Теория вероятностей и математическая статистика

Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет Экономики Программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика (прикладной бакалавриат) для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра по специальности 080110 «Банковское дело» Автор: к.ф.-м.н., доц. М.Н. Храмова Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры «Математические и статистические математической экономики и методы в экономике» эконометрики Председатель: Зав. кафедрой: _____________ Поспелов И.Г. ____________ Канторович Г.Г. «___» _____________ 2011 г. «___» _____________ 2011 г. Утверждена УС факультета Ученый секретарь: ________________ «___» _____________ 2011 г. Москва 2011 Пояснительная записка Автор: Храмова Марина Николаевна, к.ф.-м.н., доцент кафедры математической экономики и эконометрики Общие сведения об учебном курсе: Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» читается студентам первого года обучения прикладного бакалавриата специальности «Банковское дело» по направлению «Экономика» в рамках совместной образовательной программы Московской банковской школы Банка России и Факультета экономики НИУ ВШЭ во 2-м семестре. Курс является обязательным, количество зачетных единиц – 4,0. Общее количество часов, отводимое на изучение дисциплины – 132, в том числе: аудиторных часов – 66 (лекции – 30 часов; семинары – 36 часов), самостоятельная работа студентов – 66 часов. Рубежный контроль: 2 семестр – зачет. В течение семестра написание контрольных работ не предусмотрено учебным планом. Требования к студентам: Изучение курса предполагает, что студенты имеют базовые знания по высшей математике (разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление). Цель курса: Курс теории вероятностей и математической статистики является неотъемлемой частью подготовки экономистов (входит в федеральный компонент) и лежит в основе изучения последующих курсов, таких, как эконометрика, управление банковскими рисками, финансовая математика. Основной целью курса является формирование у студентов научного представления о вероятностно-статистических методах исследования случайных явлений в экономике. В результате теоретического изучения дисциплины студенты должны знать: основные понятия и теоремы теории вероятностей, законы распределения случайных величин, принципы оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным, методы проверки статистических гипотез для обоснованного принятия решений в условиях неопределенности и риска. В результате практических занятий студенты должны уметь: рассчитывать вероятности простейших событий, находить основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин; применять закон больших чисел для анализа массовых процессов и явлений в экономике; строить доверительные интервалы для основных параметров генеральной совокупности, проверять статистические гипотезы и проводить содержательную интерпретацию полученных результатов. Методика формирования результирующей оценки: Результирующая оценка складывается из следующих видов работ: ЛС – активность работы на лекциях и семинарах; ЭО – экспресс-опросы (теоретические и практические) в начале каждого семинара; ДЗ – выполнение текущих домашних заданий; ИЗ – итоговая зачетная контрольная работа в виде теста. Каждый из видов работ входит в результирующую оценку Z с определенным весом. Таким образом, формула оценки следующая: Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с. [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. – 328 с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. Дополнительная литература [4] Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1023 с. [5] Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL. М.: Форум, 2008. – 464 с. [6] Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. – 479 с. [7] Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002. – 405 с. [8] Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. М.: Форум, 2005. – 480 с. [9] Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Эксмо, 2008. [10] Сулицкий В.Н. Методы статистического анализа в управлении. М.: Дело, 2002. – 520 с. [11] Newbold P. Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4, 1995. Тематический план учебной дисциплины № Название раздела Всего часов Аудиторные часы Самостоя-тельная работа Лекции Семинары Раздел I Случайные события и их вероятности 40 8 12 20 1 Тема 1. Классификация событий. Алгебра событий. Элементы комбинаторики 13 3 4 6 2 Тема 2. Классическая вероятность. Основные теоремы теории вероятностей 12 2 4 6 3 Тема 3. Полная вероятность. Формулы Байеса 7 1 2 4 4 Тема 4. Повторение независимых испытаний 8 2 2 4 Раздел II Случайные величины 48 12 12 24 5 Тема 5. Классификация случайных величин. Закон распределения случайной величины 10 3 2 5 6 Тема 6. Числовые характеристики случайных величин 12 3 4 5 7 Тема 7. Основные законы распределения случайных величин. Особая роль нормального распределения 12 4 2 6 8 Тема 8. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 14 2 4 8 Раздел III Математическая статистика 44 10 12 22 9 Тема 9. Основные понятия математической статистики 7 1 2 4 10 Тема 10. Некоторые статистические распределения, необходимые в математической статистике 6 2 --- 4 11 Тема 11. Оценивание параметров генеральной совокупности 13 3 4 6 12 Тема 12. Статистическая проверка гипотез 18 4 6 8 ИТОГО: 132 30 36 66 Содержание программы Раздел I Случайные события и их вероятности Тема 1. Классификация событий. Алгебра событий. Элементы комбинаторики Случайное, достоверное, невозможное событие. Пространство элементарных событий. Несовместные и совместные события. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Элементы комбинаторики: сочетания размещения, перестановки. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 16 – 18, 24 – 28 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 2. Классическая вероятность. Основные теоремы теории вероятностей Классическое определение вероятности события. Геометрическая вероятность. Независимость событий. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 18 – 23, 28 – 33, 36 – 38 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 3. Полная вероятность. Формулы Байеса Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса (теорема Байеса). Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 38 – 56 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 4. Повторение независимых испытаний Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Основные задачи. Формула Бернулли, ее применение. Предельные теоремы в схеме Бернулли: нормальная аппроксимация биномиального распределения (локальная и интегральная теоремы Лапласа), пуассоновская аппроксимация биномиального распределения (теорема Пуассона). Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 68 – 88 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Раздел II Случайные величины Тема 5. Классификация случайных величин. Закон распределения случайной величины Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Свойства функции распределения. Интегральная функция распределения, функция плотности вероятностей, связь между ними. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 89 – 93, 106 – 110 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 6. Числовые характеристики случайных величин Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, начальные и центральные моменты k-го порядка, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 94 – 105, 118 – 133 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 7. Основные законы распределения случайных величин. Особая роль нормального распределения Дискретные распределения: биномиальное распределение; распределение Пуассона; геометрическое распределение; гипергеометрическое распределение. Непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное распределения, распределение Коши, распределение Симпсона. Нормальное распределение: функция плотности, вероятность попадания на заданный интервал, правило «трех сигм». Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 144 – 169 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 8. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 223 – 244 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Раздел III Математическая статистика Тема 9. Основные понятия математической статистики Генеральная совокупность, выборка. Репрезентативность выборки. Ошибки выборки. Точечные оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Дискретный и интервальный вариационные ряды, их построение. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 273 – 315 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 10. Некоторые статистические распределения, необходимые в математической статистике Хи-квадрат распределение Пирсона, t-распределение Стьюдента, F-распределение Фишера-Снедекора: определение, основные свойства. Нахождение вероятностей с использованием таблиц распределений Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 173 – 178 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 11. Оценивание параметров генеральной совокупности Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки. Построение доверительных интервалов для: математического ожидания; дисперсии; доли; разности математических ожиданий; разности долей. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 319 – 343 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Тема 12. Статистическая проверка гипотез Основная и альтернативная гипотезы. Уровень значимости, мощность критерия. Ошибки 1 и 2 рода. Одно- и двусторонняя критическая область. Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормальной генеральной совокупности; гипотеза о сравнении генеральных средних двух нормальных совокупностей. Проверка гипотез о генеральной дисперсии нормальной совокупности. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных совокупностей. Критерий Бартлетта, критерий Кохрана. Проверка гипотезы о вероятности в случае биномиального распределения. Проверка гипотезы об однородности ряда вероятностей. Непараметрические тесты: критерий Вилкоксона-Манна-Уитни, критерий Краскела-Уоллиса. Проверка гипотезы о независимости двух признаков, таблицы сопряженности. Базовая литература [1] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. с. 344 – 391 [2] Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: МФПА, 2011. с. [3] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005. с. Вопросы для самоподготовки студентов Случайные события, достоверные и невозможные события. Пространство элементарных событий. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Сочетания, размещения и перестановки без повторений. Алгебра событий: сумма и произведение событий. Противоположное данному событие. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей зависимых событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Их использование. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Бернулли, ее применение. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, условия их применимости. Закон редких событий: теорема Пуассона. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Ее числовые характеристики. Свойства математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. Непрерывная случайная величина: интегральная и дифференциальная функции распределения, их свойства, связь между ними. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Нахождение моды и медианы случайной величины. Понятие начальных и центральных моментов k-го порядка. Асимметрия и эксцесс. Биномиальное распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Пуассоновское распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Геометрическое распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Гипергеометрическое распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Равномерное распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Показательное (экспоненциальное) распределение: определение, числовые характеристики (с выводом). Распределение Коши. Распределение Симпсона (равнобедренного треугольника). Нормальное распределение, его роль в теории вероятностей. Плотность вероятностей нормального распределения. Числовые характеристики нормального распределения. Функция Лапласа. Нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм». Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. Ее смысл. Задачи математической статистики. Выборочная и генеральная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот. Гистограмма относительных частот. Несмещенные, эффективные и состоятельные статистические оценки. Их свойства. Анализ смещенности выборочной средней и выборочной дисперсии. Метод моментов и метод максимального правдоподобия для нахождения оценок. Задание и свойства хи-квадрат распределения Пирсона. Задание и свойства t-распределения Стьюдента. Задание и свойства F-распределения Фишера-Снедекора. Точечная и интервальная оценки. Понятие доверительного интервала. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения. Доверительный интервал для теоретической вероятности в случае биномиального распределения. Доверительный интервал для теоретической дисперсии. Статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Уровень значимости. Проверка гипотезы о значении генеральной средней. Проверка гипотезы о значении дисперсии. Проверка гипотезы о сравнении средних. Проверка гипотезы о сравнении дисперсий. Проверка гипотезы о доле. Непараметрические тесты, условия их применения. Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни, критерий Краскела-Уоллиса. Понятие таблицы сопряженности. Проверка гипотезы о независимости двух признаков. Примеры задач для проведения экспресс-опросов Четыре посетителя театра сдали свои пальто в гардероб и получили номерки, но после этого гардеробщица перепутала пальто и повесила их случайным образом. Какова вероятность того, что: а) каждый человек получит обратно именно свое пальто; б) только три человека получат свои пальто? Не умеющий еще читать ребенок играет с карточками, на которых написаны буквы слова ТРАПЕЦИЯ. Ребенок извлекает по одной пять карточек и раскладывает слева направо. Какова вероятность того, что в итоге получится слово РАЦИЯ? Написано три письма трем разным адресатам и к ним подписаны три конверта. Письма случайным образом разложены по конвертам. Какова вероятность того, что по назначению: 1) не попадет ни одно письмо, 2) попадет ровно одно письмо, 3) попадет ровно два письма? В первом ящике 15 белых шаров и 25 черных; во втором – 10 белых и 15 черных. Из каждого ящика наудачу берут по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) шары окажутся черными; 2) шары окажутся одного цвета; 3) хотя бы один шар будет белым. Три стрелка стреляют по мишени. Известно, что стрелок А попадает в цель с вероятностью 0,8, стрелок В – с вероятностью 0,7 и стрелок С – с вероятностью 0,6. Все три стрелка делают одновременно залп по мишени, в результате чего 2 пули попадают в цель. Найти вероятность того, что стрелок С попал в цель. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует. В прокате имеется 10 телевизоров, для которых вероятность безотказной работы в течение некоторого срока 0,9 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что два случайно взятых телевизора будут работать исправно в течение указанного срока. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет шестерка. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех бросаний? Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы вероятность того, что герб выпадет 3 раза, равнялась 0,25? В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что из четырех точек, брошенных наугад в данный круг, только одна попадет внутрь квадрата? Каково наиболее вероятное число точек, попавших в квадрат? В четырех опытах, проводимых по схеме Бернулли, вероятность хотя бы одного успеха равна 0,5904. Что более вероятно в этих четырех опытах: достижение ровно двух или ровно трех успехов? Случайный прохожий заходит на рынок с вероятностью 0,2. Можно ли надеяться, что с вероятностью 0,95 не менее 10 прохожих из 100 зайдут на рынок? Найти такое число «k», чтобы с вероятностью, приблизительно равной 0,7,число выпадений герба при 4000 бросаниях монеты было заключено между «k» и 3000. В новом микрорайоне поставлено 500 кодовых замков на входные двери домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,002. Найти вероятность того, что за месяц откажут четыре замка. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Случайные величины Х1 и Х2 независимы и имеют одинаковые законы распределения. Найти вероятность события . Найти условную вероятность Хi 0 1 2 3 Р 0,25 0,25 0,25 0,25 Случайная величина X задана функцией плотности вероятностей . Найти параметр А, функцию распределения F(x), моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина Х хотя бы один раз попадет в интервал (3;5). Может ли случайная величина Х иметь биномиальное распределение вероятностей, если: а) ; б) ? Найти вероятность , если случайная величина Х распределена по геометрическому закону и . Известно, что для равномерно распределенной случайной величины, заданной на интервале (a; b), . Найти границы a; b. Длина изготовляемой детали является нормально распределенной случайной величиной со средним значением a =100 мм и средним квадратическим отклонением 2 мм. Каких деталей окажется в партии больше – тех, у которых длина превосходит 103 мм или тех, у которых она заключается в пределах от 101 до 102 мм? Месячный доход семей в регионе можно рассматривать как случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами а=20 и σ=5 (тыс. руб.). Определить: 1) интервал, содержащий практически все возможные значения месячного дохода семьи; 2) долю семей, месячный доход которых превышает 30 тыс. руб. По выборке из 25 наблюдений найдена выборочная средняя . Построить 97% доверительный интервал для математического ожидания, если выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с дисперсией . Случайные величины X, Y, Z независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти вероятность . По данным выборочного обследования 300 человек в некотором регионе, 75 из опрошенных имеют доход, не превышающий 15 тыс. руб. Можно ли на 5%-ном уровне значимости говорить о том, что доля населения с доходами не выше 15 тыс. руб. в целом по региону не превышает 30%? регионе не более 25%? Ученые считают, что новое лекарство способно принести пользу примерно половине всех людей, которые страдают некоторым заболеванием крови. При оценке теоретической доли этих людей, которым лекарство принесет пользу, был получен доверительный интервал шириной 0,06 при уровне доверия . Какой при этом использовался объем выборки? Примерный вариант зачетной контрольной работы Контрольная работа рассчитана на 160 минут, состоит из 15 заданий. В первой и во второй частях предлагается из приведенных вариантов ответов выбрать верный. Задания этих частей отличаются по уровню сложности: первая часть более простая, вторая – несколько сложнее. Третья часть работы содержит два задания, здесь необходимо привести развернутое решение, обосновав метод решения задачи и дав содержательную интерпретацию полученным результатам. Максимально возможная сумма баллов за тест равна 100. Для получения зачета необходимо набрать не менее 40 баллов. ___________________________________________________________________________ Совместная образовательная программа Московской банковской школы Банка России и НИУ ВШЭ Зачетная контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике Вариант ДЕМО Дата

Похожие:

	Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....		Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются
	Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и тео­рия вероятностей» являются		Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
	Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е...		Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с
	Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика		Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....
	Программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Рабочая программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Теория вероятностей и математическая статистика Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай:  состоит из конечного числа n равновероятных событий		Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21....
	Учебно-методический комплекс теория вероятностей и математическая статистика Цели: образовательная – ознакомление обучающихся с основами развития пищевой продукции, спроса на продукцию и услуги оп		Ноу впо «институт международных экономических отношений» Кафедра... Математический анализ”, “Теория вероятностей и математическая статистика”, “Линейная алгебра”. Данная дисциплина является предшествующей...
	Рабочая программа дисциплины теория вероятностей и математическая... Данный приказ в течение 5 дней с момента его подписания		Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая статистика... Математическая статистика и теория вероятности [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: гаоу впо то «тгамэуп». 2013. – 22 с