Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В. 4 Математические методы исследования операций основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

Скачать 409.34 Kb.

Название	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В. 4 Математические методы исследования операций основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»
страница	1/3
Дата публикации	02.07.2015
Размер	409.34 Kb.
Тип	Учебно-методический комплекс

100-bal.ru > Математика > Учебно-методический комплекс

1 2 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мурманский государственный гуманитарный университет»

(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ДИСЦИПЛИНЫ

ОПД.В.4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
010501 «Прикладная математика и информатика»

Утверждено на заседании кафедры

математики и математических методов

в экономике факультета

физико-математического образования,

информатики и программирования

(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Раздел I

Программа учебной дисциплины
1.1. Автор программы
старший преподаватель кафедры Кумаров В. Г.
1.2. Рецензенты
доктор ф.-м. наук, профессор кафедры АГ и ПМ Маренич Е. Е.

доцент кафедры АГ и ПМ Маренич А. С.
1.3. Пояснительная записка

Целями изучения дисциплины являются: формирование профессиональных навыков по изучению, анализу и оптимизации экономических процессов и систем, которые сводятся к задачам линейного программирования.

Основными задачами изучения данной дисциплины являются: формирование целостной системы знаний о задачах, моделях и методах линейного программирования; развитие способности творчески подходить к решению профессиональных задач.

В результате изучения курса студенты

должны знать: графический и симплекс-метод решения задач линейного программирования; теорию двойственности; метод потенциалов решения транспортных задач линейного программирования.

должны уметь: строить математические модели задач линейного программирования, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения; использовать пакеты прикладных программ для решения задач линейного программирования с помощью компьютера; уметь анализировать полученные решения.
1.4. Выписка из ГОС ВПО по содержанию дисциплины

–

1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Курс	Семестр	Виды учебной работы в часах						Вид итогового контроля
Курс	Семестр	Трудоемкость	Всего аудит.	ЛК	ПР/ СМ	ЛБ	Сам. Работа	Вид итогового контроля
2	3	110	46	24	22	–	64	Зачет

Предусмотрено написание двух контрольных работ
1.6. Содержание дисциплины
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени

№ п/п	Наименование раздела, темы	Количество часов
№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего аудит.	ЛК	ПР	Сам. Раб.
1	Системы линейных неравенств	4	4	–	–
2	Задачи линейного программирования	6	4	2	10
3	Графический метод решения задач линейного программирования	6	4	2	10
4	Симплекс-метод решения задач линейного Программирования	8	4	4	10
5	Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования	8	4	4	10
6	Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования	8	4	4	10
7	Решение задач с помощью компьютера	6	–	6	14
Контрольные суммы		46	24	22	64

1.6.2. Содержание разделов дисциплины
Системы линейных неравенств.  Следствия систем линейных неравенств. Теорема Минковского. Критерий несовместности систем линейных неравенств. Неотрицательные решения систем линейных уравнений и систем линейных неравенств.

Задачи линейного программирования. Классификация задач линейного программирования. Взаимная двойственность задач С и С^*, К и К^*. Допустимые и оптимальные решения задач линейного программирования. Критерий оптимальности векторов. Теорема двойственности. Теорема равновесия для стандартных и канонических задач линейного программирования.

Графический метод решения задач линейного программирования. Векторно-параметрическое уравнение отрезка. Теоремы о выпуклых множествах. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования и графический метод решения.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Симплекс-таблицы. Осевые преобразования симплекс-таблиц. Алгоритм симплекс-метода.

Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования. Транспортная задача линейного программирования на минимум. Основные теоремы. Методы построения опорного решения транспортной задачи на минимум. Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования на минимум и его обоснование. Решение транспортных задач на минимум с ограничениями пропускной способности. Критерий оптимальности решения транспортной задачи на максимум. Задачи транспортного типа.

Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования.  Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере задачи об использовании ресурсов и задачи о диете. Оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок. Интервалы устойчивости.

Решение задач с помощью компьютера.  Решение задач исследования операций в электронных таблицах Microsoft Excel. Написание программ на языке С++ для решения некоторых видов задач линейного программирования.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.

№ п/п	Наименование раздела дисциплины, темы	Форма самостоятельной работы	Форма контроля выполнения самостоятельной работы	Количество часов
1	Системы линейных неравенств	—	—	—
2	Задачи линейного программирования	Решение задач	Самопроверка по образцу	10
3	Графический метод решения задач линейного программирования	Решение задач	Самопроверка по образцу	10
4	Симплекс-метод решения задач линейного программирования	Решение задач	Непосредственная проверка	10
5	Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования	Решение задач	Непосредственная проверка	10
6	Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования	Решение задач	Самопроверка по образцу	10
7	Решение задач с помощью компьютера	Решение задач	Самопроверка по образцу	14

1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Задачи линейного программирования» (2 ч)

Составление математических моделей задач линейного программирования. Рассматриваются следующие задачи: об использовании сырья, об использовании оборудования, общая задача об использовании ресурсов, задача о диете, задача о раскройке материалов, задача о закреплении транспорта за авиалиниями, задача о посеве культур, о распределении работ между исполнителями. Задачи даются не в общем виде, а с конкретными числовыми данными, что способствует большему пониманию условия задач, позволяет упростить процесс их обсуждения. С целью развития способностей самостоятельно составлять математические модели от студентов требуется четко придерживаться следующих этапов:

анализ условия задачи (он может сопровождаться схемами, рисунками, таблицами);

выделения параметров, которые требуется найти и введение соответствующих переменных;

выявление условий, которые носят характер ограничений и составление соответствующих линейных ограничений;

выявление условия, которое носит критериальный характер и запись целевой функции;

математическая формулировка задачи.

В качестве домашнего задания каждому студенту требуется составить математическую модель своей (по номеру из задачника) задачи линейного программирования; сформулировать ее в общем виде и привести соответствующую математическую модель.

Литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

3.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001

4.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Практические занятия по теме «Графический метод решения задач линейного программирования» (2 ч)

Здесь рассматриваются три типа задач линейного программирования, которые можно решить графическим способом:

задачи с двумя переменными (здесь рассматриваются все типы, которые могут встретиться: когда несовместна система ограничений и, следовательно, задача не имеет решения ни на минимум, ни на максимум; множество допустимых решений ограничено, т.е. существуют и минимум и максимум целевой функции, когда множество допустимых решений неограниченно в направлении убывания или возрастания целевой функции, т.е. либо существует только один из экстремумов, либо не существует ни один из них);

задачи с произвольным числом переменных и двумя ограничениями (решаются путем составления двойственной задачи, которая будет содержать две переменные, и применения теоремы равновесия);

задачи с произвольным числом переменных и ограничений, но для которых выполняется следующее условие: общее число переменных – ранг основной матрицы подсистемы, составленной из ограничений типа уравнений,

2 (в этом случае задача сводится к задаче с двумя переменными методом исключения неизвестных).

В качестве домашнего задания требуется решить графическим способом по одной задаче каждого типа.

Литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

3.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001

4.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Практические занятия по теме «Симплекс-метод решения задач линейного программирования» (4 ч)

Первой решается задача, которую можно решить графическим методом, чтобы можно было иллюстрировать процесс ее решения симплекс-методом. Далее решаются задачи на минимум и на максимум, которые нельзя решить графическим методом. Среди них рассматриваются задачи, одна из которых не имеет решений ввиду несовместности системы ограничений, другая – ввиду неограниченности множества допустимых решений в направлении искомого экстремума.

Домашнее задание: решить симплекс-методом задачу линейного программирования с конкретным экономическим содержанием и найти оптимальное решение двойственной к ней задачи.

Литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

3.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001

4.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Практические занятия по теме «Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования» (4 ч)

Решение транспортных сбалансированных и несбалансированных задач линейного программирования на минимум и на максимум; транспортных задач с ограничениями пропускной способности; задач транспортного типа (распределительные и классическая задача о назначениях). При построении опорного решения первых трех задач используются различные методы построения опорного решения. Далее метод построения опорного решения предлагается выбирать студентами самостоятельно (рекомендуется использовать метод аппроксимаций Фогеля).

Домашнее задание: решить три задачи – несбалансированную транспортную задачу на минимум с ограничениями пропускной способности четырех типов (

;

); несбалансированную задачу транспортного типа на максимум; задачу управления запасами транспортного типа.

Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).

Литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

3.  Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования. М.: Транспорт, 1971.

4.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001

5.  Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск: «Высшэйшая школа», 1969

6.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Практические занятия по теме «Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования» (4 ч)

Сначала рассматривается задача об использовании ресурсов (4 ч). Находится оптимальное решение данной и двойственной к ней задачи. Производится анализ решения на основе свойств взаимно двойственных задач, оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок.

Аналогичным образом рассматривается задача об использовании сырья (4 ч).

Домашнее задание: найти решение задачи линейного программирования (для одной половины студентов это задача об использовании ресурсов, для другой – задача о диете) и произвести его анализ на основе двойственных оценок.

Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).

Литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989.

3.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
Практические занятия по теме «Решение задач с помощью компьютера» (6 ч)

Решение задач исследования операций в электронных таблицах Microsoft Excel; подробный анализ полученного решения с использованием двойственных оценок.

Написание программ на языке С++ реализующих алгоритм: симплекс-метода решения задач линейного программирования; метода потенциалов решения сбалансированных транспортных задач линейного программирования без ограничений на пропускную способность.

Литература

1.  Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.: БХВ-Петербург, 2002.

2.  Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.

3.  Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.8.1. Рекомендуемая литература
Основная литература

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.

3.  Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989.

4.  Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.

5.  Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.: БХВ-Петербург, 2002.

9.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

10.  Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001

12.  Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. – Минск: «Высшэйшая школа», 2001.

13.  Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования. М.: Транспорт, 1971.

14.  Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.

15.  Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск: «Высшэйшая школа», 1969

16.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.

17.  Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004.
Дополнительная литература

1.  Абчук В. А. Экономико-математические методы. – СПб: Союз, 1999.

2.  Ашманов С. А. Линейное программирование. – М.: 1981.

3.  Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ им. Баумана, 2002.

4.  Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.: Наука, 1971.

5.  Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его применения и обобщения. – М.: «Прогресс», 1966.

6.  Ермолаев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С., Тюптя В. И. Математические методы исследования операций. – М.: Киев, «Вища Школа», 1979.

7.  Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: 1986.

8.  Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2001.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.9.1. Перечень используемых технических средств

Компьютеры на базе процессора

– Intel Pentium 4 2.8 Гц, 512 МВ ОЗУ;

– Intel Core 2 Duo 1.8 Гц, 1024 МВ ОЗУ.
1.9.2. Перечень используемых пособий

1.  Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.

2.  Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные задачи исследования операций. – М.: ИНФРА-М, 2006.

3.  Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.

4.  Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ им. Баумана, 2002.

5.  Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.: Наука, 1971.

6.  Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.: БХВ-Петербург, 2002.

7.  Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.

8.  Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.

9.  Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск: «Высшэйшая школа», 1969

10.  Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.

11.  Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

12.  Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2001.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов, программного обеспечения:

– электронные таблицы Microsoft Excel;

– Visual Studio C++ 6.0;

– тест в AST оболочке.

1.10.  Примерные зачетные тестовые задания по дисциплине
1.  Допустимым решением задачи исследования операций называется

А.  решение, доставляющее целевой функции искомое экстремальное значение

B.  решение, удовлетворяющее хотя бы одному ограничению

C.  решение, удовлетворяющее системе ограничений

D.  решение, удовлетворяющее системе ограничений и доставляющее целевой
      функции искомое экстремальное значение
2.  Вектор

является допустимым решением задачи

3. Какой из приведенных векторов является допустимым решением задачи линейного программирования

4.  Оптимальным решением задачи исследования операций называется

A.  решение, доставляющее целевой функции искомое экстремальное значение

B.  решение, удовлетворяющее хотя бы одному ограничению

C.  решение, удовлетворяющее системе ограничений

D.  решение, удовлетворяющее системе ограничений и доставляющее целевой
      функции искомое экстремальное значение
5.  Двойственной к задаче линейного программирования

является задача

6. Каким неравенством задается изображенная на рисунке полуплоскость

7. На рисунке изображены множество допустимых решений задачи линейного программирования G и опорная прямая

, где

. Выберите верное утверждение

8. Какая из таблиц является результатом проведения осевого преобразования таблицы

с ведущим элементом, обведенным в квадрат?

9.  Симплекс-таблица содержит оптимальное решение, если она

A.  допустима либо по строкам, либо по столбцам

B.  допустима по столбцам, но недопустима по строкам

C.  допустима по строкам, но недопустима по столбцам

D.  допустима по строкам и по столбцам
10.  Транспортная задача линейного программирования с вектором запасов

и вектором запросов

называется сбалансированной, если

11. Какая из таблиц содержит оптимальное решение транспортной задачи на минимум?

1.11. Примерный перечень вопросов к зачету

Следствия систем линейных неравенств. Леммы 1 и 2.
Теорема Минковского.
Критерий несовместности систем линейных неравенств. Теорема 1.
Критерий несовместности систем линейных неравенств. Теоремы 2 и 3.
Неотрицательные решения систем линейных уравнений и систем линейных неравенств.
Классификация задач линейного программирования. Взаимная двойственность задач С и С^*, К и К^*.
Допустимые и оптимальные решения задач линейного программирования. Критерий оптимальности векторов.
Теорема двойственности.
Теорема равновесия для стандартных и канонических задач линейного программирования.
Векторно-параметрическое уравнение отрезка. Теоремы о выпуклых множествах.
Графический метод решения задач линейного программирования. Теоремы 1 и 2.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Леммы 1 и 3.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Леммы 2 и 4.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Лемма 5. Алгоритм симплекс-метода
Транспортная задача линейного программирования на минимум. Основные теоремы.
Методы построения опорного решения транспортной задачи на минимум.
Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования на минимум и его обоснование.
Решение транспортных задач на минимум с ограничениями пропускной способности.
Пример задачи транспортного типа на максимум. Критерий оптимальности решения транспортной задачи на максимум.
Примеры задач транспортного типа. Модель производства с запасами.
Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере задачи об использовании ресурсов.
Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере задачи о диете.
Оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок. Интервалы устойчивости.

1.12. Комплект экзаменационных билетов

–
1.13. Примерная тематика рефератов

Задачи линейного программирования в экономике

Задачи транспортного типа в экономике

Задачи целочисленного линейного программирования в экономике

Задачи параметрического линейного программирования в экономике

Задачи динамического программирования в экономике
1.14. Примерная тематика курсовых работ

Метод динамического программирования и его применения.

Параметрическое программирование.

Системы массового обслуживания.

Задачи управления запасами.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ

Нахождение всего множества оптимальных решений задач линейного, параметрического линейного программирования.

Нахождение всего множества решений транспортных задач линейного и параметрического линейного программирования.

Оптимизация сетевых моделей.

Приветствуются работы по применению теории исследования операций к анализу деятельности и оптимизации работы конкретных предприятий, учреждений и организаций Мурманской области.
1.16. Бально-рейтинговая система
Оценка «отлично» выставляется при условии

– усвоения студентом 95-100% дидактических единиц;

– 95-100% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»

или

– усвоения студентом 90-94% дидактических единиц;

– 90-94% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «хорошо» выставляется при условии

– усвоения студентом 80-89% дидактических единиц;

– 80-89% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»

или

– усвоения студентом 70-79% дидактических единиц;

– 70-79% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «удовлетворительно» выставляется при условии

– усвоения студентом 60-69% дидактических единиц;

– 60-69% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «удовлетворительно» или
«хорошо»

или

– усвоения студентом 50-59% дидактических единиц;

– 50-59% правильно выполненных тестовых заданий;

– написания контрольных работ на «хорошо».
Раздел II

Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1

1 2 3

Добавить документ в свой блог или на сайт

	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В 1 дополнительные главы... ...		Учебно-методический комплекс дисциплины дс компьютерные сети и системы... Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Маренич А. С., кандидат технических наук, доцент Ланина Н. Р
	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 21 Методы географических... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 25 (опд. Ф. 13) «Специальная психология» Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)
	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 25 (опд. Ф. 13) «Специальная психология» Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 11 Основы коммуникативной... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)
	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 10, Опд. Ф. 12, Опд.... А. В. Прялухина, кандидат психологических наук, доцент, зав кафедрой психологии Российского государственного социального университета...		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 2 Учение об атмосфере... Целью курса является знакомство с основными научными знаниями об атмосфере и методами ее исследования
	Учебно-методический комплекс дисциплины опд. В 2 опд. В 1 Современный... Педагогика и методика начального образования со специализацией «Обучение информатике в начальной школе»		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 8 Религиоведение... Пащенко Л. В., к ф н., старший преподаватель кафедры связей с общественностью и лингвистики мгту
	Учебно-методический комплекс дисциплины математическая логика Основная... Автор программы: Шиманский Сергей Александрович, ст преподаватель кафедры информатики и отд		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 4 История религии... ...
	Учебно-методический комплекс дисциплины фтд. 1 Основы кинезиологии... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 2 Геоморфология основная... Цель дисциплины. В соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности...
	Учебно-методический комплекс дисциплины гсэ. В устойчивое развитие... Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности (специальностям)		Учебно-методический комплекс дисциплины опд. Ф. 1 Землеведение основная... Курс «Землеведение» предназначен студентам, обучающимся по специальности «География», читается студентам 3 курса

Похожие: