Опорный конспект «Системы счисления»
Система счисления – это правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Непозиционная система счисления – это такая система, в которой значение цифры не зависит от ее места в записи числа.
Позиционная система счисления – это такая система, в которой значение цифры полностью
определяется ее местом (позицией) в записи числа.
Пример позиционной системы счисления – привычная нам десятичная система. В числе
6375 цифра 6 обозначает тысячи (то есть 6000), цифра 3 – сотни (300), цифра 7 – десятки (70), а
цифра 5 – единицы:
6375 = 6⋅1000 + 3⋅100 + 7⋅10 + 5⋅1
Алфавит – это набор цифр, используемых в системе счисления.
Основание – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
В десятичной системе основание – 10, используется алфавит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 и 9. Число 10, вероятно, было выбрано потому, что люди сначала использовали для счета свои
10 пальцев на руках.
Разряд – это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля
справа налево.
В числе 6375 цифра 6 стоит в третьем разряде (тысячи, 103), 3 – во втором разряде (сотни,
102), 7 – в первом (десятки, 101), а 5 – в нулевом (единицы, 100). Не забывайте, что любое число
(кроме нуля!) в нулевой степени равно 1. Поэтому
6375 = 6⋅103 + 3⋅102 + 7⋅101 + 5⋅100
Это так называемая развернутая форма записи числа. Из этой записи видно, что последняя цифра 5 – это остаток от деления числа на 10 (все остальные слагаемые делятся на 10);
число, составленное из двух последних цифр (75) – это остаток от деления исходного числа на 100 = 102 и т.д. Поэтому все числа, делящиеся на 100 без остатка, оканчиваются на два нуля.
Чтобы определить число, записанное в позиционной системе счисления, нужно значение каждой
цифры умножить на основание системы счисления в степени, равной разряду, и сложить
полученные величины.
Для перевода числа из десятичной системы в систему счисления с основанием p нужно делить это
число на p, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится 0. Затем остается выписать
найденные остатки в обратном порядке.
Пример 1. Зная десятичное число и его запись в некоторой позиционной системе счисления,
можно найти основание этой системы. Пусть, например, число 71 в некоторой системе с
основанием x записывается как 56x. Представим это число в развернутой форме:
71 = 56x = 5⋅x1 + 6⋅x0 = 5⋅x + 6.
Решая уравнение 71 = 5⋅x + 6 относительно неизвестного x, получаем x = 13. Значит, искомое
основание системы – 13.
Пример 2. В более сложных случаях может получиться алгебраическое уравнение второй
(или еще более высокой) степени. Например, то же число 71 в в некоторой системе с основанием
x записывается как 155x. Представим это число в развернутой форме:
71 = 155x = 1⋅x2 + 5⋅x1 + 5⋅x0 = x2 + 5⋅x + 5.
Решая уравнение 71 = x2 + 5⋅x + 5 относительно неизвестного x, получаем два решения, x1 = –11 и
x2 = 6. Искомое основание положительно, поэтому выбираем ответ 6.
Пример 3. Если запись числа в другой системе счисления задана не полностью, решений
может быть несколько. Например, найдем все основания систем счисления, в которых запись
числа 24 оканчивается на 3. Здесь удобно использовать схему Горнера, из которой сразу следует
24 = k⋅x + 3,
где x – неизвестное основание системы счисления, а k – некоторое натуральное число или 0.
Отсюда сразу получаем 21 = k⋅x, то есть все интересующие нас основания являются делителями
числа 21. Это могут быть 3, 7 и 21. Поскольку последняя цифра числа – 3, основание не может быть
равно 3 (в троичной системе нет цифры 3), поэтому условию задачи удовлетворяют только
основания 7 и 21.
Пример 4. Найдем все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе
счисления с основанием 4 оканчивается на 11. Используя схему Горнера, находим, что все
интересующие нас числа имеют вид
N = k⋅42 + 1⋅4 +1 = k⋅16 + 5,
где k – некоторое натуральное число или 0. Подставляя k = 0, 1, 2, 3, …, находим соответствующие
числа N = 5, 21, 37, 53, …. Из них только 5, 21 и 37 удовлетворяют условию (не больше 40).
Арифметические операции
Двоичные числа, как и десятичные, можно складывать в столбик, начиная с младшего
разряда (без перехода к десятичной системе). При этом используют следующие правила:
0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 102, 1 + 1 + 1 = 112.
В двух последних случаях, когда получается сумма 2 = 102 или 3 = 112, происходит перенос в
следующий разряд.
Например, сложим в столбик 101102 и 1110112. Единицы сверху обозначают перенос из
предыдущего разряда:
Вычитание выполняется почти так же, как и в десятичной системе. Вот основные правила:
0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 102 – 1 = 1.
В последнем случае приходится брать заем из предыдущего разряда. Именно этот вариант
представляет наибольшие сложности, поэтому мы рассмотрим его подробно.
Чтобы понять принцип, временно вернемся к десятичной системе. Вычтем в столбик из
числа 21 число 9:
 |
