Проектная работа
на тему «Квадратичная функция»
номинация: среднесрочный педагогический проект
по предмету математика (8 класс)
Работа выполнена:
Симановой Н.С., учителем математики II квал. категории МБОУ ООШ Елантовской ср.шк.
Татариновой Е.А., учителем математики МБОУ СОШ №31 с углубленным изучением отдельных предметов г. Нижнекамска
Нижнекамск 2013 г. Содержание
Введение…………………………………………………………………………………3
1. Методологические основы изучения темы
« Квадратичная функция »……………………………………………………………4
1.1. Цели и задачи изучения темы……………….…………………………….……..4
1.2. Требования к знаниям и умениям…………………………………………………4
1.3. Формы контроля……………………………………………………………………4
1.4. Культурно-исторический фон изучения темы……………………………………4
2. Теоретические основы построение квадратичной функции. …………………..…6
3. Графическое решение уравнений…………..……………………….………….….8
4. Проектирование урока по требованиям
новых образовательных стандартов…………..……..………………………….……10
4.1. План-конспект урока «Квадратичная функция»………….…………………….10
4.2. Структура и ход урока «Квадратичная функция» ……………...………………12
4.3. Технологическая карта урока «Квадратичная функция» ……………..….........14
5.1. Лист контроля урока №1…………………………………………………………17
5.2. Лист контроля урока №2………………………………………………………....18
5.3. Электронная презентация урока «Квадратичная функция»………...………….19
Заключение …………………………………………………………..……...……...…22
Список использованной литературы ……………………………..………….………23
Введение
Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить межпредметные связи.
В школе учащиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций, как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.
Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.
Целью проектной работы является обзор приложений квадратичной функции к решению различных задач школьного курса математики и составление соответствующих методических рекомендаций.
Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:
изучение психолого-педагогической, методической и учебной литературы;
подбор задачного материала;
выделение типовых задач в каждом разделе и составление решения к ним;
составление методических комментариев к решениям задач;
построение и чтение графика квадратичной функции;
решение уравнений и их систем;
решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.
К каждому разделу подобраны задачи, некоторые из них представлены с решениями и методическими рекомендациями.
1. Методологические основы изучения темы
«Квадратичная функция»
1.1. Цели и задачи изучения темы
Целью проекта является:
разработка методики изучения темы «Квадратичная функция» с учетом требований новых ФГОС основного общего образования;
развитие творческих способностей учащихся;
развитие логического мышления;
развитие мыслительной деятельности.
Задачами проекта являются:
выделение универсальных и специальных предметных учебных действий, формируемых в процессе изучения темы;
разработка плана-конспекта и технологической карты двух последовательных уроков по теме с выделением формируемых УУД;
исследование свойств квадратичной функции, особенностей расположения графиков на координатной плоскости;
изучение алгоритмов построения графиков функций на координатной плоскости;
выявление от чего зависит расположение графиков данных функций на координатной плоскости;
научить быстро и правильно строить графики квадратичных функций на координатной плоскости.
1.2. Требования к знаниям и умениям
В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие учебные действия:
-научить выделять и формулировать познавательную цель
- определять квадратичную функцию
- уметь строить и исследовать квадратичную функцию
- уметь решать уравнения и системы графическим способом;
- научиться определять уравнение параболы по рисунку
- определять наименьшее и наибольшее значения функции
1.3. Формы контроля
При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы контроля:
– промежуточные и итоговые тесты;
– выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме.
1.4. Культурно-исторический фон изучения темы
Появление понятия функции
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r2.
Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, ... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется стечением времени. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. Мировоззренческой основой теории решения уравнений должно быть понимание того факта, что уравнения являются математической моделью реальных процессов и явлений действительности.
Оптические свойства параболических зеркал
По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники.
Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно.
Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг». 
2. Теоретические основы построения квадратичной фукции
Квадратная функция y=ax²+bx+c
Функция y = f(x) называется квадратичной, если ее значения могут быть вычислены с помощью формулы f(x) = ax2 + bx + c. Квадратичная функция определена на всей числовой оси Оx. Областью определения квадратной функции является множество R. На рисунке изображен частный вид функции – график функции у=х²: (график )
Основные свойства квадратичной функции
Нули функции. Обращение в нуль квадратичной функции зависит от значения дискриминанта D = b2 – 4ac квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Если D > 0, то квадратичная функция обращается в нуль в двух точках x1 и x2.
Если D < 0, то квадратичная функция в нуль не обращается.
Если D = 0, то квадратичная функция обращается в нуль в одной точке x =-b/2a.
Знаки квадратичной функции. Нули функции делят область определения квадратной функции на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Знак функции зависит от значения дискриминанта D (определяет число корней уравнения – нулей функции) и значения коэффициента при x2. Таким образом, возможные следующие знаки квадратичной функции на всей области определения
Если D > 0 и x1, x2 – нули функции (x1 < x2), то таких промежутков будет три:
(–∞ ; x1), (x1; x2), (x2; +∞ ).
Если D < 0, то нулей у функции нет, и на всей числовой оси функция сохраняет постоянный знак, зависящий от коэффициента при x2.
Если D = 0, то нуль у функции один (x = -b/2a.), числовая ось разбивается на два промежутка (–∞ ; .) и (-b/2a; +∞. ), однако знак функции в этих промежутках один и тот же, зависящий от коэффициента при x2.
График функции y = x2 называется параболой
Свойства функции у = х2
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс
3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞)
4. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у, т.е. если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, график симметричен относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует
Некоторые свойства парабол:
1. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус.
2. Касательная в любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Эти свойства парабол используют при конструировании солнечных печей, телескопов, параболических антенн.
Параболические антенны можно увидеть около любого аэродрома – они используются для того, чтобы собрать в одну точку все сигналы радиолокатора, отраженные от самолета. В прожекторах, наоборот, свет, исходящий из фокуса параболического зеркала, после отражения образует параллельный пучок и не рассеивается. По этой причине форму параболоида вращения имеют и автомобильные фары.
Схема построения графика квадратичной функции.
Графиком функции у = ах2 + вх + с является парабола.
1. ООФ: х R
2. Направление ветвей параболы:
Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх
Если а < 0, то ветви параболы направлены вниз
3. Координаты вершины параболы:
х0 =  , у0 = у(х0). (х0; у0) – вершина параболы.
4. МЗФ:
Если а > 0, то у ≥ у0
Если а < 0, то у ≤ у0
5. Ось симметрии: х = х0
6. Координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
ОУ: х = 0, то у(0) = а · 02 + в · 0 + с = с, (0; с)
ОХ: у = 0, то ах2 + вх + с = 0, далее решить квадратное уравнение; (х1; 0), (х2; 0), где х1, х2 – корни уравнения
7. Дополнительные точки:
-
Параболу строим по пяти точкам.
3.Графическое решение уравнений
Графическое представление функций позволяет приближённо решить любое уравнение с одним неизвестным и систему двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y, мы рассматриваем каждое из уравнений как функциональную зависимость между переменными x и y и строим графики этих двух функций. Координаты точек пересечения этих графиков дают нам искомые значения неизвестных x и y ( т.e. решение этой системы уравнений ).
  
В соответствии с графиками координаты точки пересечения
K приближённо равны: x = 1.25, y = 2.5. Точное решение
этой системы уравнений:
После построения графиков находим абсциссы точек
пересечения A и B: x1 » 2.25, x2 » -1.1. Точные значения
корней этого уравнения:
Относительная погрешность графического решения в этом
примере ~3.5 %.
Чтобы решить графически уравнение с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:
f ( x ) = 0 ,
и построить график функции y = f ( x ). Абсциссы точек пересечения графика с осью Х будут корнями этого уравнения ( нулями этой функции ).
  
По этому графику находим нули функции: x1 » 2.25, x2 » -1.1
4. Проектирование урока по требованиям
новых образовательных стандартов
4.1. План-конспект урока
«Квадратичная функция»
ФИО, место работы, должность: Татаринова Елена Александровна, учитель математики МБОУ СОШ №31 с углубленным изучением отдельных предметов г. Нижнекамск РТ
Симанова Надежда Сергеевна, учитель математики и физики II квал. категории МБОУ Елантовская основная общеобразовательная школа РТ
Предмет: Алгебра
Класс: 8
|
