Скачать 168.65 Kb.
|
МОУ СОШ с Старый Хопёр Балашовского района Саратовской области Модель обобщающего урока на тему: «Сечения конуса, цилиндра и шара. Вписанные и описанные многогранники» математика 11 класс. Автор Белоусова Наталия Дмитриевна, учитель математики I катергории МОУ СОШ с. Старый Хопёр Балашовского района Саратовской области. Тип урока: урок совершенствования умений и навыков. Цели урока: дидактическая: совершенствовать навыки решения задач на сечения круглых тел, совершенствовать навыки применения полученных ранее знаний при решении задач на комбинации тел; развивающая: развивать логическое мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения), математически грамотную речь, культуру оформления чертежей и решений; воспитательная: воспитывать умение выслушивать других, прививать аккуратность, трудолюбие и упорство в достижении цели. Оборудование: персональный компьютер и проектор. Урок рассчитан на 2 часа.
Список литературы
Приложение № 1. Математический диктант Вариант 1 1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? 2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра? 3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса? 4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если его высота в 2 раза больше радиуса основания и равна 5см? 5. Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник с катетом а. Чему равна высота конуса? Вариант 2 1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса? 2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра? 3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса? 4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, а радиус основания конуса 3см? 5. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной а. Чему равна высота конуса? __________________________________ вариант _____ Фамилия и имя ученика
Приложение № 2 Краткое решение домашних задач № 1. (из сборника ФИПИ «ЕГЭ математика») Прямая пересекает окружности оснований цилиндра в точках С и К и наклонена к плоскости основания под углом 45º. Плоскость, содержащая прямую СК, параллельна оси цилиндра и удалена от этой оси на расстояние 5см. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 13. Решение: 1. сечение – прямоугольник КЕСМ, угол СКМ равен 45º, то СМ = КМ. СМ – образующая цилиндра, hц = СМ = КМ; 2. ∆ КОМ – равнобедренный, ОD –высота и медиана, D – середина КМ, КМ = 2DМ, значит hц = 2DМ; 3. из ∆ ОDМ DМ = 12 (см), hц = 24 (см). Ответ: 24см. № 2. (из сборника ФИПИ «ЕГЭ математика») В основании конуса проведена хорда. Через данную хорду и вершину конуса С проведена плоскость так, что угол при вершине с образовавшегося в сечении треугольника равен 60º. Найдите расстояние от центра основания конуса О до данной плоскости, если высота конуса равна 2, а образующая равна 8/3. Решение:
Ответ: 1. Карточка. № 1 Дано:СВD = 90º, Нц =6см, ОЕ = 3см Найти: Sсеч. Решение: Sсеч = СD×СС1; Sсеч = СD×6; ОЕ = ЕD = 3см; СD = 6см; Sсеч = 36см². Ответ: 36см². № 2 Дано: SO = 6см, SBO =30º. Найти: Sсеч. Решение: Sсеч. = l×l×sin60º= . Из ∆SOB: BS = = 2SO (так как SBO = 30º), l = 12 (cм) Sсеч. == 36(см²). Ответ: 36 см². Задачи, решаемые у доски. а) Точки В и D лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла между прямой ВD и плоскостью основания цилиндра равен 0,3, ВD = 15, объём цилиндра равен 450π. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Решение: Sос.сеч. = 2R H. Отрезок ВЕ перпендикулярен плоскости основания цилиндра (образующая). ВЕ = Нц.
= 15 × 0,3 = 4,5.
R = = = 10.
Ответ: 90. б) Угол между образующими СА и СВ конуса равен 60º, высота конуса равна 4, а радиус основания равен. Найдите градусную меру угла между плоскостью АВС и плоскостью основания конуса. Решение:
СКАВ. ∆АВО – равнобедренный, ОК – медиана и высота, ОКАВ. Значит ОКС – искомый угол.
= = ; АВ = , КВ =
Ответ: 45º. Приложение № 3 Приложение №4. ЗАДАЧА №1. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанной около этой пирамиды Решение: Из построения видно, что R = АВ : 2 = = = = 5см. ЗАДАЧА №2. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 60°, боковые грани составляют с плоскостью основания углы по 60°. Найдите высоту пирамиды и сторону основания, если площадь поверхности вписанного в нее шара равна 64p. Решение: Вершина S пирамиды проектируется в центр Р вписанной в ромб АВСD окружности. Центр О вписанного в пирамиду шара лежит на высоте SP. Точки M и Р – точки касания . Сделаем выносные чертежи. OP – радиус R шара.
4πR² = 64π, R = 4, ОР = 4; 2. ∆MSK – равносторонний, SР – высота, SР = ; МК = 2РК; РК = ОР : tgОКР = = 4; МК = 8; SP = 12; 3. АВСD – ромб: ∆СРD – прямоугольный, СD =DК+КС. Из ∆РКС: КС = = 4× =12; DК = = = 8; СD = 12 + 8 = 20 Ответ: 12 и 20. ЗАДАЧА №4. В шар диаметром 4 дм вписана правильная треугольная призма со стороной основания 3 дм. Найдите высоту призмы. а) б) К1 Решение: 1) Нпр = КК1= 2ОК (выносной чертеж б). Из ∆АОК: ОК = ; 2) АК – радиус описанной около ∆АВС окружности (выносной чертеж а), АК = АС : = (дм); Значит ОК = = 1 (дм); Нпр = 2дм. Ответ: 2дм. ЗАДАЧА №5. Найдите радиус вписанной в правильную шестиугольную призму сферы, если сумма всех ее ребер равна 24 + 16Ö3 см. Решение: Из построения (презентация «Призма и шар») видно, что радиус сферы равен радиусу вписанной в основание призмы окружности, то есть Rс = , отсюда а = АВ = . АА = 2R. По условию сумма всех ребер призмы равна 24 + 16Ö3 см, но сумма всех ребер это 12АВ + 6АА = + 12R = ( + 12) R = (8 +12) Rс. Значит Rс = 2(см). Ответ: 2см Приложение № 5. Самостоятельная работа в парах. Вариант 1. 1. В осевое сечение усеченного конуса вписана окружность. Радиусы оснований конуса 16см и 25см. Найдите высоту и Sп.п. усеченного конуса. 2. В шар вписан конус, площадь осевого сечения которого равна S, угол при вершине осевого сечения равен 2. Найдите объём шара. Вариант 2. 1. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем. (ЕГЭ 2010, Статград) 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60º. Найдите объём шара, вписанного в пирамиду. Решение задач самостоятельной работы. Вариант 1. Задача № 1. Решение: 1. Sп.п. = π (R1L + R2L + R1² + R2²). L = CD. Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция, L = CD. Так как в осевое сечение вписана окружность, то CF = O1C, DF =OC (отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки). Значит CD = 16 + 25 = 41(см). Sп.п. = π (16×41 + 25×41 + 16² + 25²) = 2562 π(см²). 2. Высота усеченного конуса равна высоте осевого сечения. ∆CKD – прямоугольный, СК = ; DK = 25 – 16 = 9(см); СК = = 40(см) Ответ: 40см и 2562 π см. Задача № 2. Решение: VШ = π R= πО1В. АВ = ВС – образующие конуса, АВС = 2, SАВС = АВ2 sin2, значит АВ = . ∆АКО1 – равнобедренный, АК = КВ. Из ∆ВКО1: соs КВО1= , ВО1= :соs= =. VШ = π = =. Ответ: . Вариант 2. Задача № 1. Решение: В прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу только тогда, когда он является кубом. Ребро куба в этом случае равно диаметру сферы. АА1 = 6,5 × 2 =13, V = АА= 13= 2197. Ответ: 2197. Задача № 2. Решение: Рассмотрим сечение, проведенное через высоту и апофемы двух противолежащих граней пирамиды. В сечении получается ∆АВС – равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен радиусу вписанного в пирамиду шара. R = = = 5. V = = = . Ответ: . |