МАТЕРИАЛЫ
для СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПбГЭТУ (ЛЭТИ)
Курс «Математический анализ»
Кафедра ВМ-2
Курс 2
Семестр 3
Санкт-Петербург
2008 г
1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной работы студентов заочной и вечерней форм обучения. Пособие содержит список основных тем и разделов, изучаемых в программе высшей математики в третьем семестре, а так же экзаменационные вопросы и варианты контрольных работ.
Список литературы содержит ряд учебников, которые могут быть использованы для освоения курса.
2. ПРОГРАММА КУРСА
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пределы, непрерывность и дифференцируемость функций нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций нескольких переменных.
РЯДЫ
Числовые ряды, признаки сходимости.
Положительные ряды
Знакопеременные ряды.
Степенные ряды, радиус и интервал сходимости степенного ряда. Ряд Тейлора.
Функциональные ряды.
Применение рядов для приближенных вычислений.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ)
Основные понятия: общее и частное решение, поле направлений, задача Коши.
Простейшие уравнения первого порядка.
Теоремы существования и единственности для решения задачи Коши.
Теория линейных дифференциальных уравнений. Системы линейных ДУ.
Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами.
Операционный метод решения ДУ.
3. ЛИТЕРАТУРА
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисления. Ч.2 М.:Дрофа, 2003.
Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. М.,"Наука", 1986.
Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М."Наука", 1968.
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2004.
4. ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ
Частные производные функций нескольких переменных..Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков. Производная по направлению. Градиент
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Числовые ряд: определение сходимости и необходимый признак сходимости.
Признак сравнения для сходимости положительных числовых рядов.
Признаки Даламбера и Коши сходимости положительных числовых рядов.
Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Степенные ряды: определение, теоремы и метод вычисления. Радиус и интервал сходимости.
Функциональные ряды. Абсолютная сходимость.
Ряды Тейлора для элементарных функций.
Дифференциальные уравнения (ДУ). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение последнего.
Пространство решений линейного дифференциального однородного уравнения.
Метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородных линейных ДУ.
Операционный метод решения линейных ДУ.
5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа №1 Вариант 1
Функции нескольких переменных
Найдите полный дифференциал функции  .
Проверить, что функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению  .
Найти производную функции  в точке М(1,3,2) по направлению к точке А(0,5,0).
Найдите наибольшее значение функции  в треугольнике, ограниченном прямыми  и  .
Числовые и степенные ряды
Контрольная работа №2 Вариант 1
Исследуйте на сходимость ряд  .
Исследуйте на сходимость ряд  .
Исследуйте на сходимость ряд  .
Исследуйте на сходимость ряд  .
Вычислите радиус и интервал сходимости степенного ряда  .
Найдите область сходимости функционального ряда 
Дифференциальные уравнения
Контрольная работа №3 Вариант 1
1. Найдите общее решение дифференциального уравнения  и сделайте проверку.
2. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения 
3. Найдите решение задачи Коши  при  .
4. Найдите общее решение дифференциального уравнения  при начальных условиях  ..
5. Найдите общее решение дифференциального уравнения  .
Контрольная работа №1 Вариант 2
Функции нескольких переменных.
Найдите полный дифференциал функции  .
Проверить, что функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению  .
Найти производную функции  в точке М(1,1,0) по направлению к точке А(1,2,-1).
Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области, ограниченной осью OY, прямой y=2 и параболой .  .
Контрольная работа №2 Вариант 2
Числовые и степенные ряды.
Исследуйте на сходимость ряд  .
Исследуйте на сходимость ряд  .
Исследуйте ряд на сходимость  .
Исследуйте на сходимость ряд  .
Вычислите радиус и интервал сходимости степенного ряда  .
Найдите область сходимости функционального ряда  .
Контрольная работа №3 Вариант 2
Дифференциальные уравнения.
Найдите частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  .
Найдите общий интеграл дифференциального уравнения 
Найдите общее решение дифференциального уравнения  . Проверьте его.
Найдите частное решение дифференциального уравнения  при начальных условиях  .
Найдите общее решение дифференциального уравнения  . |
