Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник

Скачать 2.66 Mb.

Название	Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник
страница	2/12
Дата публикации	01.10.2013
Размер	2.66 Mb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

3. A и A. Поэтому по аксиомам III и II: P(A)P()P()1. Отсюда: P()1P(A).

4. По аксиоме I:P(A)0.Так какP(A)P()P()1,и, ввиду аксиомы I:P()0,тоP(A)1.Итак, для любого события A:0P(A)1.

5. ЕслиAB,тоBAB,и слагаемые здесь несовместимы. По аксиоме III:P(B)P(A)P(B);по I аксиоме:P(B)0;поэтомуP(B)P(A).

6. Для любых двух событий A и B:P(AB)P(A).

Действительно:AABAи по аксиомам III и I:

P(A)P(AB)P(A)P(AB).

7. ФормулаP(AB)P(A)P(B)в случае, когдаAB,верна по аксиоме III.

8. Докажем теорему сложения для двух событий:

P(AB)P(A)P(B)P(AB).

Очевидно,

ABAB,
BABB,

причём в обоих равенствах справа слагаемые несовместимы. По III аксиоме:

P(AB)P(A)P(B),
P(B)P(AB)P(B).

Вычитая почленно нижнее равенство из верхнего, получим теорему сложения.

9. Теорема сложения для n событий

P(A₁A₂A_n)(1)^k^¹P(A_j₁A_j₂A_j_k)

является прямым следствием теоремы сложения для двух событий.

10. Формула для условной вероятности

P(A|B)

является определением условной вероятности в предположении, что вероятность P(B) ненулевая:P(B)0.Вероятность P(A|B) показывает, какая часть вероятности P(B) приходится на долю события A.

11. Прямым следствием определения условной вероятности оказывается формула:

P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A).

12. Совершенно так же, как и в классической схеме, на основе последних формул строится понятие независимости событий: события A и B независимы в том и только в том случае, когдаP(AB)P(A)P(B).

13. Теорема умножения для n событий

P(A₁A₂A_n)P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)P(A_n|A₁A₂A_n_₁)

является прямым следствием теоремы умножения для двух событий.

14, 15. Выводы формулы полной вероятности и формул вероятностей гипотез воспроизводятся без изменений: для любого события B и любого разбиения пространства  (A₁A₂A_n):

P(B)P(A_k)P(B|A_k),

P(A_k|B), k1, 2,  , n.

В более полных, чем наш, курсах теории вероятностей приходится рассматривать также и суммы бесконечного числа событий и, соответственно, требовать, чтобы эта операция не выводила из поля событий: для бесконечной последовательности попарно несовместимых событий A₁, A₂,  , A_n,  требуют, чтобы A_n. Такие поля событий называются борелевскими полями или сигма-алгебрами. Приходится для борелевского поля событий усиливать аксиому III, распространяя её и на бесконечные суммы попарно несовместимых событий:

P(A_n)P(A_n).

Любопытно отметить, что в изложенном аксиоматическом построении теории вероятностей не нашлось места такому понятию, как событие "произошло" или "не произошло". Теория вероятностей оказывается частью теории меры, причём характерными свойствами вероятностной меры оказываются её неотрицательность:P(A)0и нормированность на единицу:P()1.Просматривая выведенные свойства вероятностной функции P(), можно заметить, что она ведёт себя подобно массе: единичная "масса вероятности" распределяется в пространстве . Если нас интересует вероятность некоторого события A, то мы должны подсчитать, сколько этой массы досталось множеству A.

Одномерные случайные величины

Пусть имеется вероятностное пространство (, , P()) Определим на  числовую функцию XX(): каждому элементарному событию  приведено в соответствие вещественное число X(). Такая функция называется случайной величиной. Мы ставим опыт, получаем элементарное событие , смотрим, какое число X()x было приведено ему в соответствие, и говорим: в опыте случайная величина X приняла значение x.

Рассмотрим простейший случай: число возможных значений случайной величины X конечно или счётно: x₁,  , x_k,  Такую случайную величину называют дискретной. Законом распределения дискретной случайной величины называют совокупность вероятностей её возможных значений:p_kP{Xx_k}. Будем предполагать, что события {Xx_k} содержатся в поле событий , и тем самым вероятности p_k определены.

Очевидно, одно и только одно из своих значений случайная величина обязательно примет. Поэтому выполняется равенство

p_k1,

называемое иногда условием нормировки в дискретном случае.

Задать случайную величину значит задать закон её распределения: т. е. указать её возможные значения и распределение вероятностей между ними.

В общем случае общепринятый способ задания случайной величины даёт так называемая функция распределения:

F(x)P{Xx}.

Она указывает, какая вероятность досталась не отдельным точкам, а полуоси левее точки x, не включая саму точку x. Приходится дополнительно предполагать, что событие {Xx}, в противном случае функция распределения была бы не определена.

Дискретную случайную величину можно задавать её функцией распределения. Нетрудно сообразить, что это будет ступенчатая функция с разрывами в точках x_k и скачками p_k в этих точках:

F(x)P{Xx}P{Xx_k}p_k,

где суммирование ведётся по всем тем возможным значениям X, которые оказались меньше x.

Если существует такая функция p(x), которая позволяет представить функцию распределения интегралом:

F(x)p(x)dx,

то случайная величина X называется непрерывной, а p(x) – плотностью вероятности случайной величины X.

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины является непрерывной функцией (отсюда и название случайной величины), и, более того, – дифференцируемой функцией: F^(x)p(x).

В более общем случае случайная величина X может принадлежать к смешанному типу: вероятность распределяется как между отдельными точками (дискретная составляющая), так и на интервалах (непрерывная составляющая). Если отдельным точкам x_k достались вероятности p_k, а остальная вероятность пошла на непрерывное распределение с линейной плотностью p(x), то:

F(x)P{Xx}P{Xx_k}p(x)dx.

Если суммарная вероятность, доставшаяся точкам x_k случайной величины X смешанного типа, равна A(p_kA),а на непрерывное распределение X уходит вероятность B,(p(x)dxB),то AB1.

Можно считать, что случайная величина X является смесью двух случайных величин: дискретной Y с возможными значениями x_k и вероятностями p_k и непрерывной Z с плотностью p(x). Функция распределения X имеет вид: F(x)AF_Y(x)BF_Z(x).

Вообще, если имеются случайные величины X_i, i1, 2,  , nс функциями распределения F_X_i(x), то смесью этих случайных величин называют случайную величину с функцией распределения

F(x)A_iF_X_i(x),

где числа A_i удовлетворяют условиям:0A_i1,A₁A₂A_n1,и играют роль весовых множителей, они регулируют вклад в смесь отдельных составляющих. Функция F(x), очевидно, обладает необходимыми свойствами функции распределения и может задавать случайную величину.

Основные свойства функции распределения F(x)
и плотности вероятности p(x)

1. Считаем, что случайная величина X или совсем не принимает значений  или почти наверное их не принимает: P{X}P{X}0. При этом предположении:

F(x)F()0, F(x)F()1.

2. F(x) – монотонно-неубывающая функция:

x₁x₂F(x₁)F(x₂).

Действительно: {Xx₂}{Xx₁}{x₁Xx₂}. Справа стоит сумма двух несовместимых событий. Поэтому:

P{Xx₂}P{Xx₁}P{x₁Xx₂},

или:

F(x₂)F(x₁)P{x₁Xx₂}

и неравенство F(x₂)F(x₁) следует из неотрицательности вероятности P{x₁X
x₂}.

3. В доказательстве второго свойства мы выразили через функцию распределения вероятность попадания случайной величины X в полуоткрытый интервал:

P{x₁Xx₂}F(x₂)F(x₁).

4. Перепишем последнее равенство, взяв x₁x, x₂x, >0:

P{xXx}F(x)F(x).

Перейдём здесь к пределу при 0:P{Xx}F(x)F(x)F(x0)F(x). Таким образом, для любой случайной величины X вероятность любого конкретного значения равна скачкуF(x0)F(x)её функции распределения в точке x. Во всех точках непрерывности F(x) этот скачок и, следовательно, вероятность P{Xx}, равны нулю. Для непрерывных случайных величин все точки таковы, и ни одной из них не досталось положительной вероятности.

Если мы наблюдаем непрерывную случайную величину и получили значение Xx, то мы получили пример событияA{Xx},вероятность которого равна нулю, которое, однако, произошло, а событие{Xx},вероятность которого рана единице, не произошло. Ясно, что повторить появление события A почти наверное не удастся.

Так как функция распределения определена равенством F(x)P{Xx}, где под знаком вероятности стоит строгое неравенство, то вероятность, возможно сосредоточенная в точке x, не учитывается, поэтому F(x) – функция, непрерывная слева:

F(x)F(x0)F(x).

5. Теперь нетрудно выразить через F(x) вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал:

P{x₁Xx₂}F(x₂0)F(x₁),
P{x₁Xx₂}F(x₂)F(x₁0),
P{x₁Xx₂}F(x₂0)F(x₁0).

6. Плотность вероятности p(x) неотрицательна. Это следует из монотонного неубывания F(x).

7. Переходя к пределу приxв равенствеF(x)p(x)dx,и учитывая, чтоF()1,получим условие нормировки для непрерывной случайной величины:

p(x)dx1.

Геометрический смысл этого равенства: площадь под кривой плотности вероятности всегда равна единице.

8. Общее правило вычисления вероятностей для дискретной и непрерывной случайной величины: если A –– некоторое числовое множество на вещественной оси, то

P{XA}P{Xx_k},
P{XA}p(x)dx

и ясно, что в непрерывном случае вероятность событий {XA} определена лишь для таких множеств A , для которых имеет смысл интеграл p(x)dx.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

Похожие:

	Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с		Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической... Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. М.: Айрис-пресс,...
	Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы самостоятельных работ Вид работы Треугольник Паскаля Подготовить доклад Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2011. 480с
	Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....		Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ
	Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е...
	Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика		Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....
	Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются		Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:...
	Тема урока: Повторение материала по теме "Элементы теории вероятностей"... Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай:  состоит из конечного числа n равновероятных событий		Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
	Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении

Школьные материалы