РЕФЕРАТ «Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами» Выполнил учитель математики МОУ СОШ №62 Мягкова М.В. Липецк 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Проблемы, возникающие у школьников при решении нестандартных уравнений и неравенств, вызваны как относительной сложностью этих задач, так и тем, что в школе, как правило, основное внимание уделяется решению стандартных задач. Многие школьники воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных. Иные школьники относятся к параметру как к неизвестной величине и, не смущаясь, могут выразить в ответе параметр через переменную х. На выпускных и вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Вы сразу отличите их по формулировке. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче. Решением уравнения с параметром для данного фиксированного значения параметра называется такое значение неизвестной, при подстановке которого в уравнение, последнее обращается в верное числовое равенство. Аналогично определяется решение неравенства с параметром. Решить уравнение (неравенство) с параметром — это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства). 1. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х;у) Наряду с основными аналитическими приемами и методами решений задач с параметрами существуют способы обращения к наглядно-графическим интерпретациям. В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый – построение графического образа на координатной плоскости (х ; у), второй – на (х ; а). На плоскости (х ; у) функция у =f (х ; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определенными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать, с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т. д.) можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой. Каждому из таких преобразований будет посвящен отдельный пункт. Как нам кажется, подобная классификация облегчает решающему поиск необходимого графического образа. Отметим, что при таком подходе идейная часть решения не зависит от того, какая фигура (прямая, окружность, парабола и т. п.) будет являться членом семейства кривых. Разумеется, не всегда графический образ семейства у = f (х ; а) описывается простым преобразованием. Поэтому в подобных ситуациях полезно сосредоточить внимание не на том, как связаны кривые одного семейства, а на самих кривых. Иными словами можно выделить еще один тип задач, в которых идея решения прежде всего основана на свойствах конкретных геометрических фигур, а не семейства в целом. Какие же фигуры (точнее семейства этих фигур) нас будут интересовать в первую очередь? Это прямые и параболы. Такой выбор обусловлен особым (основным) положением линейной и квадратичной функций в школьной математике. Говоря о графических методах, невозможно обойти одну проблему, «рожденную» практикой конкурсного экзамена. Мы имеем в виду вопрос о строгости, а следовательно, о законности решения, основанного на графических соображениях. Несомненно, с формальной точки зрения результат, снятый с «картинки», не подкрепленный аналитически, получен нестрого. Однако кем, когда и где определен уровень строгости, которого следует придерживаться старшекласснику? По нашему мнению, требования к уровню математической строгости для школьника должны определяться здравым смыслом. Мы понимаем степень субъективности такой точки зрения. Более того, графический метод – всего лишь одно из средств наглядности. А наглядность может быть обманчивой. Так, для графиков функций  «картинка» скорее всего покажет одну общую точку. На самом деле их три. Таких примеров можно привести немало. Но, с нашей точки зрения, каждый из них свидетельствует только о том, что при использовании графических методов решения, впрочем, как и аналитических, может быть допущена ошибка. Поэтому в тех случаях, когда результат, «прочитанный» с рисунка, вызывает сомнения, мы советуем подкрепить выводы аналитически. Это следует сделать в первую очередь не для того, чтобы удовлетворить требования придирчивого экзаменатора, а для подтверждения правоты выбранного пути решения. Таким образом, по отношению к школьнику «планка» математической строгости должна находиться в пределах разумной достаточности.1.1. Параллельный перенос. Начнем с задач, где членами семейства у = f (х ; а) будут прямые. Пример 1. Найти все значения параметра b, при которых уравнение  имеет единственное решение.Решение. Для удобства обозначим lg b = а. Запишем уравнение, равносильное исходному:  . Переходим к равносильной системе  Рис. 1 Строим график функции  с областью определения  и  (рис. 1). Полученный график семейство прямых у = а должно пересекать только в одной точке. Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а > 2, т. е. lg b > 2, b > 100.Ответ.  .Пример 2. Для каждого значения параметра  определить число решений уравнения  .Решение. Построим график функции  (рис. 2).  Рис. 2  Рассмотрим  . Это прямая параллельна оси ОХ. Ответ. Если  , то решений нет;если  , то 3 решения;если  , то 2 решения;если  , 4 решения.Перейдем к новой серии задач. Будем рассматривать семейства кривых, задаваемые уравнениями  . Членами этих семейств будут «полупараболы».Пример 3. Решить неравенство  .Решение. Построим прямую у = х +1 (рис. 3). Если «полупарабола» расположена ниже прямой, то очевидно неравенство решений не имеет (рис. 3, положение I). Решения появятся только с момента касания (положение II). Значение параметра, соответствующее касанию, можно найти, потребовав от системы  иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х+1)2 = х + а иметь один корень. Отсюда получаем  . Значит, при  исходное неравенство решений не имеет. Заметим, что тот, кто знаком с производной, может получить этот результат иначе. Рис. 3 Далее, смещая «полупараболу» влево, зафиксируем последний момент, когда графики у = х + 1 и имеют две общие точки (положение III). Такое расположение обеспечивается требованием а = 1.Ясно, что при  отрезок [х1; х2], где х1 и х2 – абсциссы точек пересечения графиков, будет решением исходного неравенства. Решив записанное выше уравнение, получим  Следовательно, если , то  Когда «полупарабола» и прямая пересекаются только в одной точке (это соответствует случаю а > 1), то решением будет отрезок [-а ; х2'], где х2' – больший из корней х1 и х2 (положение IV). Пример 4. Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от значений параметра а ?Решение, Заметим, что, введя функции и  , мы получаем сразу два семейства кривых. В этом случае поиск общих точек затрудняется. Однако задачу можно облегчить, применив замену  . Отсюда получаем  .Рассмотрим функции  и  . Среди них лишь одна задает семейство кривых. Теперь мы видим, что произведенная замена приносит несомненную пользу. Параллельно отметим, что в предыдущей задаче аналогичной заменой можно заставить двигаться не «полупараболу», а прямую. Обратимся к рис. 4. Очевидно, если абсцисса вершины «полупараболы» больше единицы, т.е. –3а > 1,  , то уравнение корней не имеет. Если  , то по рисунку видно, что рассматриваемые графики пересекаются, причем только в одной точке, поскольку функции и имеют разный характер монотонности. Рис. 4 Ответ. Если то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.1.2. Поворот. Сразу отметим, что в настоящем пункте выбор семейства кривых (в отличие от самих задач) не отличается разнообразием, а точнее он одновариантный: во всех примерах члены семейства у = f (х;а) – прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой. Иными словами, мы ограничимся семейством вида у – у0 = а (х – х0), где (х0 ; y0) – центр поворота. Такой выбор обусловлен тем, что в равенстве f (х,у,а) = 0 очень сложно увидеть аналитическое задание поворота кривых, отличных от прямых. Поэтому о повороте как о методе целесообразно говорить лишь для прямых указанного типа. Пример 5. Найти все значения параметра к, при которых система уравнений  имеет решения. Решение. Ясно, что прямые семейства  переходят друг в друга путем преобразования поворота с центром в точке  . Данная система очевидно будет иметь решение, если указанные прямые имеют с «полупа-болой»  хотя бы одну общую точку.На рис. 5 отмечены два положения прямой, которым соответствуют некоторые значения параметра k1 и k2. На первой прямой лежит вершина. Вторая прямая касается «полупараболы». Наглядно очевидно, что если прямые семейства «заметают» образовавшийся угол (параметр k изменяется от k1 и k2), то исходная система имеет решения.  Рис. 5 Значение k1 найдем, подставив в первое уравнение системы пару (0;0). Отсюда k1 =-1/4. Значение k2 получим, потребовав от системы  иметь одно решение, что равносильно для уравнения  при k > 0 иметь один корень. Отсюда k2 = 1/4.Ответ.  .Сделаем одно замечание. В некоторых примерах этого пункта нам придется решать стандартную задачу: для прямой семейства находить ее угловой коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. Покажем, как это сделать в общем виде при помощи производной. Если (х0 ; y0) = центр поворота, то координаты (х1; у1) точки касания с кривой у = f (х) можно найти, решив систему  Искомый угловой коэффициент k равен  .Пример 6. При каких значениях параметра уравнение  имеет единственное решение?Решение. Рассмотрим функцию  и  . График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами  и радиусом =1 (рис. 6). , дуга АВ. Рис. 6 Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекают дугу АВ в одной точке, также в одной точке пересекают дугу АВ ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициенты ОА и ОВ равны соответственно  и  . Угловой коэффициент касательной равен  . Легко находится из системы  Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при  .Ответ. .Пример 7. При каких  уравнение  имеет решение?Решение. Рассмотрим функцию  . Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке  и убывает на  . Точка  - является точкой максимума. Рис. 7 Функция же  - это семейство прямых, проходящих через точку  . Обратимся к рис. 6. Графиком функции является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число  , а ОВ –  . Ответ. При  уравнение имеет 1 решение; при остальных значениях параметра решений нет.1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой. Пример 8. Сколько решений имеет система  в зависимости от значений параметра а? Решение. Прежде всего отметим, что при  система решений не имеет. При фиксированном а > 0 графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (а; 0), (0;-а), (-a;0), (0;а). Таким образом, членами семейства  являются гомотетичные квадраты (центр гомотетии – точка О(0; 0)).Обратимся к рис. 8. Очевидно если квадрат находится внутри окружности  , то система решений не имеет. С увеличением а (квадрат «раздувается») решения появятся лишь в тот момент, когда квадрат окажется вписанным в окружность. В этом случае (а = 1) решений будет четыре. Далее, при  каждая сторона квадрата имеет две общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При  окружность окажется вписанной в квадрат, т.е. решений станет опять четыре. Очевидно при  система решений не имеет. Рис. 8 Ответ. Если а < 1 или , то нет решений; если а = 1или , то решений четыре; если , то решений восемь.Пример 9. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет ровно 8 решений.Решение. Имеем  . Рассмотрим функцию  . Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами , второе семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Из рис. 9 хорошо видно, что с увеличением радиуса r полуокружности растет число корней исходного уравнения. Рис. 9 Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше  и меньше  , то есть  . Заметим, что  есть  .Ответ.  или  .1.4. Две прямые на плоскости По существу, в основе идеи решения задач настоящего пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения двух прямых:  и  . Несложно показать решение этой задачи в общем виде. Мы же обратимся непосредственно к конкретным характерным примерам, что, на наш взгляд, не нанесет ущерба общей стороне вопроса.Пример 10. При каких a и b система  имеет решение? Решение. Легко преобразовать неравенство системы к виду  . Отсюда  . Тогда  , т.е  . Следовательно, исходная система равносильна такой: Неравенство системы задает полуплоскость с границей у = 2х – 1 (рис. 10). Легко сообразить, что полученная система имеет решение, если прямая ах + by = 5 пересекает границу полуплоскости или, будучи параллельной ей, лежит в полуплоскости у – 2х + 1 < 0.  Рис. 10 Начнем со случая b = 0. Тогда, казалось бы, уравнение ах + by = 5 задает вертикальную прямую, которая очевидно пересекает прямую у = 2х – 1. Однако это утверждение справедливо лишь при  . Значит, при  и система имеет решения. Далее, при  имеем  . В этом случае условие пересечения прямых достигается при  , т.е.  . Если  , то прямые или совпадают, или параллельны. Добавив требование  (прямая пересекает ось ординат ниже точки (0; -1)), получим еще одно нас устраивающее взаимное положение прямых.Ответ. и , или и , или  и .2. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х;а) Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным. Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость  . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д. П  ример 11. При каких значениях параметра уравнение  имеет два корня?Решение. Переходим к равносильной системе   Рис. 11 Из графика (рис. 11) видно, что при  уравнение имеет 2 корня.Ответ. При уравнение имеет два корня.Пример 12. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение  имеет только два различных корня.Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:   Рис. 12 Теперь важно не упустить, что  ,  и  – корни исходного уравнения лишь при условии  . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости  . На рис. 12 искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.Ответ. При  , или  , или  .Пример 13. Найти все значения а ,при которых система  имеет единственное решение. Решение. Перепишем исходную систему в таком виде:  Все решения этой системы (пары вида (х ; а)) образуют область, показанную на рис. 13 штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые а = 0 и а = 1 удовлетворяют выдвинутому требованию.  Рис. 13 Ответ. а = 0 или а = 1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мы надеемся, что разобранные задачи достаточно убедительно демонстрируют эффективность предложенных методов. Однако, к сожалению, сфера применения этих методов ограничена трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа. А так ли это плохо? По-видимому, нет. Ведь при таком подходе в большой степени теряется главная дидактическая ценность задач с параметрами как модели миниатюрного исследования. Впрочем, приведенные соображения адресованы учителям, а для абитуриентов вполне приемлема формула: цель оправдывает средства. Более того возьмем на себя смелость сказать, что в немалом числе вузов составители конкурсных задач с параметрами идут по пути от картинки к условию. В этих задачах обсуждались те возможности решения задач с параметром, которые открываются нам при изображении на листе бумаге графиков функций, входящих в левую и правую части уравнений или неравенств. В связи с тем, что параметр может принимать произвольные значения, один или оба из изображаемых графиков движутся определенным образом на плоскости. Можно говорить о том, что получается целое семейство графиков, соответствующих различным значениям параметра. Решительно подчеркнем две детали. Во-первых, речь не идет о «графическом» решении. Все значения, координаты, корни вычисляются строго, аналитически, как решения соответствующих уравнений, систем. Это же относится к случаям касания или пересечения графиков. Они определяются не на глазок, а с помощью дискриминантов, производных и других доступных Вам инструментов. Картинка лишь дает путь решения. Во-вторых, даже если Вы не найдете никакого пути решения задачи, связанного изображенными графиками, Ваше представление о задаче значительно расширится, Вы получите информацию для самопроверки и шансы на успех значительно возрастут. Точно представляя себе, что происходит в задаче при различных значениях параметра, Вы, возможно, найдет правильный алгоритм решения. Поэтому эти слова завершим настоятельным предложением: если в хоть мало-мальски сложной задаче встречаются функции, графики которых Вы рисовать умеете, обязательно сделайте это, не пожалеете. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Черкасов, О.Ю. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы [Текст] / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с. 2. Горштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: 3-е издание, дополненное и переработанное / П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. – 336 с. |
.
и выделим те промежутки оси Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Публичный отчет кгбоу дпо «Хабаровский краевой институт развития образования» за 2014 год Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации)... | | Институт развития образования республики башкортостан Путина, Институт развития образования при поддержке Министерства образования Республики Башкортостан проводит республиканский профессиональный... |
| Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Настоящий курс магистерской подготовки посвящен истории развития правового регулирования труда в России |  | Отчет о самообследовании Челябинского филиала фгбоу впо мггэи челябинск,... Гоу дпо челябинский институт развития профессионального образования (повышения квалификации) специалистов 20 |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Составитель: Тнескина М. Н., заведующая отделом этнопедагогических технологий Центра развития образования гоу дпо «Чукотский институт... | | Пояснительная записка в соответствии со стратегией развития российского... Ксп) «Разработка, реализация и распространение современных моделей доступного и качественного образования в Хабаровском крае» краевое... |
| Пояснительная записка в соответствии со стратегией развития российского... Ксп) «Разработка, реализация и распространение современных моделей доступного и качественного образования в Хабаровском крае» краевое... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Автор составитель: Т. А. Липаева, канд филос наук, ст преподаватель кафедры развития профессионального образования огбоу дпо «Костромской... |
| Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Методические рекомендации по усвоению учебного материала и организации самостоятельной работы 36 | | Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Т. Г. Морозова, доктор географических наук, профессор взфэи, кафедра «Региональная экономика» |
| Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Т. Г. Морозова, доктор географических наук, профессор взфэи, кафедра «Региональная экономика» | | Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... «философские проблемы конкретных дисциплин» Часть I. федерального комплекса цикла дс |
| Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Фгос спо по специальности 080014 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), утвержденный Министерством образования и науки РФ... | | Образовательная программа основного общего образования Дополнительного профессионального образования свердловской области «институт развития образования» |
| Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... В соответствии со статьей 179 Бюджетного кодекса Российской Федерации Правительство Челябинской области | | Международная «Лига развития науки и образования» (Россия) Международная... Рубцовск 2011При разработке учебно-методического комплекса учебной дисциплины в основу положены |
