Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник

Скачать 2.66 Mb.

Название	Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник
страница	1/12
Дата публикации	01.10.2013
Размер	2.66 Mb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

В. М. Калинин, С. Р. Тихомиров

Лекции по теории вероятностей

и математической статистике

Теория вероятностей

источник http://www.twirpx.com/file/132610/

2010 год

Классическое определение вероятности.
Основные формулы исчисления вероятностей

Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай:  состоит из конечного числа N равновероятных событий.

Понятие ''равновероятности'' здесь является исходным, неопределяемым. Основанием для суждения о равновозможности, равновероятности обычно служит физическая симметрия, равноправие исходов. Понятие "вероятность" здесь уже является производным, определяемым: вероятностью P(A) события A называется

P(A),
где N(A) – число элементарных событий, благоприятствующих событию A.

В этих условиях выведем основные формулы исчисления вероятностей.

1. Вероятность достоверного события равна 1:P()1.Это очевидно, так как N()N.

2. Вероятность невозможного события равна 0:P()0. Это ясно, посколькуN()0.

3. P()1P(A). Справедливость равенства следует из равенстваN(A)
N()N.

4. 0P(A)1для A, поскольку 0N(A)N.

5. ABP(A)P(B), поскольку в этом случаеN(A)N(B).

6. Для любых событий A и B:P(AB)P(A),так какN(AB)N(A).

7. Теорема сложения для несовместимых событий. Если события A и B несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей:

P(AB)P(A)P(B).

Действительно,N(AB)N(A)N(B)и остаётся разделить это равенство на N.

8. Теорема сложения в общем случае:

P(AB)P(A)P(B)P(AB).

Действительно, из определения суммы событий:N(AB)N(A)N(B)
N(AB). Деля почленно это равенство на N, убеждаемся в справедливости теоремы.

9. Обобщение теоремы сложения на n событий:

P(A₁A₂A_n)(1)^k^¹P(A_j₁A_j₂A_j_k).

Формула доказывается методом математической индукции несложно, но громоздко. Во внутренней сумме число слагаемых, очевидно, равно и суммирование ведётся по всевозможным наборам различных натуральных индексовj₁, j₂,  , j_k.

10. Условная вероятность.

Добавим к комплексу условий, реализация которых интерпретируется как опыт, ещё одно условие: произошло событие B; это возможно практически лишь в случае, когдаP(B)0.Все опыты, в которых B не произошло, мы как бы игнорируем. Считаем, что добавление события B к комплексу условий не нарушает равновероятности исходов и не меняет природы самих исходов. Теперь опыт может иметь лишь один из N(B) исходов, а из них событию A благоприятствуют N(AB) исходов. В соответствии с классическим определением, вероятность события A при условии, что произошло событие B, равна:

P(A|B).

Таким образом, по существу, условная вероятность ничем не отличается от обычной, безусловной вероятности.

В случае, если AB, формула для условной вероятности упрощается:

P(A|B),

так как здесь ABA.

11. Теорема умножения: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A).

Первая из этих формул дляP(B)0является лишь формой записи формулы пункта 10 для условной вероятности; вторая получена из неё перестановкой местами A и B, что дляP(A)0возможно. Вместе с тем ясно, что теорема умножения верна и для случаяP(A)0илиP(B)0,но при этом она становится тривиальной и бессодержательной.

12. Независимость событий.

Будем говорить, что событие A не зависит от события B, если P(A|B)P(A). В этом случае теорема умножения упрощается:P(AB)P(A)P(B).

И наоборот, для событий, имеющих положительную вероятность, из последней формулы следует независимость события A от B:

P(A|B)P(A).

Таким образом, второе эквивалентное определение независимости: события A и B, имеющие положительные вероятности, независимы, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB)P(A)P(B). События A и B в этом определении симметричны: если событие A не зависит от B, то и B не зависит от A.

Если события A и B независимы, то независимы также и события A и .

Действительно:

P(|A)P(B|A)1,

откуда:

P(|A)1P(B|A)1P(B),

а это и доказывает наше утверждение.

Ясно, что независимы также и события , .

Если события A и B независимы, то они не могут быть несовместимыми: если A и B – одновременно несовместимы и независимы, то, с одной стороны,ABиP(AB)0,а, с другой, –P(AB)P(A)P(B),что противоречит предположению о положительности вероятностейP(A)иP(B).

Обобщение понятия независимости на n событий: события A₁, A₂,  , A_n называются независимыми в совокупности, если для любого набора различных индексовj₁, j₂,  , j_kвероятность произведения событийA_j₁A_j₂A_j_kравна произведению вероятностей событий A_j₁, A_j₂,  , A_j_k:

P(A_j₁A_j₂A_j_k)P(A_j₁)P(A_j₂)P(A_j_k).

Можно думать, что для независимости событий в совокупности достаточно попарной независимости, Конкретные примеры, однако, доказывают, что это не так.

Таким образом, для независимых событий легко вычислять вероятность произведения, а для несовместимых событий легко вычислять вероятность суммы.

Если событияA₁, A₂,  , A_nнезависимы, то

P(A₁A₂A_n)P()1P()P()P().

Если событияA₁, A₂,  , A_nнесовместимы, то

P()P()1P(A₁A₂A_n)1P(A_k).

13. Теорема умножения для n событий:

P(A₁A₂A_n)P(A₁)P(A₂A_n|A₁).

Учитывая, что условные вероятности ничем не отличаются от безусловных – лишь добавляется к комплексу условий ещё одно, которое в дальнейшем терять или отбрасывать нельзя, – можем продолжить:

P(A₁A₂A_n)P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃A_n|A₁A₂)  .

Окончательно:

P(A₁A₂A_n)P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)P(A_n|A₁A₂A_n_₁).

Эта теорема позволяет дать ещё одно определение независимости в совокупности: события A₁, A₂,  , A_n, имеющие положительные вероятности, независимы в совокупности, если для любого набора неравных индексов

P(A_j₁A_j₂A_j_k|A_i₁A_i₂A_i_m)P(A_j₁A_j₂A_j_k),

что легко устанавливается по теореме умножения и формуле для условных вероятностей.

14. Формула полной вероятности.

Пусть A₁, A₂,  , A_n – любое разбиение пространства , B – любое событие. ТогдаBBB(A₁A₂A_n)BA₁BA₂BA_nи получаем формулу полной вероятности:

P(B)P(BA_k)P(A_k)P(B|A_k).

ОбычноA₁, A₂,  , A_n– взаимоисключающие друг друга ситуации, в которых может происходить событие B.

15. Формулы Байеса.

В обозначениях предыдущего пункта:

P(A_k|B), k1, 2,  , n,

и мы получили формулы Байеса, которые называют также формулами вероятностей гипотез: если событие B может произойти лишь с одним и только одним из событий A₁, A₂,  , A_n и оно действительно произошло, то, спрашивается, с каким из событий A_k оно произошло? Можно сделать n гипотез и, соответственно, формулы Байеса дают апостериорные вероятности P(A_k|B) для этих гипотез, выражая их через априорные вероятности P(A_m) и условные вероятности P(B|A_m) того, что в условиях m-ой гипотезы произойдёт событие B.

Таковы основные формулы исчисления вероятностей. Они получены в условиях весьма частного случая – классической схемы, т. е. для пространства конечного числа N равновероятных элементарных событий. В этой схеме число событий, которым благоприятствуют ровно k исходов, равно , а общее число различных событий, следовательно, равно 2^N.

Весьма неожиданно, что все полученные формулы являются общими и в действительности сохраняют свою силу для любого пространства элементарных событий. Покажем это.

Понятие об аксиоматическом построении
теории вероятностей

Пусть дано пространство элементарных событий . Множество  событий A, B, C,  назовём полем событий, если

а);

б)A, BAB,AB,,.

Таким образом, введённые действия с событиями: сложение, умножение и переход к противоположному событию – не выводят нас из поля событий, поле событий замкнуто относительно этих операций.

Очевидно, также, что .

Примем следующие три аксиомы:

I. Любому событию A из поля событий  приведено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое вероятностью события A.

II. P()1: вероятность достоверного события равна единице.

III. Аксиома сложения. Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Если A₁, A₂,  , A_n – попарно несовместимые события, то

P(A₁A₂A_n)P(A_k).

Тройка (, , P()) называется вероятностным пространством.

Таким образом, поле событий  является областью определения вероятностной функции P(), при этом, как будет показано ниже (4), отрезок [0; 1] является областью её значений.

Все пятнадцать формул исчисления вероятностей оказываются следствием трёх только что введённых аксиом. Действительно:

1. P()1 по II аксиоме.

2. , , поэтому по III аксиоме: P()P()P(), откуда P()0.

В классической схеме были справедливы и обратные утверждения: если P(A)1, то событие A – достоверное; если P(A)0, то событие A – невозможное. В общей же схеме обратные утверждения, вообще говоря, ошибочны. Приходится вводить особые названия для событий единичной и нулевой вероятности: если P(A)1, то говорят, что событие A происходит почти наверное, если P(A)0, говорят, что событие A почти наверное не происходит. Пожалуй, именно это различие значительно усложняет строгую теорию вероятностей по сравнению с классическим случаем.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с		Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической... Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. М.: Айрис-пресс,...
	Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы самостоятельных работ Вид работы Треугольник Паскаля Подготовить доклад Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2011. 480с
	Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....		Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ
	Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е...
	Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика		Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....
	Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются		Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:...
	Тема урока: Повторение материала по теме "Элементы теории вероятностей"... Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай:  состоит из конечного числа n равновероятных событий		Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
	Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении

Школьные материалы