Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 52.92 Kb.
|
| Серия уроков по теме "Численные методы для нахождения значения определенного интеграла" Урок №1 (математика). Идет постановка задачи: требуется вычислить определенный интеграл  при условии, что a и b конечны и  является непрерывной функцией x во всем сегменте  .Общий подход к решению задачи таков. Интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой , осью абсцисс и прямыми  и  . Будем пытаться вычислить интеграл, разбивая промежуток на множество меньших промежутков, находя приблизительно площадь каждой полоски, получающийся при таком разбиении, и суммируя площади этих полосок.Учащимся сначала можно показать метод прямоугольников, однако очевидно, что полученный результат слишком неточен. Далее учащимся надо дать возможность самостоятельно подумать, а нельзя ли прямоугольник преобразовать в какую-нибудь другую знакомую фигуру с явным увеличением точности. Старшеклассники очень быстро приходят к методу трапеций:  У нас  заменяется площадью трапеции ABCD, т. е.  . В итоге  Это и есть формула трапеций. Далее учитель ставит вопрос: а нельзя ли трапецию заменить на какую-нибудь кривую? Конечно можно. Самая простая кривая – парабола. Здесь желательно задать вопрос: сколько точек необходимо взять, чтобы парабола была однозначно задана. Учащиеся (кстати, далеко не всегда сразу) говорят, что три. Значит, необходимо рассматривать не один промежуток, а сразу два соседних. Рисунок будет примерно таким:  Площадь фигуры, ограниченной осью ox, прямыми  ;  и параболой, проходящей через точки  ,  и  , равна  , где  – данная парабола.Для упрощения вычислений можно заметить, что если данную фигуру перенести влево на xi, то ее площадь не измениться и она будет равна  , где – парабола, проходящая через точки  ,  и  .Найти a, b, c легко. Подставив координаты B, K и C в уравнение параболы, получим   ;  ;  .На дом учащимся предлагается: а) исходя из того, что n – четное, вывести формулу парабол (Симпсона). В итоге должно получиться:  б) написать на алгоритмическом языке программу нахождения интегралов по формулам трапеции и Симпсона. Урок №2 (информатика). Проверяется домашнее задание по математике (редкий случай). С формулой трапеции, как правило, проблем не бывает – уж очень простая программа. С формулой Симпсона сложнее. Здесь бывает большая путаница, хотя лучшие ученики справляются с проблемой без труда. Если большая часть класса не смогла написать программу по формуле Симпсона, есть смысл показать блок-схему программы:  После этого программа пишется легко. Далее на уроке учащимся предлагается сравнить точность двух методов. Вычислим, например,  (интеграл вероятностей).Составим таблицу:
Мы воспользовались тем, что точное значение интеграла до пятой значащей цифры равно 2,3925. Мы видим, что формула Симпсона обеспечила большую точность, нежели формула трапеций. Данное правило действует почти всегда. Одно из исключений: при n=2 по формуле трапеций:  .Получился точный результат. По формуле же Симпсона при n=2:  , что очень далеко от числа 4.Урок №3 (математика). Учитель доводит до учащихся следующую мысль: мы рассмотрели несколько методов вычисления определенного интеграла (прямоугольников, трапеций и парабол), где разбиении на промежутки отрезка производилось заранее, причем промежутки эти были равными. Зададимся вопросом: а нельзя ли уменьшить ошибку ограничения при заданном количестве промежутков, если располагать концы промежутков там, где это требуется из условий достижения наивысшей точности интегрирования? С философской точки зрения, следует ожидать улучшения: пожертвовав свободой при выборе разбиения промежутка, мы вправе требовать взамен увеличения точности. И такие методы есть.Выбираются два ученика для того, чтобы приблизительно через неделю они сделали доклады на темы: "Метод Гаусса" и "Метод Ньютона – Котеса (обобщение формулы Симпсона)". Подобные доклады на уроках преследуют одну важную цель: учащиеся должны овладевать навыками самостоятельной работы, уметь логически и грамотно говорить, излагать свои мысли, уметь слушать своих товарищей. Далее на уроке учитель может переходить к другой теме. Учителя математики и информатики при необходимости консультируют в течение недели будущих докладчиков. Урок №4 (не играет роли – математика или информатика). Урок-анализ. Вначале докладчики рассказывают о сущности метода Гаусса и формуле Ньютона – Котеса, показывают программы на ЭВМ. Обычно всех удивляет, насколько прост в реализации на компьютере метод Ньютона – Котеса. Далее в качестве примера опять берется и вычисляется метод Гаусса. Получается таблица:
И вот здесь начинается самое главное. Практика показывает, что формула Симпсона при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула трапеций при 2n ординатах, а метод Гаусса при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула Симпсона при 2n ординатах. Возникает гипотеза о том, что методы трапеций и Симпсона не нужны, ибо метод Гаусса значительно лучше. Но есть два важных обстоятельства: 1) Если приходиться заново вычислять интеграл по методу Гаусса с большим количеством точек, то, в отличие от метода Симпсона, уже нельзя использовать ранее вычисление ординаты. 2) Если нужно узнать, сколько будет, например  , наверное, нет смысла звонить в РАО. Достаточно взять калькулятор. Так же и здесь: если необходимо вычислять интегралы с точностью до 0,1, достаточен даже метод трапеций при большом n.Поэтому выбор метода зависит от постановки задачи, а умение выбирать формируется в ходе практики. Так что грамотное использование численных методов является профессиональным навыком. Этот вывод, на наш взгляд, столь же важен, сколь и понимание сущности самих методов. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
