Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 107.94 Kb.
|
| Тема: Параллельность прямой и плоскости.(5 ч) Класс: 10 Урок №1 (Урок объяснения и первичного закрепления нового материала.) I. Актуализация знаний Учитель спрашивает учащихся, какие отношения между точками, прямыми и плоскостями изучались на предыдущих уроках. Учащиеся. Рассматривались различные отношения пересечения й принадлежности прямых и плоскостей, а также параллельность и скрещивание прямых в пространстве. Учитель просит учащихся сформулировать определения параллельных и скрещивающихся прямых и вспомнить свойства отношения параллельности. Далее учитель спрашивает учащихся, какой следующий вид отношения параллельности в пространстве, по их мнению, следует изучить. Учащиеся. Параллельность прямой и плоскости. Исходя из поставленной учащимися цели урока, учитель формулирует тему урока, которая записывается учащимися в тетрадях. II. Изучение нового материала Учитель предлагает учащимся сформулировать определение параллельности прямой и плоскости. Учащиеся. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Учитель предлагает учащимся доказать, что их определение корректно, то есть что какова бы ни была плоскость, существует параллельная ей прямая. Учащиеся высказывают предложения по доказательству. Учитель на доске делает иллюстрирующие чертежи и выступает оппонентом. В результате учащиеся находят следующее доказательство*. Доказательство. Пусть а — данная плоскость (рис. 1). Проведем в плоскости а произвольную прямую Ь и по аксиоме С  возьмем точку А, не принадлежащую этой плоскости. Так как А  а, Ь  а, то А Ь, и тогда по теореме 2.1 через точку А можно провести прямую а, параллельную Ь.Рис.1 Докажем, что a II а. Предположим противное, то есть что прямая а не параллельна плоскости а и, следовательно, имеет с ней по крайней мере одну общую точку. По определению параллельных прямых через прямые а и Ъ проведем плоскость  . Так как прямой а принадлежит точка А, не принадлежащая плоскости а, то а не лежит в а, и тогда, так как по предположению она имеет с плоскостью а по крайней мере одну общую точку, по следствию из теоремы 1.2 пересекает ее в некоторой точке В (рис. 2). Плоскость содержит прямую а, не лежащую в а, поэтому она отлична от плоскости а и, следовательно, по аксиоме С2 пересекает ее по прямой Ь, являющейся общей для этих плоскостей. Но тогда по аксиоме С2 точка В, также являющаяся общей для плоскостей а и , принадлежит прямой Ъ, и, следовательно, прямая а пересекает прямую Ь, что противоречит, тому, что по построению эти прямые параллельны. Значит, сделанное предположение неверно и прямая а параллельна плоскости а!Учитель просит учащихся, исходя из доказанного существования прямой, параллельной плоскости, сделать вывод о возможных случаях взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.  Рис. 2 Учащиеся. Из доказанного существования прямой, параллельной плоскости, и теоремы 1.2 следует, что для любой выбранной прямой и любой плоскости имеет место одно из трех отношений: прямая либо принадлежит плоскости, либо пересекает ее, либо параллельна ей. Соответствующие иллюстрирующие чертежи выполняются учащимися в тетрадях (рис. 3). Рис. 3 Учитель обращает внимание учащихся на то, что в ходе рассмотренного доказательства получен признак параллельности прямой и плоскости, и просит его сформулировать. Учащиеся. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости1. Учитель сообщает учащимся, что в учебнике эта теорема приведена под номером 2.3 просит найти ее, прочитать доказательство и восстановить пропущенные автором учебника ссылки и обоснования. После этого учитель просит сформулировать теорему, обратную теореме 2.3, и высказать мнение, истинна ли она. Учащиеся. Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая, параллельная данной. Эта теорема истинна. Учащиеся находят следующее доказательство. Доказательство. Пусть а — данная плоскость и а — параллельная ей прямая (рис. 4). По аксиоме Ct существует точка, принадлежащая плоскости а. Обозначим эту точку через А. Точка А не принадлежит прямой а, так как, если предположить противное, получится, что прямая а и плоскость а имеют общую точку, а это противоречит условию о II а. По теореме 1.1 через прямую а и точку А проведем плоскость, которую обозначим через р. Плоскость р отлична от плоскости а, так как она содержит прямую а, параллельную а. Поскольку эта плоскость имеет с плоскостью а общую точку А, то по аксиоме С2 она пересекает ее по некоторой прямой Ь. Прямая Ъ является искомой. Действительно, прямая о лежит с прямой Ь в одной плоскости Р и не пересекает ее, так как если предположить противное, то получится, что она пересекает а, что противоречит условию а || а. Значит, по определению параллельных прямых, а \\ Ь.  Рис. 4 Далее учащиеся получают следствие из этой теоремы: если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости через любую ее точку можно провести прямую, параллельную данной. Доказательство теоремы и следствие из нее под руководством учителя записываются учащимися в тетради. III. Закрепление изученного Учитель просит нескольких учащихся подвести итог изученному на уроке. Учащиеся. На уроке введено определение параллельности прямой и плоскости; для любой плоскости доказано существование параллельной ей прямой; сформулированы и доказаны признак параллельности прямой и плоскости; теорема, обратная признаку, и следствие из этой теоремы. Учитель предлагает учащимся задачу. Задача. Прямая а параллельна плоскости а и прямой Ь, не лежащей в этой плоскости. Доказать, что прямая Ь параллельна плоскости а. Учитель просит учащихся, не принимавших активного участия в работе класса на предыдущем этапе, высказать свои предложения по решению. В результате с помощью учителя находится следующее решение задачи. Решение. Так как прямая а параллельна плоскости а, то по теореме, обратной признаку параллельности прямой и плоскости, в плоскости а существует некоторая прямая с, параллельная прямой а (рис. 5). Прямая с отлична от прямой Ь, так как с <= а, Ъ <£ а. Тогда, так как прямые Ь и с обе параллельны прямой а, по теореме 2.2 эти прямые параллельны между собой. В результате получаем, что прямая не лежит в плоскости а и параллельна прямой с, принадлежащей а. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая Ь параллельна плоскости а, что и требовалось доказать.  Рис. 5 IV. Задание на дом Учитель сообщает учащимся домашнее задание и дает указания по его выполнению. Выучить определение параллельности прямой и плоскости (учебник, § 2, п. 9, с. 13). Выучить формулировку признака параллельности прямой и плоскости (учебник, § 2, п. 9, теорема 2.3, с. 13). Выучить формулировку теоремы, обратной теореме 2.3, и следствия из нее (классная тетрадь). Решить задачу № 16 из § 2 учебника: «Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой». Тема: Параллельность прямой и плоскости.(5 ч) Урок №2 (Урок применения и закрепления и способов деятельности) I. Проверка домашнего задания Учитель спрашивает учащихся, какие теоретические вопросы были изучены на прошлом уроке, и просит дать соответствующие определения и пояснения (в случае затруднений некоторых учащихся совместно с классом проводится коррекция содержания сформировавшихся у них понятий). Учитель просит одного из учащихся представить классу найденное им решение заданной на дом задачи № 16 из § 2 учебника. В ходе ответа с классом обсуждается (и при необходимости корректируется) предложенный способ решения. Решение. Пусть а и Ь — данные скрещивающиеся прямые (рис. 6). По аксиоме 1.1 на прямой а существует некоторая точка А. Точка А не принадлежит прямой Ь, так как в противном случае прямые а и Ъ имели бы общую точку и не являлись бы скрещивающимися. По теореме 2.1 через точку А, не лежащую на прямой Ь, проведем прямую bt параллельную прямой Ъ. Прямые а и b различны, так как, если бы они совпали, прямая а оказалась параллельной прямой Ь, что противоречит тому, что до условию эти прямые скрещиваются. Тогда по аксиоме С3 через прямые а и b , имеющие общую точку А, проведем плоскость, которую обозначим через а. Плоскость а является искомой. Действительно, прямая b не принадлежит этой плоскости, так как по условию она скрещивается с b и, следовательно, не лежит с ней в одной плоскости. Поскольку прямая b параллельна прямой b1 лежащей в плоскости а, то по теореме 2.3 она параллельна плоскости а, или, что то же самое, а II b. Проведя аналогичные рассуждения относительно прямой Ь, получим, что существует плоскость р, проходящая через прямую Ь и параллельная прямой а. Учитель спрашивает мнение учащихся о единственности плоскостей, построенных в ходе решения задачи № 16. Рис. 6 Учащиеся. Плоскость, проходящая через одну из двух скрещивающихся прямых параллельно другой прямой, единственна. Опираясь на изученный материал, учащиеся находят следующее доказательство. Доказательство. Предположим противное, то есть что существует по крайней мере еще одна плоскость а', проходящая через прямую а и параллельная прямой Ъ (рис. 7). Тогда по теореме, обратной признаку параллельности прямой и плоскости, через точку А в плоскости of можно провести прямую Ь', параллельную прямой Ь. Если предположить, что прямые Ьг и Ь' различны, то получится, что через точку А, не лежащую на прямой Ь, проведены две различные прямые, параллельные Ь, что противоречит теореме 2.1.  Рис. 7 Следовательно, прямая Ь' совпадает с прямой blt и тогда получается, что плоскости а и а' обе проходят через две различные прямые а и blt имеющие общую точку А. Значит, по аксиоме С3, эти плоскости совпадают и плоскость а единственна. Проведя аналогичные рассуждения относительно плоскости р, получим, что эта плоскость также единственна. II. Применение знаний при решении задач Учитель предлагает учащимся решить задачу № 13 (1) из § 2 учебника. Задача. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найти длину отрезка А В, если АВ = 15 см, АА1 : АС = 2 : 3.Под руководством учителя учащиеся находят следующее решение задачи. Решение. По аксиоме С3 через пересекающиеся прямые АС и ВС проведем плоскость р (рис. 8). Так как точки А и В лежат соответственно на прямых АС и ВС, то они лежат в плоскости р, и тогда по теореме 1.2 прямая АВ также принадлежит плоскости р. Точки А1 В1 лежат в плоскости аир плоскости р. Следовательно, по аксиоме С2, они лежат на прямой А1В1, являющейся прямой пересечения плоскостей а и р. Прямая АВ лежит с прямой AjBj в одной плоскости р и не пересекает ее, так как если предположить противное, то она пересечет плоскость а, что противоречит тому, что по условию АВ || а. Значит, по определению параллельных прямых в пространстве, АВ || A1B1. Задача свелась к планиметрической в плоскости р.   Рис.8 Рис.9 В плоскости Р рассмотрим треугольники СА1В1 и CAB (рис. 9). Эти треугольники подобны по двум углам (угол С — общий, углы СА1В1 и CAB равны как соответственные при параллельных А1В1, АВ и секущей АС). Из подобия треугольников получаем пропорцию:  = . Так как по условию АА1: АС = 2:3,то А1С:АС = 1:3; из полученной пропорции находим А1В1 = АВ*=15* =5см.Ответ: 5 см. Учитель обращает внимание учащихся на необходимость сведения задачи к планиметрической и использования определения параллельности прямой и плоскости для доказательства параллельности отрезков A1B1 и АВ. Под руководством учителя учащиеся записывают решение задачи в классной тетради. Учитель предлагает учащимся задачу. Задача. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а, отличной от плоскости трапеции. На сторонах АВ и CD трапеции выбраны соответственно точки М и N так, что  BMN = BAD. Доказать, что прямая MN параллельна плоскости а.Учащиеся находят следующее решение задачи. Решение. По теореме 1.2 прямая MN лежит в плоскости трапеции (рис. 10). Эта прямая не лежит в плоскости а, так как если предположить, что MN а, то плоскость трапеции совпадет с а, что противоречит условию. Рис. 10 Докажем, что MN II AD. Так как углы BMN и AMN смежные, то BMN + AMN = 180°, и тогда, подставляя в эту сумму вместо угла BMN равный ему угол MAD, получим, что сумма внутренних односторонних углов AMN и MAD при прямых MN, AD и секущей АВ равна 180°, из чего по признаку параллельности прямых на плоскости следует, что MN II AD.Таким образом, прямая MN не лежит в плоскости а и параллельна прямой AD, лежащей в этой плоскости. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости MN || а, что и требовалось доказать. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при использовании признака параллельности прямой и плоскости нужно убедиться в выполнении двух условий: рассматриваемая прямая не лежит в плоскости; рассматриваемая прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости. Учитель предлагает учащимся решить задачу № 15 из § 2 учебника. Задача. Доказать, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Под руководством учителя учащиеся находят следующее решение задачи. Решение. Пусть а и Ь — данные параллельные прямые и плоскость ос пересекает прямую а в точке А (рис. 11). Предположим противное, то есть что плоскость а не пересекает прямую Ь. Прямая Ъ не лежит в плоскости а, так как в противном случае получилось бы, что прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна прямой, лежащей в плоскости1 и, следовательно, параллельна самой плоскости, что противоречит тому, что по условию она ее пересекает. Значит, b || а, и тогда по теореме, обратной признаку параллельности прямой и плоскости, в плоскости а существует некоторая прямая с,  Рис. 11 параллельная b. Прямая с отлична от прямой а, так как с а, а а пересекает а. Поскольку прямые с и а обе параллельны прямой b, то по теореме 2.2 они параллельны между собой. В результате получается, что прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна прямой с, лежащей в этой плоскости и, следовательно, параллельна плоскости а, что противоречит тому, что по условию плоскость ее пересекает. Значит, сделанное предположение неверно и плоскость а пересекает прямую Ъ, что и требовалось доказать.Учитель ограничивается устным обсуждением с учащимися решения данной задачи. Чертеж делается в классе, подробная запись со всеми объяснениями задается на дом. III. Задание на дом Учитель сообщает учащимся домашнее задание и дает указания по его выполнению. Повторить определение параллельности прямой и плоскости (учебник, § 2, п. 9, с. 13). Повторить формулировку признака параллельности прямой и плоскости (учебник, § 2, п. 9, теорема 2.3, с. 13). Повторить формулировку теоремы, обратной теореме 2.3, и следствия из нее (классная тетрадь). Записать в классную тетрадь решение задачи № 15 из § 2учебника. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
