Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».
Щалпегина И.В.
 Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.
Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.
Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.
Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.
Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.
Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2 по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак «+» или «-» в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа) и Рt2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1 и t2.
Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.
Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.
Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.
Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».
Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Цели урока:
закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.
N п/п
|
Этапы урока.
|
Содержание.
|
|
Организация класса на работу.
|
|
|
Проверка домашнего задания.
|
(Сбор тетрадей с домашней работой)
|
|
Формулировка цели урока.
|
- Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
|
|
Устная работа.
|
(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)
Решить тригонометрические уравнения:
sinx = - , 2sinx = , sin2x =  , sin(x -  ) = 0, cosx =  ,
cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.
Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
|
|
Повторение.
|
- Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств. Ученик подробно объясняет алгоритм решения. Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).
1) sinx ≥ -;
|
t1 t2;
t1 = arcsin(-) = - ;
t2 = + =  ;
- + 2n ≤ х ≤ + 2n, n Z.
|
2) cosx ≥ -;
|
t1 t2;
t1 = arccos(-) = - arccos =
= - =  ;
t2 = -;
- + 2n ≤ х ≤ + 2n, n Z.
|
- Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства?
(3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках).
3) cosx ;
|
t1 t2;
t1 = arccos = ;
t2 = 2 - =  ;
+ 2n х + 2n, n Z.
|
4) sinx ;
|
t1 t2;
t1 = arcsin =  ;
t2 = - - = - ;
 + 2n х + 2n, n Z.
|
- Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища.
(Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия).
- Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на  ?(Оценивание работ учащихся).
|
6.
|
Новый материал.
|
- Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,
решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.
(Решение неравенств на доске под руководством учителя).
№1. cos22x – 2cos2x ≥ 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).
cos2x(cos2x – 2) ≥ 0.
Замена: cos2x = t,  ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию ≤ 1.
cos2x ≤ 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).
Ответ: + n х  + n, n Z.
№2. 6sin2x – 5sinx + 1 ≥ 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).
Замена sinx = t, ≤ 1. 6t2 – 5t +1 ≥ 0, 6(t - )(t -  ), 
Ответ: + 2n ≤ х ≤ + 2n, --arcsin+ 2k ≤ х ≤ arcsin+ 2k,
n, k Z.
№3. sinx + cos2x 1.
(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).
sinx + cos2x - 1 0, sinx – 2sin2x 0, sinx(1 - 2 sinx) 0, 
|
Ответ:
2n x + 2n,
+ 2n x + 2n, n Z.
|
Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:
t1
t2
t
№4. cos cosx - sinsinx -.
(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).
cos(x + ) -, cost -.
|
+ 2n t + 2n, nZ,
+ 2n x + + 2n, nZ,
 + 2n x  + 2n, nZ.
Ответ:
+ 2n x + 2n, nZ.
|
№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство
4sinx + 3cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.
(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).
4sinx + 3cosx ≤ а, М =  = 5. Разделим обе части неравенства на 5:  sinx +  cosx ≤  . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол α, что cosα = , а sinα = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + α) ≤ . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что
≥ -1, то есть при каждом а ≥ -5. Ответ: а ≥ -5.
|
7.
|
Домашнее задание.
|
(Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства).
cosx sin2x;
4sin2xcos2x - ;
cos2 ≤ sin2 - 0,5;
sinx + cosx 1.
Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
|
8.
|
Подведение итогов, рефлексия.
|
- Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.
- Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?
- Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?
(Оцениваю работу учащихся на уроке).
|
Самостоятельная работа
по результатам освоения материала.
Вариант 1.
Решите неравенства 1 – 3:
sin3x - 0;
cos2x + 3cosx 0;
coscos2x - sinsin2x ≥ -.
Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.
|
Вариант 2.
Решите неравенства 1 – 3:
2cos 1;
sin2x – 4sinx 0;
sincos3x - cossin3x ≤ -.
Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx - 8cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.
| |
