Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 254.92 Kb.
|
 МБОУ «Гимназия №33 г.Краснодара» ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ Учитель математики Платонкина Валентина П₣етровна Одной из важных побудительных сил учения является мотив достижения успеха. По словам Сухомлинского «интерес к учению есть только мам, где есть вдохновение, рождающееся от успеха». Нужно на каждом уроке, для каждого ребёнка создавать ситуацию успеха, сущность которой заключается в том, что каждый ученик работает на уровне своих возможностей, позволяющих ему справляться с предъявленными к нему требованиями. Посильные трудности вырабатывают у учащихся положительную мотивацию учения, позволяют превратить учение из принудительного в добровольное. Большую помощь, в этом плане, мне оказывает «педагогика сотрудничества», автором которой являются учителя-новаторы Шаталов, Лысенкова, Амонашвили, Ильин, Волков. Основные её идеи:
Очень важную роль в создании мотивации учения имеет система оценивания знаний учащихся. Если два школьника имеют оценку «три», это не означает, что они имеют одинаковую подготовку, а лишь то, что у них есть значительные (и причём, разные) пробелы по сравнению с «пятёрочным» уровнем. Система оценки работает по принципу «вычитания», тогда как, на мой взгляд, педагогически правильнее работать по принципу «сложения»: отметка должна выставляться за достижение определённого уровня подготовки. Только в этом случае обучение окажется цепью непрерывных маленьких побед школьника, а не долгой цепью поражений в борьбе за достижение «пятёрочного» уровня. Для достижения желаемого результата учитель должен создать на уроке такую ситуацию, использовать такие методы и средства обучения, которые были бы интересны ученику, располагали бы его к совместной деятельности, активизировали бы его учение. Только там, где царят творческий труд, взаимное доверие, учителю легко работать, а ученику радостно жить. В своей работе я стараюсь подходить к процессу обучения именно с этой позиции. В данной работе я хочу предложить методику преподавания темы: «Производная и её применение». При переходе из среднего звена обучения в старшее, т.е. начиная изучать «алгебру и начала анализа» в 10 классе учащиеся испытывают достаточно большие трудности при изучении основного понятия математического – «производная». Целью данной методической разработки является оказание помощи учащимся в преодолении этих трудностей, наглядное, доступное и достаточно научное изложение понятия «производная». Опыт показывает, что относительно нетрудно научить учащихся формулировать определение производной, вычислять производную, находить производную функции в точке, пользуясь основными правилами дифференцирования. Не вызывает особых затруднений и применение производной к исследованию функции. Гораздо труднее добиться того, чтобы учащиеся научились видеть производную в различных её проявлениях в физике, химии, биологии и т. д. Изучение темы начинаю с вводной беседы и даю крупным блоком. Вводная беседа Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счётчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с движением автомобиля, как и с движением любой материальной точки, связаны величины – путь S и скорость V, которые являются функциями времени t. Ясно, что путь и скорость связаны между собой количественными характеристиками. В конце XVII века английский учёный Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Это открытие стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками многих процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Построенная Ньютоном модель механического движения остаётся самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и её свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: Производная – это скорость, это скорость изменения функции. В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения  =f'(х)Также определён предел функции при х→0 т.е. y=  Поэтому необходимо ввести понятие предела на нескольких простых задачах. Пример 1: Дан квадрат со стороной 1. Разделим его пополам, затем половину пополам, затем четверть пополам, и т.д., получим последовательность чисел  ;  ;  ;  ;  и т.д. Вычислить предел, к которому стремится сумма всех членов этой последовательности.  Данная последовательность сходящаяся, ₣  её члены составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Эти понятия и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии изучаем в 9 классе. По чертежу легко видеть, что сумма чисел + + + + … в целом даёт 1, т.к. если заштриховать все получившиеся прямоугольники, то получится весь квадрат, площадь которого равна 1. Значит предел, к которому стремится сумма всех данных дробей, при неограниченном увеличении знаменателя есть число 1.Пример 2: Пусть последовательность задана формулой  =2n +1. Определить к какому числу стремятся члены данной последовательности при неограниченном увеличении n. n ϵ N.Чтобы решить эту задачу, нужно вычислить  . Такого предела не существует, т.к. при неограниченном увеличении n = +1 тоже неограниченно увеличивается. Эта последовательность расходящаяся.Вернёмся к движению. Представим себе любой движущийся предмет материальной точкой. Пусть данная материальная точка движется по прямой по определённому закону, выражающему зависимость Sкак функцию от времени. Рассмотрим отрезок времени [  ]. Определим среднюю скорость движения материальной точки на данном отрезке как отношение пройденного пути к продолжительности движения: Для определения скорости движения точки в момент времени t ( её в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмём отрезок времени [t;  ], вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнём уменьшать отрезок [t; ] приближая  t. Значение средней скорости будет стремиться к некоторому числу, т.е. к пределу, который называется мгновенной скоростью в момент времени t.  =  Наряду с И.Ньютоном основные законы математического анализа открыл немецкий математик Г.Лейбниц, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой. Пусть дана некоторая кривая и точка P на ней. Возьмём на этой кривой другую точку  , и проведём прямую PР1, которую называют секущей. Заставим стремиться точку Р1 к точке Р по данной кривой. Тогда положение секущей будет меняться. Как только точка Р1 займёт положение точки Р, секущая займёт положение касательной к данной прямой в точке Р. Т.о. предельное положение секущей при стремлении точки Р1 к точке Р будет касательная к кривой в точке Р. Переведём описанное построение на язык формул. Пусть данная кривая является графиком некоторой функции y=f(x). Точка Р имеет координаты (а; f(а)). Точка Р1 имеет координаты (х1;f( x1)). РР1 – секущая. РК- касательная к графику функции в точке Р.  Угол φ– угол наклона секущей к положительному направлению оси ОХ. Угол α – угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде записывается как у = kх + b, где k – угловой коэффициент к прямой равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. Из Δ РМР, имеем k=tg φ=  Т.к. касательная- это предельное положение секущей, то  =tgα= = Итак,  = = ; =lim tgφ= Мы видим, что две различные задачи привели в процессе решения к одному и тому же результату или, как чаще говорят в математике, к одной и той же математической модели – пределу разностного отношения функции и аргумента при условии, что разность аргументов стремится к нулю. Решение многих задач сводится к необходимости осуществления предельного перехода в выражении вида  при стремлении  к x. Этот предельный переход носит название дифференцирования функции, а сам предел отношения – производной функции. Дифференцирование, или нахождение производной функции – это новая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, в геометрии – вычисление углового коэффициента касательной. Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная приближённо будет равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход – стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость превратится в мгновенную, а секущая – в касательную, и мы вычислим производную. Итак, при вычислении производной функции мы совершаем предельный переход. В чём его суть? При определении функции мы имеем дело с переменными величинами. Пусть y = f(x) – функция от аргумента х. Рассмотрим, как ведёт себя функция f(x) при приближении х к некоторому числу a. При х→а, f(x)→f(a). Иными словами  =f(a).Пусть заданы функции (¹) f(x)=3+  и f(x)= (²)Предельный переход для (¹) и (²) функций при х→1 определим следующим образом:  = =3+ =4= = =Если при х→  , f(x)→f( ) т.е.  =f(), то говорят, что функция непрерывна в точке , а значит в этой точке она имеет производную. График этой функции плавная, непрерывная кривая линия.Определение производной функции. Перейдём непосредственно к определению производной функции. Пусть задана функция у = f(x). При сравнении значения этой функции в некоторой фиксированной точке со значениями функции в различных точках х, лежащих в окрестности , удобно выражать разность f(x)-f() через разность х-.Разность х- называется приращением независимой переменной или приращением аргумента в точке х0 и обозначается Δх. Т.о. Δх=х-х0 (¹). Из (¹) следует, что х=х0+Δх (²).Говорят также, что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение Δх. Вследствие этого значение функции f тоже изменилось. f(x)=f(x0+Δx), тогда Δf=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) (³) Δf называется приращением функции в точке х0. Из (³) следует, что f(x)=f(x0+Δx)=f(x0)+Δf (4) Δf называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δу. Механический смысл производной – скорость изменения функции в точке. Рассмотрим более подробно геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции у = f(x). Прямая ℓ - секущая. Пусть значение функции в точке х0 равно f(x0). Зададим приращение аргумента Δх и получим точку х=х0+Δх. Значение функции в точке х=х0+Δх будет равно f(x0+Δx). α угол наклона секущей к положительному направлению оси ОХ.  Рассмотрим треугольник ΔАСВ, катет АС которого равен приращению аргумента Δх, а катет ВС – приращению функции Δf или Δу. tgα=  ; tgα= = ; tgα = k т.е. угловой коэффициент секущей.Заставим Δх→0, иными словами будем уменьшать длину отрезка х0х. Тогда точка В будет двигаться по графику в сторону точки А и, когда Δх=0, точка В займёт положение точки А. А отношение  будет стремиться к некоторому числу.Отношение = называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+Δх. = =f '(x) (5)Другими словами, предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю, есть мгновенная скорость изменения функции в точке или производная. Производная функции f в точке х0 обозначается f '(х0). Геометрический смысл производной заключается в следующем: существование производной непрерывной функции в некоторой точке х0, равносильно существованию касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой х0. Угловой коэффициент этой касательной равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси ОХ и равно значению производной функции в точке х0. k=tgα=f '(х0) (6) Алгоритм нахождения производной
Δf=f(x+Δx)-f(x)
Примеры применения алгоритма: 1). Найти у', если у=kx+b. 1). х – фиксированное; f(x)=kx+b 2). Δx; x+Δx; f(x+Δx)=k(x+Δx)+b 3). Δf=f(x+Δx)-f(x)=(k(x+Δx)+b)-(kx+b))=kΔx 4). = =k5).  = =kИтак, (kx+b)'=k 2). Найти у', если у=х2 1). х – фиксированное, f(x)=x2 2). Δх; х+Δх; f(x+Δx)=(x+Δx)2 3). Δf=(x+Δx)2-x2=2xΔx+(  )24).  = =2x+Δx5). = =2xИтак, (х2)'=2х. 3). Найти у', если у=  .1). х – фиксированное, х≠0; f(x)=  2). Δх; х+Δх; f(x+Δx)=  3). Δf= - = -  4). = -  = -  5). = -  = - Итак, ( )'= -  С помощью приведённого алгоритма выводятся все формулы и правила дифференцирования. Далее даю полную таблицу формул нахождения производной и правил дифференцирования, показываю примеры вычисления производных и отрабатываю навык вычисления производной с использованием разнообразных видов учебной деятельности. Приучаю к двухшаговому алгоритму – сначала применить необходимое правило, а затем необходимые формулы. Следующий важный момент темы – применение производной к решению задач о касательной, к исследованию функции, к отысканию наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке, к решению задач на оптимизацию. После рассмотрения соответствующего теоретического материала , который не представляет особой сложности, применяю алгоритмический метод обучения. Даю алгоритм по каждому приложению производной в готовом виде. Он должен быть достаточно кратким, т.к. краткие указания легко запоминаются, свободно воспроизводятся по памяти, ограничиваясь лишь беглым взглядом на них. В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки. Одним из существенных моментов в организации обучения является контроль за знаниями и умениями учащихся. Применяю как традиционные формы контроля знаний учащихся, так и не традиционные. Оптимальное сочетание этих форм ведёт к усвоению темы на обязательном уровне математической подготовки, а также своевременному выявлению и ликвидации возможных пробелов. Нетрадиционные формы контроля знаний учащихся I. Тест-обучающая программа Программа включает 100 заданий трёх уровней. Первый уровень требует знания определений, формул, правил и т.д.; второй уровень – умения применять их на практике; третий уровень – задания, выходящие за пределы обязательного обучения. Уровень сложности задания определяется цифрами 1,2 или 3, стоящими в скобках после номера задания. Для тестирования предлагаются 10 вариантов. Варианты 1-5 соответствуют первому уровню, в который входят, как правило, вопросы обязательного уровня обучения; варианты 6-10 – второму уровню, который требует более глубокого знания изучаемого материала. Для каждого варианта определён входящий номер задания (Приложение 1). Из трёх предложенных ответов нужно выбрать один, правильный на взгляд ученика – он же является номером следующего задания, которое нужно решать. Таким образом, для решения одного варианта нужно последовательно решить пять задач. На выходе варианта учащийся получает трёхзначный цифровой шифр (Приложение 2), который в соответствии с таблицей шифров и определяет оценку учащегося: «5» - если он решил правильно все пять заданий; «4» - если он допустил одну ошибку; «3» - если он допустил две ошибки; «2» - если он допустил три и более ошибок. Учителю практически не требуется время на проверку – достаточно посмотреть на конечный шифр и определить её по таблице шифров. Выдав на руки учащимся коды правильных ответов (Приложение 3), учитель может предложить учащимся работать в режиме самоконтроля или в том случае, если учащегося не устраивает конечный результат, он, как правило, самостоятельно стремится ещё раз «пройти» по цепочке заданий. карточки тест-обучающего контроля и приложения прилагаются. II. Урок-смотр знаний по теме: «Производная и её применение». По своей структуре это обобщающий урок с приглашением учителей, администрации школы, учащихся других классов. Польза таких уроков состоит в том, что:
Заранее учащимся даются вопросы для подготовки и самоконтроля. В начале урока выбирается жюри. Из числа учащихся назначается координатор, который помогает учителю. Вопросы для подготовки и самоконтроля.
Ход урока:
Работа выполняется на листочках, собирается координатором и передаётся в жюри. Жюри заносит оценки за диктант и другие задания в специальную ведомость (табл.1) Таблица 1.
Задачи – картинки Задания и ответы к ним готовятся на доске. Каждый учащийся получает три сигнальные карточки с цифрами 1, 2, 3. После обдумывания вопроса учащиеся по команде учителя поднимают сигнальные карточки с номером правильного ответа. За каждый правильный ответ жюри начисляет 1 балл. Рис.1 Рис.2  Рис.3 Рис.4  Задания конкурса: 1). Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке А? (рис.1) Ответы: 1). F '(x)=0 2). F '(x)<0 3). F '(x)>0 2). Какое значение принимает производная функции у=f(x) в точке B? (рис.2) Ответы: 1). F '(x)=0 2). F '(x)<0 3). F '(x)>0 3). Назовите промежуток убывания функции (рис.3) Ответы: 1). 0<х<3 2). 0<х<2 3). Х>2 4). Назовите промежуток возрастания функции (рис. 4) Ответы: 1). Х<0 2). Х>0 3). - ∞<х+∞ Рис.5  5). Назовите точки, в которых производная функции равна 0. (рис 5) Ответы: 1).  ; 1 2). 0; 1 3). 0; ; 1III. «Верно – не верно!» Каждому учащемуся выдаётся одна карточка чёрного цвета, а другая – белого. При утвердительном ответе поднимается белая карточка. при отрицательном – чёрная.
Каждый верный ответ – 1 балл. IV. Теоретический конкурс «Применение производной». Задание: рассказать о различных случаях применения производной. V. Подведение итогов урока. Жюри подсчитывает число баллов, набранных каждым учащимся. Учитель подводит анализ и выставляет оценки в журнал. III. Зачёт на рейтинговой основе Зачёт на рейтинговой основе опирается на уровневую дифференциацию и является формой тематического контроля знаний. За неделю до зачёта учитель даёт определённое число вопросов по теме, причём каждый вопрос имеет свою «цену». Есть вопросы простые – значит «дешёвые» от 1 до 7 баллов, но есть «дорогие», требующие усилия мысли и памяти – их «цена» от 10 до 20 баллов. В зависимости от уровня интеллекта класса определяется число баллов, которые необходимо набрать для оценки «3», «4», «5». Учителю всё равно из каких ответов будет набрана учеником необходимая сумма баллов. Либо много простых вопросов, но формирующих определённые математические понятия, либо другой путь, показывающий умение логически мыслить, анализировать, делать обобщения и т.д. Учащиеся, оценив свои возможности, осуществляют добровольный выбор. Начинается зачёт с решения задачи или примера, которые по степени трудности сгруппированы в карточки с красным, зелёным и синим индексами.
Решив задачу, ученик получает первые несколько баллов, и начинает отвечать на выбранные им вопросы. Если задача не решена или решена не совсем верно – выставляются 0 баллов или 1,2 балла. Задачи заранее не оглашаются, учащиеся с ними знакомятся только на зачёте. Результаты ответов, т.е. число набранных баллов заносятся в табель оценки ответов и по итогам выставляется соответствующая отметка в журнал. Зачёт может проводиться как на уроке, так и во внеурочное время. Зачёт на рейтинговой основе формирует сознательное отношение к учению, даёт возможность обобщения и систематизации знаний, способствует более прочному их усвоению, необходимому для общего развития и дальнейшего обучения. Оборудование зачёта: таблицы, плакаты, опорные конспекты и т.д. Тема зачёта: «Производная и её применение». Вопросы к зачёту:
Карточки с заданиями прилагаются. Зачёт проводится по группам в составе не более 10 человек. Для организации помощи учителю выбираются консультанты из числа учащихся, успешно сдавших данный зачёт, которые могут наряду с учителем вести опрос. «5» - 40 баллов; «4» - 35 баллов; «3» - 30 баллов. Критерий оценок в баллах может быть увеличен или снижен по усмотрению учителя.
Примечание: Зачет может проводиться по любой изучаемой теме в классах с любым уровнем обучаемости учащихся АЛГОРИТМЫ I. Нахождение приращения аргумента и приращения функции.
f (x0+Δx)
Δf =f(x0+Δx) - f(x0) II. Уравнение касательной к графику функции
III. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке
IV. Общая схема исследования функции и построение её графика
ƒ(-х) = ƒ(х) – чётная ƒ(-х) = -ƒ(х) – нечётная
а) с осью 0X – y = 0 решаем соответствующие уравнение; б) с осью 0Y – x = 0 находим значение функции от 0 .
ƒ'(х) > 0 – функция возрастает. ƒ'(х) < 0 – функция убывает. xmax; xmin; ymax; ymin.
V. Задачи на оптимизацию
Записываем ответ. Данный алгоритм называется «методом математического моделирования». |
х3 + Добавить документ в свой блог или на сайт
