Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник
Скачать 2.66 Mb.
|
4. Теорема Пуассона. Теорема Пуассона устанавливает условия, при которых биномиальную случайную величину можно приближённо считать пуассоновской. Докажем сначала чисто аналитический факт: При любом фиксированном 0,любом фиксированном целомm0и при n: e. Действительно, [ ] [ ] e. Для достаточно больших n величина становится как угодно близкой к своему пределу. Обозначая p,np, можем записать приближённое равенство: pmqnm e, т. е. биномиальные вероятности можно считать пуассоновскими:B(n, p) (),причёмnp.Поскольку в точной формулировке m и фиксированы, а n, то можно рассчитывать на малую погрешность приближения при большом n, малом p и умеренном np. Математическая статистика ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В теории вероятностей о вероятностях, законах распределения, параметрах случайных величин говорится как о чём-то данном, известном. Но встаёт вопрос: откуда их взять? Как найти параметры хотя бы приближённо? Как проверить предположение о том, что некоторая случайная величина распределена, например, по нормальному закону? На эти и подобные им вопросы отвечает математическая статистика, причём информацию для ответов она берёт из наблюдений над случайными событиями и величинами. При этом наблюдения ведутся над реальными объектами и моделями, тогда как теория вероятностей изучает математические модели, в значительной степени идеализированные и абстрагированные. Соотношение между выводами математической теории и поведением реального мира приобретает уже не философский, а практический смысл. Можно сказать, что математическая статистика заведует связями теории вероятностей с внешним миром. Ниже мы будем рассматривать одну единственную статистическую модель: предполагается, что существует случайная величина X, которую можно наблюдать повторно n раз в независимых опытах. Результатом таких наблюдений оказываются n значений, которые X приняла в n экспериментах: (x1, x2, , xn), – так называемая выборка, n – объём выборки. На все вопросы о случайной величине X математическая статистика берётся отвечать по выборке. В каждом опыте мы наблюдаем одну и туже случайную величину X; все опыты по предположению независимы. Можно считать, что фактически мы наблюдаем n-мерную случайную величину (X1, X2, , Xn) с независимыми компонентами, распределёнными одинаково – по тому же закону, что и X. Выборка (x1, x2, , xn) есть наблюдённое значение случайной величины (X1, X2, , Xn), выборка – одно из её возможных значений; её можно представить точкой в n-мерном евклидовом пространстве. Всё множество точек, которые могут быть выборками, образует так называемое выборочное пространство. По сути дела выборка – элементарное событие, а выборочное пространство – пространство элементарных событий . Часто смотрят на выборку (x1, x2, , xn) как на случайную величину и не вводят особого обозначения (X1, X2, , Xn) для случайной величины. Если XN(a, ), то выборочным пространством оказывается всё евклидово пространство Rn. Если X(), то выборочное пространство совпадает с целочисленной решёткой главного координатного угла. Если XR(0, 1), то – единичный n-мерный куб. Пусть XF(x, ): F(x, ) – функция распределения случайной величины X. Тогда совместная функция распределения выборки: F(x1, x2, , xn) F(xi, ). Если X имеет плотность вероятности p(x, ), то совместная плотность вероятности выборки равна p(x1, x2, , xn) p(xi, ). Познакомимся с важнейшими задачами математической статистики и с их статистическими решениями. I. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА КАК ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ Пусть имеется событие A, вероятность которогоP(A)p– неизвестна, и мы хотим найти её хотя бы приблизительно. Из курса теории вероятностей ответ нам известен: хорошим приближением для вероятности является относительная частота события. Если в n независимых опытах событие A произошло m раз, тоP(A) .При этом: 1. В среднем мы не ошибаемся:M( )p. Это свойство оценки называется несмещённостью. 2. Дисперсия оценки как угодно мала при достаточно большом числе опытов:D( ) 0 при n. Дисперсия играет роль среднего квадрата ошибки. 3. Вероятность заметных отклонений относительной частоты от вероятности мала, поскольку по закону больших чисел Бернулли: p P{| p|}1 для 0. Это свойство оценки называется состоятельностью. Оно может быть усилено, поскольку по закону больших чисел Бореля: P{ p}1. Итак, относительная частота – несмещённая, состоятельная оценка для вероятности со сколь угодно малой среднеквадратической ошибкой. Решение I задачи, таким образом, нам известно, и оно послужит нам удобным образцом для более сложных задач. Разумеется, нужно понимать, что полученный ответ точно укладывается в рамки той единственной модели, которую мы взялись изучать в математической статистике. Можно считать, что мы имеем здесь дело с биномиальной случайной величиной X, а выборка состоит из одного наблюдения m. Либо можно считать, что мы имеем дело здесь со случайной величиной X 1, если событие A произошло, 0, если событие A не произошло. Очевидно, X – дискретная случайная величина с двумя возможными значениями 1 и 0, а вероятности этих значений p и q1p. Мы уже встречались с подобной величиной и выяснили, чтоMXp, DXpq. Соответственно выборка (x1, x2, , xn) состоит из m единиц и nm нулей, выборочное пространство состоит из вершин n-мерного единичного куба, и (x1x2+xn)= , так что ответ мы действительно получаем в терминах выборки: pP(A) (x1x2+xn)= = . II. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАК ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть функция распределения случайной величины X неизвестна. Обозначим еёF(x).Требуется хотя бы приблизительно её найти. Получим выборку(x1, x2, , xn)и по ней построим так называемую эмпирическую функцию распределения: Fn(x)= , x, гдеm(x)– число наблюдений в выборке, оказавшихся меньше x. Убедимся в том, что эмпирическая функция распределения – хорошее приближение для F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания, причём повторяющиеся наблюдения выпишем лишь один раз: получим возрастающую последовательностьy1y2<yr,называемую вариационным рядом; члены её называются порядковыми статистиками. Так,y1 xi– минимальная порядковая статистика – первый член вариационного ряда;yr xi– максимальная порядковая статистика – последний член вариационного ряда. Пусть частота значения yi равна mi. Тогда очевидно: Fn(x)= 0, если xy1, mi, если ykxyk1, k1, 2, , r1, 1, если xyr. Fn(x)= В частности, если все наблюдения различны (так будет, например, почти наверное для непрерывной случайной величины X), то вариационный ряд состоит из n порядковых статистик и 0, если xy1, , если ykxyk1, k1, 2, , n1, 1, если xyn. Очевидно, Fn(x) – ступенчатая неотрицательная монотонная функция, имеющая разрывы в точках yi, где она совершает скачки величины . Она обладает всеми свойствами функции распределения и задаёт закон распределения дискретной случайной величины с возможными значениями yi и вероятностями . Она и решает нашу задачу приближённого описания F(x). Действительно, рассмотрим событиеA{Xx}. Его вероятностьP(A)P{Xx}F(x),его абсолютная частотаmm(x),его относительная частота равнаFn(x),и мы свели рассматриваемую II задачу к I, ответ на которую мы уже знаем. Следовательно, для любого x эмпирическая функция распределенияFn(x)приближённо равна F(x), причём Fn(x) обладает следующими свойствами: 1.MFn(x)F(x), т. е. Fn(x) – несмещённая оценка F(x); 2.DFn(x) {F(x)[1F(x)]} 0; 3.Fn(x) F(x) P{|Fn(x)F(x)|}1, 0.И даже: P{Fn(x) F(x)}1 – состоятельность оценки Fn(x). Итак, эмпирическая функция распределенияFn(x)для любого x – несмещённая, состоятельная оценкаF(x)со сколь угодно малой среднеквадратической ошибкой. III. СРЕДНЕЕ ВЫБОРОЧНОЕ КАК ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ Требуется по выборке(x1, x2, , xn)оценить (т. е. приближённо найти) MX. Ответ нам уже известен: хорошим приближением для среднего значения случайной величины является среднее арифметическое наблюдений: MX xi. Очевидно, мы можем пользоваться теоремами о среднем арифметическом, применяя их к нашей выборке – последовательности одинаково распределённых независимых случайных величин. Будем предполагать, что X имеетMX a, иDX2. 1. В среднем мы не ошибаемся, поскольку a (имеет место несмещённость). 2. Среднеквадратическая ошибка приближения как угодно мала при n, поскольку 0. 3. подчиняется закону больших чисел Чебышёва: a,т. е. P{| a|}1, 0, следовательно имеет место состоятельность. В статистике принято называть средним выборочным. Таким образом, среднее выборочное – несмещённая состоятельная оценка для математического ожидания со сколь угодно малой дисперсией при достаточно большом объёме выборки. IV. ЗАДАЧА ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ Пусть XF(x, ). Аналитический вид функции F(x, ) известен, но значение параметра – неизвестно. Требуется: понаблюдав n раз X, найти хотя бы приближённо, т. е. требуется указать такую функцию от выборки (x1, x2, , xn), чтобы можно было считать её приближением для : (x1, x2, , xn). Такая функция называется точечной оценкой параметра . Следует учитывать, что в данной постановке задачи параметр может быть векторным – состоять из нескольких компонент; например, нормальный закон определяется двумя параметрами: a и . Предыдущие две задачи позволяют указать желательные свойства оценки: |
Похожие:
 | Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с |  | Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической... Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. М.: Айрис-пресс,... |
| Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Темы самостоятельных работ Вид работы Треугольник Паскаля Подготовить доклад Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2011. 480с |
| Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... | | Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ |
| Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е... |
| Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика | | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются | | Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:... |
| Тема урока: Повторение материала по теме "Элементы теории вероятностей"... Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай: состоит из конечного числа n равновероятных событий | | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении |
