Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

Конспект урока по теме: «Уравнения вида и нестандартные методы их решения»

• 
  формирование знаний об уравнениях вида и нестандартных методах их решения;
  
• 
  развитие способности анализировать нестандартные ситуации, навыков работы с информационными технологиями, умения выступать на публике;
  
• 
  воспитание добросовестного отношения к учебе, самостоятельности при работе с учебной литературой.
  

Основное содержание учебного материала	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Постановка темы и целей урока
	После проверки готовности класса к уроку сообщает, что на данном уроке будет рассмотрена тема «Уравнения вида и нестандартные методы решения». Ставится задача: рассмотреть уравнения вида и нестандартные методы их решения. Говорит, что уравнения такого вида встречаются довольно часто, но, самое главное, что с ними можно столкнуться в олимпиадных заданиях и заданиях ЕГЭ.	Записывают тему урока
2. Выступление учителя
	В последние годы издано достаточно много пособий, справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Во многих из таких сборников приводятся методы решения уравнений и неравенств, основанные на свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности, периодичности), приложениях производной. Однако примеры, приводимые в указанных пособиях и справочниках, сами обычно имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных примеров. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные. Сегодня речь пойдет о примерах, которые можно и нужно решать не известными методами, а с использованием свойств функций, в них входящих. Все записи вам необходимо оформить в виде таблицы, которая будет заполняться в ходе выступления ваших одноклассников. Таблица имеет вид (приложение ):	Внимательно слушают учителя Строят таблицу

3. Выступления обучающихся
Пример: Решите уравнение: [16]. Ответ: Пример: Решите уравнение: [16]. Ответ: решений нет Пример: Решите уравнение: Ответ: , Пример: Решите уравнение: где возведение в куб в левой части уравнения повторяется раз [16]. Ответ:	Учитель приглашает первого выступающего. Просит Уч.1 представить результаты своей работы. Следит за ходом выступления обучающегося, делает пометки по поводу выступления, чтоб внести коррективы после выступления, если они будут необходимы. Следит за правильностью решения примера Проверяет приведенное решение, вносит коррективы, если они необходимы. Просит учеников класса задать вопросы Уч.1. Задает вопросы по выступлению, с целью проверки того, насколько осознанно была выполнена представленная работа. Спрашивает, почему, если строго монотонна, то равносильно ? Приглашает второго выступающего: Уч.2 Просит обучающихся осознанно записывать все, что рассказывает выступающий. Следит за ходом рассуждений Следит за ходом решения уравнения Просит обучающихся внимательно просмотреть весь предложенный Уч.2 материал и задать вопросы. Интересуется, почему если не имеет решений, то и не имеет решений. Приглашает выступить 3 участника конференции – Уч.3. Следит за дисциплиной, слушает рассуждения Уч.3. Следит за решением уравнения Просит обучающихся задавать вопросы, по поводу проделанной Уч.3 работы. Дает свои комментарии по выступлению Приглашает к доске Уч.4 – 4 участника конференции Следит за выступлением Уч.4 Проверяет предложенное Уч.4 решение Предлагает обучающимся задать вопросы, охарактеризовать выступление участника конференции Уч.4. Комментирует выступление, дает советы.	Уч.1 предлагает классу заполнить 1 столбец таблицы: Вид уравнения: . Решение уравнения: решения уравнения в области допустимых значений являются решениями уравнения . Вид уравнения эквивалентного данному: если строго монотонна, то равносильно на ОДЗ уравнения . Условие делимости полинома на многочлен: Если - многочлены, то полином делится на многочлен Пример: Решите уравнение: = . Решение: уравнение имеет вид , при этом . Воспользуемся свойством 3, т. е. разделим многочлен на многочлен получаем . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Первое уравнение имеет корни, равные второе уравнение имеет решения равные 1 и -2. В итоге, получаем, что исходное уравнение имеет четыре корня: Обучающиеся задают вопросы. Уч.1 отвечает на вопросы Уч.1: если строго монотонна, то Тогда, если то если то Следовательно, . Это означает, что уравнение не может иметь решений, отличных от уравнения , содержащихся в ОДЗ Остальные обучающиеся следят за ходом выступления, заполняют таблицу Уч.2 предлагает классу заполнить 2 столбец таблицы: Вид уравнения: . Решение уравнения: решения уравнения являются решением уравнения . Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Вид уравнения эквивалентного данному: если строго возрастающая, то уравнения и эквивалентны. Условие делимости полинома на многочлен: Если - многочлен, то полином делится на многочлен Пример: Решите уравнение: Решение: Уравнение имеет вид , причем . Функция непрерывна на множестве действительных чисел. Легко заметить, что уравнение т.е. уравнение не имеет решений. Следовательно, по свойству 1, исходное уравнение решений не имеет. Уч.2: пусть непрерывна на являющуюся промежутком. Так как уравнение не имеет решения, то функция не меняет своего знака на Пусть, например, Тогда, подставляя вместо получим и, значит, при всех Следовательно, уравнение не имеет решения. Класс конспектирует предложенный материал. Уч.3 выходит к доске. Предлагает заполнить 3 столбец таблицы: Вид уравнения: . Решение уравнения: решения уравнения , входящие в ОДЗ уравнения являются решением данного уравнения. Вид уравнения эквивалентного данному: если возрастающая и или убывающая и на ОДЗ уравнения , то уравнения и эквивалентны. Условие делимости полинома на многочлен: Если – многочлен степени, то полином делится на многочлен Пример: Решите уравнение Решение: ОДЗ уравнения: Если положим то уравнение запишется в виде: После преобразований получаем: , левую часть которого обозначим По свойству 3 делится на многочлен . Частное равно . Поэтому данное уравнение равносильно совокупности: Решив эти уравнения, получим, что исходное уравнение имеет 4 корня: , Остальные обучающиеся записывают материал, данный выступающим. Уч.4 предлагает заполнить 4 столбец таблицы: Вид уравнения: . Где некоторая функция, а функция, обратная к функции Решение уравнения: решения уравнения являются решением уравнения и Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Вид уравнения эквивалентного данному: если строго возрастающая, то уравнения (или и эквивалентны. Условие делимости полинома на многочлен: Если - многочлен, то полином делится на многочлен Пример: Решите уравнение: где возведение в куб в левой части уравнения повторяется раз. Решение: Заметим, что уравнение имеет вид , причем (если , то ). Поскольку функция возрастающая, то уравнение равносильно уравнению и, следовательно, эквивалентно уравнению т.е. уравнению Отсюда следует, что уравнение имеет одно решение Остальные обучающиеся слушают выступления, заполняют таблицу
4. Подведение итогов урока
	Предлагает обучающимся высказаться по поводу проведенной конференции. Дальнейшее подведение итогов производится фронтальным опросом вместе с обучающимися: 1) Уч.5, какие виды уравнений были рассмотрены? 2) Уч.6, что ты можешь сказать про уравнение вида 3) Уч.7, назови ключевые утверждения, которые помогают нам при решении уравнений вида 4) Уч.8, назови свойства, которые помогают при решении уравнений вида 5) Уч.9, что ты можешь сказать про уравнения вида ? С учетом работы во время урока комментируются и оцениваются ответы учащихся Уч.1, Уч.2, Уч.3, Уч.4.	Высказывают свое мнение 1) Уч.5: на данном уроке были рассмотрены уравнения вида , , . 2) Уч.6: решения уравнения в области допустимых значений являются решениями уравнения . Если строго монотонна, то равносильно на ОДЗ уравнения . Если - многочлены, то полином делится на многочлен 3) Уч.7: решения уравнения являются решением уравнения . Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Если строго возрастающая, то уравнения и эквивалентны. Если - многочлен, то полином делится на многочлен 4) Уч.8: решения уравнения , входящие в ОДЗ уравнения являются решением данного уравнения. Если возрастающая и или убывающая и на ОДЗ уравнения , то уравнения и эквивалентны. Если – многочлен степени, то полином делится на многочлен 5) Уч.9: решения уравнения являются решением уравнения и Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Если строго возрастающая, то уравнения (или и эквивалентны. Если - многочлен, то полином делится на многочлен
5. Постановка домашнего задания
Задание: Решите уравнения: 1) 2) [16].	Дает пояснение по выполнению домашнего задания, просит обучающихся внимательно просмотреть записи в тетради.	Записывают задание, слушают пояснения учителя Решение домашнего задания: 1) Положим Тогда уравнение можно записать в виде Так как функции являются возрастающими, то функция тоже возрастающая, поэтому уравнение равносильно уравнению т.е. уравнению Решая это уравнение, получаем корни: 2) Область допустимых значений уравнения: Положив . Замечаем, что уравнение имеет вид Так как функция убывающая на и на ОДЗ уравнения, то уравнение равносильно т.е. уравнению Следовательно, уравнение имеет одно решение
6. Резерв
Задание: Решите уравнение:	На случай досрочного выполнения всем классом или отдельными учениками заданий и обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать дополнительные задания.

Свойства	Вид уравнения
				и
1. Решение данного уравнения	решения уравнения в области допустимых значений являются решениями уравнения.	решения уравнения являются решением уравнения .	решения уравнения , входящие в ОДЗ уравнения являются решением данного уравнения.	решения уравнения являются решением уравнения и
2. Вид уравнения эквивалентного данному	Если строго монотонна, то равносильно на ОДЗ уравнения .	Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Если строго возрастающая, то уравнения и эквивалентны.	Если возрастающая и или убывающая и на ОДЗ уравнения , то уравнения и эквивалентны.	Если на области определения не имеет решений, то и не имеет решений. Если строго возрастающая, то уравнения (или и эквивалентны.
3. Условие делимости полинома на многочлен	Если - многочлены, то полином делится на многочлен	Если - многочлен, то полином делится на многочлен	Если – многочлен степени, то полином делится на многочлен	Если - многочлен, то полином делится на многочлен