Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

Презентация 1 группы учащихся у = arcsin x Функция у = sin х монотонна и принимает все значения от -1 до 1 на каждом из следующих отрезков -;; ;; ; и т.д. Значит, по теореме об обратных функциях она обратима, и имеет обратную функцию. Среди них предпочтение отдают одной функции, обратной у = sin x, х-;. Её обозначают х = arcsin у. Поменяв, как обычно, х и у местами, пишут: у = arcsin x . Итак, у = arcsin x (читают арксинус х) – это функция, обратная функции у = sin x, х-;. График функции у = arcsin x может быть получен из графика функции у = sin x, х-; с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. Свойства функции у = arcsin x 1. D(х) = [-1;1]. 2. Е(х) = -;. 3. Функция является нечетной: arcsin (-x) = -arcsin x 4. Функция возрастает. 5. Функция непрерывна. Из сказанного выше следует, что записи у = arcsin x и х = sin у, у-; эквивалентны. Подставив в равенство х = sin у вместо у выражение arcsin x , получим х = sin (arcsin x). Следовательно, для х [-1;1] имеем: sin (arcsin x) = х, arcsin x - ; . Два последних соотношения дают возможность сформулировать определение. Определение 1. Если ≤1, то arcsin а – это такое число из отрезка - ; , синус которого равен а. Итак, sin t = а , если ≤1, то arcsin а = t <=> - ≤ t ≤ ; sin (arcsin а) = а. Геометрическая иллюстрация: Следовательно, arcsin(-х) = arcsin х, ≤ 1. Аналогично вводятся понятия арккосинуса, арктангенса и арккотангенса(см. § 21, А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа». Профильный уровень. Часть 1. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г. 2.Построение графиков функций, содержащих обратные тригонометрические функции. А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа». Профильный уровень. Часть 2. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г. №21.50, №21.51, №21.52, №21.53 (см. Приложение №1). Урок 2. Тема: Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Цель: сформировать умение преобразовывать выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Презентация 2 группы учащихся. Вспомним важные соотношения для обратных тригонометрических функций, которые мы уже доказали: arcsin(-х) = -sin x, если - ≤ arcsin х ≤ ; arcos (-х)= - arcos x, если 0 ≤ arcos x ≤ ; arctg(-х)=- arctg x,если - <arctg x< ; arcctg (-х)= - arcctg x, если 0< arcctg x< . Докажем важные соотношения для обратных тригонометрических функций: sin (arcsin х)=х, где ≤ 1. cos (arcsin х)= , где ≤ 1. tg (arcsin х)= ,где < 1. ctg (arcsin х)= , где ≤ 1, , х≠0. cos (arcos x)=х, где ≤ 1. sin (arcos x)= ,где ≤ 1. tg (arсcos x)= , где ≤ 1, х≠0. ctg ( arсcos x)= , где < 1. tg ( arctg x)=х. sin (arctg x)= . cos (arctg x) = . ctg (arctg x)= , где х≠0. ctg (arcctg x)=х. sin ( arcctg x)= . cos (arcсtg x)= . tg (arcctg x)= , где х≠0. arcsin х+arcos x= , где ≤ 1. arctg x+arcctg x= . (см. Приложение 2) Выполнить упражнения: №1. Вычислить: а) sin (arctg 2)= = = = ; б) cos (arсtg2)= = ; в) sin (arссоs(- ))= = = = ; г) cos (arcsin (- ))= = = . №2. Упростить выражение arcsin (sin 2). Решение: Положим φ= arcsin (sin 2), тогда φ - ; и sin φ = sin2. Нам надо найти угол из промежутка - ; , имеющий тот же синус, что и угол в 2 радиана. Имеем 2= ( -2), причем sin2=sin( -2) и -2 - ; , следовательно, φ = -2. Таким образом, arcsin (sin 2)= -2. Ответ: -2. №3 Упростить выражения: а) arссоs(cos4); б) arctg(tg5); в) arcsin(cos2); г) arctg(ctg7). Решение: а) Пусть arссоs(cos4)=φ, где φ [0; ], тогда cos φ = cos4. Нам надо найти угол из отрезка [0; ], косинус которого равен косинусу угла в 4 радиана. Имеем cos φ = cos4. Следовательно, φ = 2 - 4. Ответ: 2 - 4. б) Пусть arctg(tg5)= φ, где φ (- ; ), тогда tg φ = tg5, следовательно, φ = - (2 - 5)=5 - 2 . Ответ: 5 - 2 . Урок 3. Тема: Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Цель: Сформировать умение решать графически и аналитически уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Презентация 3 группы учащихся. Задания взяты из задачника А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа». Профильный уровень. Часть 2. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г. № 21.54 а) arcsin2х = . Решение: - < < . По определению арксинуса получаем систему: sin = 2х, 2х = , х = , ≤ 1; => -1 ≤ 2х ≤ 1; => -0,5 ≤ х ≤ 0,5; => х = . Ответ: . б) arctg(4х + 1) = . Решение: По определению арктангенса tg = 4х + 1, где - < arctg(4х + 1)< , но - ; , следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: нет корней. в) arссоs(3х – 3,5) = . Решение: 0≤ ≤ . По определению арккосинуса имеем систему: 3х – 3,5 = соs , 3х – 3,5 = - 0,5, 3х = 3, -1 ≤ 3х – 3,5 ≤ 1; => 5 ≤ 3х ≤ 4,5; => ≤ х ≤ ; => х = 1. Ответ: 1. г) arctg(4х + 1) = . Решение: По определению арктангенса 4х + 1 = tg , где 0 < < . Следовательно, 4х + 1 = -1, где х = - . Ответ: - . № 21.25, №21.56, №21.57, № 21.58, №21.59. (см. Приложение 3) Урок 4. Тема: Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Цель: Сформировать умение решать графически и аналитически неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Презентация 4 группы учащихся № 21.60 а) Решить неравенство arссоs х> . Решение: Т.к. функции у = arссоs х и у = соs х монотонны на отрезке [0; ], то данное неравенство будет равносильно системе соs(arссоs х) <соs , x < - , ≤ 1; => -1≤ х ≤ 1; => -1≤ х < - ; Ответ: [-1; - ) № 21.61 а) Решить неравенство 9 arcsin2х≤ . Решение: (3 arcsin х - )(3 arcsin х + )≤ 0 Замена: arcsin х = t, (3 t - )(3 t+ ) ≤ 0, - ≤ t ≤ . Вернемся к замене - ≤ arcsin х ≤ . Отсюда, учитывая, что функция у = arcsin х монотонна на - ; , - ≤ х ≤ . Ответ: [- ; ]. № 21.62 а) Решить неравенство: 8 arcsin 2х + 2 arcsin х< . Решение: Областью допустимых значений неравенства является отрезок [-1;1]. Замена: arcsin х = t, где - ≤ t ≤ . Тогда данное неравенство примет вид 8 t2 + 2 t - 2<0, где t - ; = + 8 = 9 , t1 = , t2 = ; Следовательно, 8(t - )( t + ) <0, t (- ; ). Учитывая, что числа и - принадлежат отрезку - ; , вернемся к замене - < arcsin х < . Учитывая монотонность функции у = arcsin х на отрезке - ; , получим -1 < х < . С учетом ОДЗ запишем ответ. Ответ: -1 < х < . III. Итог всей работы: В конце презентации учитель подводит итог, задавая учащимся вопросы: 1. Каковы отличительные особенности графиков обратных тригонометрических функций от графиков тригонометрических функций? 2. Сегодня вы познакомились с некоторыми важными соотношениями между обратными тригонометрическими функциями. А чем они важны? 3. Назовите и охарактеризуйте методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. 4. Назовите и охарактеризуйте методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Приложение 1. 1 3 2 4 Приложение 2. sin (arcsin х)=х, где ≤ 1. (см. определение арксинуса) cos (arcsin х)= , где ≤ 1 Доказательство: Пусть arcsin х= у , тогда sinу = х, где у - ; . Нам нужно найти cosу. Известно, что cos2у = 1- sin2у. Значит, cos2у = 1 – х2, где у - ; . Косинус принимает неотрицательные значения, поэтому cosу = , т.е. cos (arcsin х)= , где ≤ 1. tg (arcsin х)= ,где < 1. Доказательство: tg (arcsin х) = = , где < 1. ctg (arcsin х)= , где ≤ 1, , х≠0. Доказательство: ctg (arcsin х) = = , где ≤ 1, х≠0. cos (arccos x)=х, где ≤ 1. (см. определение арккосинуса). sin (arccos x)= ,где ≤ 1. Доказательство: Пусть arccos x = у, где у [0; ], тогда х = cos у. Нам надо найти sin у. Известно, что sin2у = 1 - cos2у, значит, sin2у =1 – х2 , где ≤ 1, а на отрезке [0; ] синус принимает неотрицательные значения. Поэтому sin у = , где ≤ 1. tg (arccos x)= , где ≤ 1, х≠0. Доказательство: tg (arccos x)= = , где ≤ 1, х≠0. ctg ( arсcos x)= , где < 1. Доказательство: ctg ( arсcos x)= = , где < 1. tg ( arctg x)=х. (см. Определение арктангенса). sin (arctg x)= . Доказательство: Пусть arctg x=у, тогда tg у = х, где у (- ;. ). Нам нужно найти sin у. Известно, что 1 + tg2у = . Но у (- ;. ), а на интервале (- ; ) косинус принимает лишь положительные значения. Поэтому cos2у = , т.е. cos (arctg x) = . А т.к. sinу = cos у tg у, то sin (arctg x)= tg ( arctg x) cos (arctg x) = . cos (arctg x) = . (см. предыдущий случай) ctg (arctg x)= , где х. Доказательство: ctg (arctg x) = = , где х≠0. ctg (arcctg x)=х. (см. определение арккотангенса) sin ( arcctg x)= . Доказательство: Пусть arcctg x=у, тогда сtg у = х, где у (0; ). Нам необходимо найти sinу. Известно, что 1 + сtg2у = , откуда sin2у = . Учитывая, что у (0; ), а синус на этом интервале принимает положительные значения. Поэтому sinу = , т.е. sin ( arcctg x)= . cos (arcсtg x)= . Доказательство: Известно, что cosу = сtg у sin у, то получим cos (arcсtgх) = сtg(arcсtg x) sin( arcctg x)= х = . tg (arcctg x)= , где х≠0. Доказательство: tg (arcctg x)= = , где х≠0. arcsin х+arcos x= , где ≤ 1. Доказательство: arcsin х = - arcos x. Возьмем синус от обеих частей равенства sin (arcsin х) = sin ( - arcos x) => х = cos(arcos x) => х = х. Значит, arcsin х+arcos x= , где ≤ 1. arctg x+arcctg x= . Доказательство: arctg x = - arcctg x => tg(arctg x) = tg( - arсctg x) => х = ctg (arcctg x) => х = х. Значит, arctg x+arcctg x= . Приложение 3  № 21.25 а) arcsin(3х2- 5х + 1) = . Решение: - ≤ ≤ . По определению арксинуса получаем систему: 3х2 – 5х + 1 = 1, 3х2 – 5х = 0, х = 0 , х = 0, -1 ≤ 3х2 – 5х + 1≤1; => -1 ≤ 3х2 – 5х + 1≤1; => х = , => х = . │3х2 – 5х + 1│ ≤ 1; Ответ: 0; . б) arctg (х3 – 27 - ) = - . Решение: - <- < . По определению арктангенса имеем х3 – 27 - = - , то х3 = 27, х = 3. Ответ: 3. №21.56 а) arcsin (tg ) - arcsin - = 0. Решение: Определим область допустимых значений уравнения │ │≤ 1, т.е. 3 < x < ∞ - arcsin - = 0, arcsin = . Вследствие монотонности у = arcsin х на отрезке [- ; ] имеем sin(arcsin ) = sin , = , х = 4. С учетом ОДЗ получаем х = 4. Ответ: 4. №21.57 а) 8 arcsin2 х + 2 arcsin х = 2. Решение: ОДЗ: х [-1;1]. Замена: arcsin х = t, где t [- ; ]. 8t2 + 2 t - 2= 0, = 2 – 8(- 2) = 9 2, t1 = = ; t2 = = - . Проверим. Числа принадлежат отрезку [- ; ]. Вернемся к замене: аrcsin х = , или аrcsin х = - , sin(arcsin х) = sin , sin(arcsin х) = sin(- ), х = . х = -1. С учетом ОДЗ можем записать ответ. Ответ: -1; . №21.58 в) arcos(3х + 1) = arcos(2х + 5). Решение: Найдем ОДЗ уравнения. Она совпадает с решением системы: │3х + 1│≤ 1, -1 ≤ 3х+ 1≤1, - ≤ х ≤ 0, │2х + 5│≤ 1; => -1≤ 2х + 5 ≤ 1; => -3 ≤ х ≤ -2; Система решений не имеет. Ответ: корней нет. №21.59 а) arcos x = arctg x. Решение: Левая часть уравнения принимает значения из отрезка [0; ] (по определению арккосинуса), а правая - из отрезка (- ; ) (по определению арктангенса). Значит, нас интересуют те значения х, при которых обе части уравнения принимают равные значения на отрезке [0; ). Пусть arcos x= t, arctg x= r. Нас интересует равенство t = r, где t и r принадлежат отрезку [0; ). Но на этом отрезке равенство t = r эквивалентно равенству cos t = cos r. Поэтому мы имеем право взять от обеих частей заданного уравнения косинус, т.е. перейти к уравнению cos( arcos x) = cos( arctg x), х = , где ≤ 1; х2 - = 0, =0. Замена х2 = t, то =0, откуда t1= ; t2= . t2 – посторонний корень. Вернемся к замене х2 = , х1 = ; х2 = - ; С учетом 0≤х ≤ 1, запишем х = ; Ответ: .

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Проектно-образовательная деятельность по формированию у детей навыков безопасного поведения на улицах и дорогах города		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: Создание условий для формирования у школьников устойчивых навыков безопасного поведения на улицах и дорогах
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Организация воспитательно- образовательного процесса по формированию и развитию у дошкольников умений и навыков безопасного поведения...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: формировать у учащихся устойчивые навыки безопасного поведения на улицах и дорогах, способствующие сокращению количества дорожно-...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Конечно, главная роль в привитии навыков безопасного поведения на проезжей части отводится родителям. Но я считаю, что процесс воспитания...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Поэтому очень важно воспитывать у детей чувство дисциплинированности и организованности, чтобы соблюдение правил безопасного поведения...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Всероссийский конкур сочинений «Пусть помнит мир спасённый» (проводит газета «Добрая дорога детства»)		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Поэтому очень важно воспиты­вать у детей чувство дисциплинированности, добиваться, чтобы соблюдение правил безопасного поведения...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...