Конспект урока по теме «Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах» (Алгебра и начала анализа 11 класс) Цель урока

План-конспект урока по теме «Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах» (Алгебра и начала анализа 11 класс) Цель урока: Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств; Подготовка к ЕГЭ. Задачи: Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств; Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения; Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения; Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях. Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы (1 группа); Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения. План урока: Организационный момент 2 мин. Устная фронтальная работа 9 мин. Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин. Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин. Итог урока 3 мин. Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин. Ход урока: I . Устная фронтальная работа учащихся. Найдите область определения функции у = log 0.5(3-2x) Ответ: ( -∞; 1,5). Укажите и исправьте ошибки в решении log 2 х 4 + log 2 х 2 = 6 Решение: 4 log 2 х + 2 log 2 х = 6, 6 log 2 х = 6, log 2 х = 1, х = 2. Ошибка: переходы log 2 х 2 = 2 log 2 х и log 2 х 4 = 4 log 2 х могут привести (и ведут) к потере корней. Правильно: log 2 х 4 + log 2 х 2 = 6, 4 log 2 │х│ + 2 log 2 │х│ = 6, 6 log 2 │х│ = 6, log 2 │х│ = 1, │х│ = 2, Ответ: ± 2. Решите неравенство log 1/5( 1/5(х- 1))>1. Решение: log 1/5 1/5 + log 1/5(х- 1)>1, log 1/5(х- 1)>0, log 1/5(х- 1) > log 1/51, функция у = log 1/5t – убывающая, значит, х- 1< 1, х- 1> 0; х < 2, х > 1. Ответ: (1;2). Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды). 4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств? При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось. Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)g(x), при этом f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием. Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. II. Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных. Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель. Пример 1. Решите уравнение 4-lg x = 3√ lg x. Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть √ lg x= t, ≥0, тогда данное уравнение примет вид t2 + 3t – 4 = 0, откуда t1=1, t2= - 4 ( посторонний корень). Значит √ lg x= 1, lg x= 1, x= 10 Ответ: 10. Пример 2. Решите уравнение 10* log 4х х + 21* log 16х х – 3* log х/2 х 2 = 0. Решение: х >0, х≠ 1/4, х≠ 1/16, х≠ 2. Переходя к логарифмам по основанию 2, получим 10* log 2 х / log 2 4х + 21* log 2 х / log 2 16х – 3* log 2 х 2 / log 2 х/2 = 0, 10* log 2 х / (2 +log 2 х) + 21* log 2 х / (4 + log 2 х) – 3*2* log 2 х / log 2 (х-1) = 0, log 2 х (10/ (2 +log 2 х) + 21 / (4 + log 2 х) – 6 / log 2 (х-1)) = 0, Это уравнение равносильно совокупности уравнений log 2 х = 0, 10/ (2 +log 2 х) + 21 / (4 + log 2 х) – 6 / log 2 (х-1) = 0 Решением первого уравнения является x= 1. Для решения второго уравнения сделаем замену t = log 2 х. После преобразования получим: (25t2 + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0, 25t2 + 15t – 30=0, (2+ t)(4+ t)(t-1) ≠ 0; t=2, t= - 2,6; log 2 х =2, log 2 х = - 13/5; Ответ: 1; 4; 1/ 45√8. Пример 3. Решите неравенство 2 log 3х-6 9 - log 3 (х-2) ≥ 1. Решение: перепишем неравенство в виде: 2 log 3 9 / log 3 3(х-2) - log 3 (х-2) ≥ 1, 4 / (log 3 (х-2) + 1) - log 3 (х-2) ≥ 1. Пусть а = log 3 (х-2), тогда 1/(1+а) – а ≥ 1, (4 – (а + 1)2) / (1 + а) ≥ 0, ((а + 3)(1 - а)) / (1 + а) ≥ 0, ((а + 3)(а - 1)) / (1 + а) ≤ 0 Воспользуемся методом интервалов, получим а ≤ - 3 - 1 < a ≤ 1. log 3 (х-2) ≤ - 3 - 1 < log 3 (х-2) ≤ 1. y= log 3 t – возрастающая функция, 0 < х - 2 ≤ 1/27 1/3 < х - 2 ≤ 3. Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5]. Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств. III. Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору). 1 группа: занимаются самостоятельно на оценку. 2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран. Задания для учащихся 1 группы. 1. Решите уравнение log 4 х 2 + log х6 64 = 2. 2. Решите неравенство log2 4 (2х) + 3log 2 х < 4. Решение: 1) х≠ 1 2 log 4 ‌| х ‌| + 1/6 log | х |64 = 2, 2 log 4 ‌| х ‌| + 6*1/6 log | х |2 = 2, 2*1/2 log 2 ‌| х ‌| + 1/ log 2 ‌| х ‌| = 2, Пусть log 2 ‌| х ‌| = t, t + 1/t = 2, t2 - 2t + 1=0, (t - 1)2 =0, t = 1. log 2 ‌| х ‌| = 1, ‌| х ‌| = 2. Ответ: ±2. 2) (1/2 log 2 (2х))² + 3log 2 х < 4, (1/2+1/2 log 2 х)² + 3log 2 х < 4, Пусть log 2 ‌х ‌= t, (1/2 +1/2t)²+3t < 4, 1/4+1/2t+1/4t²+3t<4, 1/4 t²+7/2t-15/4<0, t²+14t-15<0, t²+14t-15=0 D1=64, t1=-15, t2=1 (t+15)(t-1)<0 -15 -15< log 2 ‌х <1 log 2 ‌х <1, log 2 ‌х >-15; y= log 2 ‌b – возрастающая функция, 0 < х <2, ‌х >2-15 Ответ: (1/215;2). (1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого. Углубленное изучение алгебры и математического анализа 2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс) Задания для учащихся 2 группы 1. Решите уравнение 1/2* log2 5 х + log 25 ‌х – 1=0 2. Решите неравенство log2 0,5 х < 1. Решение . 1) ‌х >0, пусть log 5 ‌х ‌= t, t2 + t - 2=0, D=9, t1=2, t2= - 1 log 5 х =2, log 5 х = - 1 Ответ: 25; - 1/5. 2) Пусть log2 0,5 х = а, ‌х >0 а2 < 1, -1< a <1, -1< log2 0,5 х <1, log 0,5 х <1, log 0,5 х >- 1 функция у= log 0,5 t – убывающая, х >0,5 х <1 Ответ: (0,5; 1). IV. 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения. Объявляются оценки. V. Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера. 1) 3lg2 (х - 1) - 10lg (х - 1) + 3 = 0, 2) log 2х+1 (5+8 х - 4 х²) + log 5-2х (1+4 х + 4 х²) = 4, 3) log 2 х + log х² 8 = 2,5, 4) 4 log2 4 х - 8 log 4 ‌х – 5>0, 5) log 2 ‌√х - 2 log2 1/4 х + 1>0 Решение: 1) ‌х >0, пусть lg (х - 1) ‌= t, 3t2 - 10t + 3=0, D=25-9=16, t1=3, t2= 1/3 а) lg (х - 1) ‌=3, х - 1 ‌=1000, х ‌=1001 1001>1 (верно) б) lg (х - 1) ‌=1/3, х - 1 ‌=101/3, х ‌=101/3 +1 3√10 +1>1 (верно) Ответ: 1001; 3√10 +1. 2) log 2х+1 (5-2 х)(2 х+1) + log 5-2х (2 х + 1)² = 4, log 2х+1 (5-2 х) + 2/ log 2х+1 (5-2 х)= 3, пусть у= log 2х+1 (5-2 х), тогда 2 х+1>0, 2 х+1≠1, 5-2 х>0, 5-2 х≠1. y+2/y=3, y1=1, y2= 2 a) log 2х+1 (5-2 х)=2 5-2 х = (2 х + 1)² х 1=1/2, х 2= - 2 -2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0 б) log 2х+1 (5-2 х)=1 5-2 х = 2 х + 1 х 3=1 Ответ: 1/2; 1. 3) х>0, х≠ ±1. log 2 х + 3/2log х 2 = 2,5, 1/log х 2 + 3/2log х 2 = 2,5. Пусть у = log х 2, тогда 3/2 у² - 5/2у + 1 = 0, 3 у² - 5у + 2 = 0, D=1, у1=1, у2= 2/3 а) log х 2=1 х ‌=2 б) log х 2=2/3 х ‌=√8 Ответ: 2; √8. 4) х>0, пусть log 4 ‌х = t, тогда 4t2 - 8t – 5>0 4t2 - 8t – 5=0 D=16+20=36, t1=5/2, t2=- ½ 4(t-5/2)(t+1/2)>0 t< -1/2 t> 5/2 a) log 4 ‌х < -1/2 log 4 ‌х< log 4 ‌1/2 y= log 4 ‌n - возрастающая функция, х>0, х< 1/2 0< х <1/2 б) log 4 ‌х > 5/2 log 4 ‌х> log 4 32 y= log 4 ‌n - возрастающая функция, х>32 Ответ: (0;1/2)U(32; +∞) 5) х>0, 1/2log 2 ‌х - 2 log22-2 х + 1>0, 1/2log 2 ‌х – 2*1/4 log22 х + 1>0, log 2 ‌х – log22 х + 2>0 Пусть log 2 ‌х = у, тогда - у² + у + 2 > 0 у² - у - 2 < 0 у² - у - 2 = 0 D=9, у1=2, у2= -1 (y-2)(y+1)<0 -1 y<2, y>-1 log 2 ‌х< log 2 ‌4, log 2 ‌х> log 2 ½ ‌х<4 ‌х>1/2 1/2< х<4 Ответ: (1/2; 4).

Похожие:

	Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения» Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение определения логарифма и его свойств. Умение применять эти свойства...		Урока: Систематизировать знания по теме «Свойства функций» Учебник: Ш. А. Алимов и др., Алгебра и начала анализа 10-11, Москва, Просвещение, 2002
	Урок по теме «Производная в математике и физике» в 11 классе. Место... «Алгебра и начала анализа», а также на занятиях по подготовке к Единому государственному экзамену по физике и математике. Важно показать...		Конспект урока алгебры и начал анализа "Преобразование тригонометрических выражений" (10 класс) Если в программе используются переменные, то все переменные должны быть описаны в разделе описания переменных
	План-конспект урока квадратные уравнения. Волк Снежана Валерьевна г. Кострома моу сош №1 Цель урока: продолжить формирование знаний об уравнениях, совершенствовать навыки решения уравнений		Конспект урока алгебры и начала анализа «Поговорим о производной».... Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей выполнения работы
	Сценарий урока по предмету «алгебра и начала анализа» на тему «свойства показательной функции» На интерактивной доске в программе ActivStudioProfessionalEdition заранее заготовлены упражнения		Урок игра «Математический тир» по теме: «Решение логарифмических уравнений» Цель урока: обобщить знания по теме, сформировать умения решать логарифмические уравнения
	Рабочая программа по алгебре (120 часов) для учащихся 7 класса А. Г. Мордковича по алгебре к учебнику «Алгебра 7 класс»: Программы. Математика. 5 – 6 классы. Алгебра. 7 – 9 классы. Алгебра и начала...		Календарно-тематическое планирование «Алгебра и начала анализа» 11 класс
	Конспект открытого урока на тему: «Логарифмическая функция и ее свойства» ( 11 класс) Цели урока В этом году Вы познакомились с логарифмической функцией, научились строить её график, познакомились с её свойствами, которые применяете...		Технологическая карта урока Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений...
	Конспект урока математики по теме: «Решение задач» 4 класс Цель урока: дать представление о мифе, его природе; приоткрыть глубину идей и красоту образов древней мифологии		Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В., Шабунин М. И. «Алгебра... На базе учебников : Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В., Шабунин М. И. «Алгебра и начала математического анализа 10». Профильный...
	Тема урока: Восстание Спартака. 5 класс Цель урока Цель урока: Подвести учащихся к пониманию причин начала восстания Спартака, причин его поражения, познако­мить с героической личностью...		Конспект урока по алгебре в 7 классе по теме Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр....