Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник

Скачать 2.66 Mb.

Название	Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник
страница	3/12
Дата публикации	01.10.2013
Размер	2.66 Mb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

9. Мы считаем, что задавая произвольную функцию F(x) с обязательными свойствами функции распределения: монотонное неубывание, непрерывность слева, F()0, F()1, – мы задаём некоторую случайную величину. Если F(x) – ступенчатая функция, то она задаёт дискретную случайную величину: точки скачков – её возможные значения, величины скачков – их вероятности.

Дискретную случайную величину можно задать таблицей её возможных значений и их вероятностей:x_k, p_k, k1, 2,  , n,лишь бы былиp_k0 и p_k1.

Непрерывную случайную величину можно задать плотностью вероятности p(x). В качестве таковой может служить любая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки: p(x)dx1.

Основные случайные величины

Любой сходящийся интеграл от неотрицательной функции порождает непрерывное распределение. Именно, если(x)dxI,то роль плотности играет

p(x)

(x), если xA,
0, если xA.

Любая конечная сумма или сходящийся ряд с неотрицательными слагаемыми порождает дискретное распределение. Именно: если q_kS, то роль дискретных вероятностей играют p_kq_k, а в качестве x_k можно взять любые числа; наиболее простой выбор: x_kk.

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Равномерное распределение. Его порождает интеграл dxba.

p(x)

, если xa, b,
0, если xa, b.

Этот закон распределения будем обозначать R(a, b); числа a и b называются параметрами распределения. Тот факт, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке a, b, будем обозначать следующим образом: XR(a, b).

В частности, плотность случайной величины XR(0, 1) имеет наиболее простой вид:

p(x)

1, если x0, 1,
0, если x0, 1.

Функция распределения такой случайной величины равна:

F(x)

0, если x0,
x, если 0x1,
1, если x0.

Если мы наугад выбираем точку на отрезке 0, 1, то её абсцисса x является конкретным значением случайной величины XR(0, 1). Слово ''наугад" имеет в теории вероятностей терминологическое значение и говорится с целью подчеркнуть, что соответствующая непрерывная случайная величина распределена равномерно, или дискретная случайная величина имеет конечное число N возможных равновероятных значений.

2. Экспоненциальное распределение.

Его порождает интеграл e^^^xdx, 0.

p(x)

Плотность вероятности, очевидно, равна

e^^^x, если x0,
0, если x0,

F(x)

а функция распределения:

1e^^^x, если x0,
0, если x0.

То обстоятельство, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону, будем записывать так: XExp(),  называется параметром распределения (0).

3. Распределение Коши. Его порождает интеграл dx.

Плотность вероятности:p(x), x.

4. Гамма-распределение. Его порождает интеграл, который определяет гамма-функцию:()e^^tt^^¹dt, 0.Выполним в этом интеграле замену переменной, положим:tx, 0:

()^e^^^xx^^¹dx.

p(x)

Соответствующая плотность вероятности равна:

x^^¹e^^^x, если x0,
0, если x0.

Будем обозначать это распределение (, ),  и  – параметры распределения (0, 0).

5. Нормальное распределение. Его порождает интеграл Пуассона:

Idx.

Докажем это равенство. Интеграл бы легко вычислялся, если бы подынтегральное выражение содержало множитель x. Такой множитель можно ввести под знак интеграла с помощью следующего остроумного приёма.

Запишем квадрат интеграла в следующем виде:

I²dxdy,

а теперь представим произведение интегралов как двойной интеграл:

I²dxdy.

Перейдём в этом интеграле к полярным координатам. Положим: xrcos, y
rsin, и ещё вспомним, что абсолютная величина якобиана при переходе от декартовых координат к полярным равна r. Заметим, наконец, что областью интегрирования двойного интеграла является вся плоскость, так что границы изменения переменных r и , соответственно, таковы: r[0; ), [0; 2). Поэтому:

I²drdr.

Теперь легко убедиться, что rdr1, а потомуI²2.

Распределение с плотностью

p(x), x(; )

называется стандартным нормальным законом и обозначается N(0, 1).

Ему соответствует функция распределения:

F₀(x)dx.

Обычно принято табулировать интеграл

(x)dx,

называемый интегралом ошибок или интегралом Лапласа. Функция распределения стандартного нормального закона просто выражается через этот интеграл:

F₀(x)(x).

Если в интеграл Пуассона ввести параметры масштаба и сдвига с помощью замены переменной, заменив x на , то он примет вид:

dx1.

Случайную величину с плотностью вероятности

p(x), x(; ),

называют нормально распределённой случайной величиной или просто нормальной. Соответствующий ей закон распределения обозначают N(a, ), a и  – параметры распределения (0, a – любое вещественное число).

График p(x) представлен на рис. 1.

p(x)

O

x

a

Рис. 1.

a – точка максимума p(x), его значение равно . Так как площадь под кривой всегда равна единице, то чем меньше , тем больше вероятности сосредоточивается вблизи максимума. Таким образом, устанавливаем вероятностный смысл параметров нормального закона: областью наиболее вероятных значений нормальной случайной величины является окрестность точки a, а  указывает на степень концентрации вероятности в окрестности точки a – чем меньше , тем менее вероятны заметные отклонения X от a.

Функцию распределения произвольного нормального закона легко выразить через интеграл Лапласа. Для этого нужно в выражении для функции распределения

F(x)dx

выполнить замену переменной, положив y:

F(x)dy().

6. Геометрическое распределение. Его порождает геометрическая прогрессия:q^k^¹, 0q1.

Соответствующая дискретная случайная величина имеет возможные значенияx_kk, k1, 2, с вероятностямиp_k(1q)q^k^¹.Обозначение геометрического распределения: G(q), q – параметр распределения (0q1).

7. Пуассоновское распределение. Его порождает разложение в ряд показательной функции:e^, 0,которому отвечает дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значенияx_kk, k0, 1, 2, с вероятностямиp_k.

Будем обозначать это распределение через (),  – параметр распределения (0).

8. Биномиальное распределение. Его порождает формула бинома Ньютона:(pq)ⁿp^mqⁿ^^m.

Чтобы сумма вероятностей распределения p_k равнялась единице и все они были положительными, возьмём p0, q0, pq1, т. е. q1p.Возможными значениями будем считатьx_kk, k0, 1, 2,  , n,а их вероятностями –p_kp^kqⁿ^^k. Обозначим это распределение B(n, p), n и p – параметры распределения (0p1, nN, т. е. n – натуральное число).

Биномиальная случайная величина появляется, например, в схеме Бернулли, называемой также схемой последовательных независимых испытаний. Состоит она в следующем: осуществляется некоторый комплекс условий, при котором мы имеем одно и только одно из двух событий: либо "успех", либо "неудачу", причём вероятность "успеха" равна p, вероятность "неудачи" равна q
1p; эта попытка независимым образом повторяется n раз. Считая опытом все n попыток, можем считать элементарным событием опыта цепочку длины n, полученных в результате опыта "успехов" (У) и "неудач" (Н): УУУННУ
НУ.

Определим случайную величину X, задав её как число успехов в одном опыте. Событию {Xk} благоприятствуют те элементарные события, которые содержат "успех" ровно k раз, а "неудачу" – остальныеnkраз. Число таких благоприятствующих событию {Xk} элементарных событий, равно, очевидно, ,а вероятности всех их одинаковы и по теореме умножения для независимых событий равны p^kqⁿ^^k. Окончательно получаем: P{Xk}p^kqⁿ^^k, а возможными значениями случайной величины X оказываются числаx_kk, k
0, 1, 2,  n.Таким образом, число успехов X в схеме Бернулли – биномиальная случайная величина: XB(n, p).

Пусть имеется вероятностное пространство (, , P()) и рассматривается некоторое событие A. Обозначим его вероятность P(A)p. Пусть испытание независимым образом повторяется n раз, причём событие A в этих n последовательных попытках наблюдалось k раз. Число k называется абсолютной частотой события A. Оно является конкретным значением случайной величины X, определённой на серии из n независимых испытаний. Ничто не мешает объявить событие A "успехом", а событие – "неудачей". Это превращает последовательность из n испытаний в схему Бернулли, а абсолютная частота события A оказывается распределённой по закону Бернулли.

Геометрическое распределение также просто связано со схемой Бернулли: будем повторять попытку до появления первого "успеха". Элементарным событием в таком опыте является цепочка, у которой "успех" расположен только на последнем (k-м) месте, а на всех предыдущих местах (а их k1) – только "неудачи": ННННННУ. Свяжем с этим опытом случайную величину X – общее число попыток в опыте. Очевидно, значениями этой случайной величины могут бытьx_kk, k1, 2, 3,  ,а их вероятностиp_kq^k^¹p,что и совпадает с геометрическим распределением G(p).

Двумерные случайные веЛИчины

Двумерной случайной величиной называется пара случайных величин, определённых на вероятностном пространстве (, , P()). Результат наблюдения двумерной случайной величины (X, Y) можно изобразить точкой (x, y) на плоскости. Закон распределения вероятностей между возможными значениями двумерной случайной величины даётся совместной функцией распределения:

F(x, y)P{Xx, Yy}

y

показывающей, какая вероятностная масса лежит внутри заштрихованного квадранта (рис. 2).

x

y

x

O

Рис. 2.

Запятая в записи вероятности P{Xx, Yy} заменяет знак умножения между событиями {Xx} и {Yy}.

Выделим два простейших случая: непрерывный и дискретный.

Двумерная случайная величина (X, Y) называется непрерывной, если существует такая функция p(x, y), что

F(x, y)p(x, y)dxdy.

Очевидно,p(x, y)F(x, y).

Функция p(x, y) называется совместной плотностью вероятности; она играет роль поверхностной плотности распределения единичной вероятностной массы на двумерной плоскости. Вероятность того, что (X, Y) попадёт в область A на двумерной плоскости, вычисляется так:

P(A)p(x, y)dxdy,

и эта вероятность определена для таких событий A, для которых определён интеграл справа.

В дискретном случае возможные значения (X, Y) можно представить как упорядоченные пары чисел (x_i, y_j) и закон распределения давать в виде таблицы:p_i_jP{Xx_i, Yy_j}.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X, Y), то можно найти также законы распределения компонент X и Y.

В общем случае:

F_X(x)P{Xx}P{Xx, Y}F(x, ).

Аналогично:F_Y(y)F(, y).

В непрерывном случае:

p_X(x)F_X(x)F(x, )dxp(x, y)dyp(x, y)dy.

Аналогично:

p_Y(y)p(x, y)dx.

В дискретном случае:

p_iP{Xx_i}P{Xx_i, Y}p_i_j.

Аналогично:

q_jP{Yy_j}p_i_j.

Обратная задача – восстановить закон распределения двумерной случайной величины по законам распределения компонент – решается для независимых компонент.

Естественно называть случайные величины X и Y независимыми, если события {Xx} и {Yy} независимы, т. е., если

F(x, y)P{Xx, Yy}P{Xx}P{Yy}F_X(x)F_Y(y).

Если F(x, y) дифференцируема, то

p(x, y)F(x, y)F_X(x)F_Y(y)F_X(x)F_Y(y)p_X(x)p_Y(y).

В дискретном случае:

p_i_jP{Xx_i, Yy_j}P{Xx_i}P{Yy_j}p_iq_j.

Совершенно аналогично вводятся n-мерные случайные величины.

Например, пусть независимые случайные величины X_i, i1, 2,  , n распределены по стандартному нормальному закону:X_i~N(0, 1), i1, 2,  , n.Их совместная плотность вероятности равна:

p(x₁, x₂,  , x_n)exp(x_i²).

Выполним невырожденное линейное преобразование и введём новые случайные величины

Y_ka_i_jX_i, k1, 2,  , n.

Это преобразование можно переписать в матричном виде:YAX,гдеX^T
(X₁, X₂,  , X_n), Y^T(Y₁, Y₂,  , Y_n), A||a_i_j||, DetA0. Так как преобразование невырождено, то оно обратимо, так чтоXA^¹Y.В евклидовом пространстве переменных y₁, y₂,  , y_n совместная плотность вероятности вектора Y равна

q(y₁, y₂,  , y_n)exp(Y^TY),

где A^TA – матрица квадратичной формы в показателе экспоненты, а |DetA|J – якобиан преобразования.

Обратно, если совместная плотность вероятности n-мерного вектора равна

q(y₁, y₂,  , y_n)Cexp(Y^TY),

где  – положительно определённая матрица (что нужно для сходимости интеграла по всему пространству), а C – константа, то существует такая матрица A, чтоA^TA, С|DetA|и преобразованиеYAX, (XA^¹Y)приводит к независимым компонентамX_i~N(0, 1), i1, 2,  , n.

Можно сделать ещё одно обобщение, введя параметры масштаба и сдвига по всем осям.

n-мерной нормальной плотностью называется

p(x₁, x₂,  , x_n)exp(a_i_k(x_ib_i)(x_kb_k)),

где a_i_k, b_i – параметры n-мерного нормального вектора, A||a_i_j|| – положительно определённая матрица.

^² – распределение

Пусть X₁, X₂,  , X_n – независимые (в совокупности) нормально распределённые случайные величины:X_i~N(0, 1), i1, 2,  , n.

Определим сумму их квадратов:

^_n²X_i²

и найдём закон распределения случайной величины ^_n²:

F_ⁿ₂(x)exp(x_i²)dx₁dx₂dx_n, x0.

Принимая во внимание, что подынтегральная функция принимает постоянное значение на любой n-мерной сфере (x₁²x₂²x_n²r²), проведём интегрирование по сферическим слоям. Обозначим через V_n(r) объём n-мерной сферы радиуса r, а через S_n(r) – площадь её поверхности.

Отметим, что:

S_n(r)V_n(r),V_n(r)S_n(r)dx.

В частности, в двумерном и трёхмерном случаях имеем:

V₂(r)r², S₂(r)2r, V₃(r)r³, S₃(r)4r².

Ясно, что можно считать

V_n(r)C_nrⁿ, S_n(r)nC_nrⁿ^¹,

где C_n – константа, которую мы найдём ниже.

Продолжим теперь преобразование функции распределения ^_n²:

F_ⁿ₂(x)exp(r²)nC_nrⁿ^¹dr.

Мы превратили n-кратный интеграл в обычный однократный.

Из последнего равенства найдём плотность вероятности:

p_ⁿ₂(x)F_ⁿ₂(x)exp()p_ⁿ₂(x), x0.

Если x0, то ясно, что p_ⁿ₂(x)0.

Прежде, чем перейти к вычислению константы C_n, напомним определение и свойства гамма-функции, которыми нам ещё не раз придётся пользоваться.

^–^–_^––

Определение и свойства гамма-функции

Гамма-функция определена на положительной полуоси равенством:

(x)e^^tt^x^¹dt, x0.

Свойства гамма-функции:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12

	Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с		Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической... Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. М.: Айрис-пресс,...
	Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы самостоятельных работ Вид работы Треугольник Паскаля Подготовить доклад Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2011. 480с
	Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....		Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ
	Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ		Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е...
	Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика		Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений....
	Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются		Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:...
	Тема урока: Повторение материала по теме "Элементы теории вероятностей"... Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай:  состоит из конечного числа n равновероятных событий		Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
	Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении

Лекции по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей источник

Похожие: