Тема урока. Построение сечений призмы.
Цели урока. Формирование понятия сечения. Рассмотреть методы
построения сечений. Начать формировать умения построения
сечений призмы. Развитие пространственного воображения.
Оборудование. Модели призм.
Тип урока.Урок усвоения знаний.
ХОД УРОКА
1. Проверка домашнего задания
а) Проверка выполнения решений задач из домашнего задания проводиться путем беседы, используя чертежи к задачам, подготовленные на доске до начала урока.
В четырехугольной пирамиде каждое ребро равно а. Найдите площадь ее поверхности.
S
Решение
     Δ SАD = Δ SDС = Δ SСВ = Δ SВА
(по трем сторонам) Sбок = 4·SΔSАД, где SΔSАD =  .
С
В
     Значит Sбок = 4· = 
А
D
O
Sполн = Sосн + Sбок , где
 Sосн = а2 ( т.к. АВСD – квадрат)
Sполн = 
Ответ: 
В основании прямой призмы лежит ромб. Боковое ребро призмы равно 40 см, а диагонали ее равны 50 и 41 см. Найти боковую поверхность призмы.
С1
  Решение
40 Из ΔАСС1: АС =  = 30 (см)
С
Из ΔDВВ1: ВD =  = 9 (см)
АО = ½ АС; ОД = ½ ВД (по свойству
диагоналей ромба)
Из ΔАОD ( О = 900, т.к. АС  ВD) АD =  =  =  (см)
Росн = 4·АD =  (см)
Sбок = Росн·Н, где Н = АА1
Sбок = 
Ответ: 240  см2
б) Фронтальный опрос
Знание теоретического материала помогает нам правильно изобразить фигуру, данную в условии, поэтому давайте с вами вспомним:
Какая фигура называется призмой?
Каких видов бывают призмы?
Какая призма называется прямой?
Каких видов бывают прямые призмы?
Какая призма называется правильной?
Назовите примеры правильных многоугольников?
Какой отрезок называется диагональю призмы?
Что называется высотой призмы?
2. Активизация мыслительной деятельности
Во время проверки домашнего задания и фронтального опроса один ученик за доской выполняет необходимые записи к решению задачи, полученной на карточке. Это же задание получают еще несколько учащихся.
С1
Карточка
С
α
Дана правильная четырехугольная призма,
диагональ основания которой равна d, а
диагональ призмы образует с боковым
ребром угол α. Найти площадь
диагонального сечения, площадь основания
призмы и площадь боковой поверхности.
Решение
Из ΔВ1ВD: ВВ1 = d ctg α
Sдиаг.сеч. = ВD ⋅ВВ1 = d2 ctg α
Основание – квадрат, следовательно Sосн. = ½ ВD2 = 
Из ΔАВD (А = 900, т.к. АВСD - квадрат), где ВDА = 450, АВ = ВD·sin 450 = d·
Pосн. = 4·АВ = 4·
Sбок = Pосн.∙Н, где Н = ВВ1
Sбок = 
Ответ: 1) Sосн. =
2) Sдиаг.сеч. = d2ctgα
3) Sбок = 
После окончания фронтального опроса и сдачи тетрадей с индивидуальным заданием, учитель вместе с учащимися производят детальный разбор задачи, выполняемой на доске в полуустной форме.
Мотивация изучения нового материала
При изучении стереометрии вы углубляете свои знания о пространстве, о фигурах и телах, их размещении в пространстве, развиваете пространственное воображение, которое так необходимо будущим специалистам в разных областях науки: начертательной геометрии, для изготовления деталей машин, архитектуре, в строительном деле, инженерии и т.д.
Именно развитие пространственного воображения есть главное задание геометрии. А большую роль в достижении этой цели играют задачи на построение.
Учитель сообщает тему и цели урока.
Объяснение нового материала
В стереометрии часто приходится рассматривать сечения тел (на примере призм) разными плоскостями.
Сечением выпуклого многоугольника есть выпуклый многоугольник, вершины которого – есть точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторона – отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.
Мы уже знакомы с диагональным сечением призмы – сечение призмы плоскостью, которая проходит через два боковых ребра не принадлежащих одной грани.
Способы задания сечений разнообразные и универсального метода их построения не существует. Наиболее эффективными методами есть метод следов и метод внутреннего проектирования.
Рассмотрим каждый из них
Метод следов
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника.
Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называется следом секущей плоскости.
Ясно, что секущая плоскость имеет столько следов, сколько граней она пересекает.
Суть метода заключается в:
построении следов;
нахождении точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника;
построении сечений
Н апример:
В1
В
К
Построить сечение треугольной призмы
плоскостью, которая проходит через три точки
К, М, и N, которые лежат соответственно на
ребрах СВ, А1В1 и АС.
Построение
а) NK – cлед (MNK) на (АВС)
Х – точка пересечения прямых NK и АВ
б
М
) МХ – cлед (MNK) на (АВВ1)
А1
     
В1
 
С1
L
А
  
В
Х
N
K
С
в) продлим ребро АА1
L – точка пересечения прямых МХ и ВВ1
У – точка пересечения МХ и прямой АА1
г) УN – след (MNK) на (АА1С1)
F – точка пересечения прямой УN и ребра А1С1
 
У
А1
М
В1
F
L
С1
В
  
Х
А
N
K
С
Р
ешение задач
Дан куб АВСDА1В1С1D1 и на его ребре DD1 лежит точка М. Найдите точку пересечения прямой С1М и плоскости основания.
Д
В1
С1
В1
С1
ан куб АВСDА1В1С1D и точка М на ребре DD1. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точки А1, С1 и М и найдите линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания.
А1
      1) Ответы: 2)
 
D1
C
М
В
А
D
Х
Х
Х – искомая точка А1С1М – искомое сечение, ХУ – линия пересечения
(А1С1М) с плоскостью основания
2. Метод внутреннего проектирования
Это метод применяется тогда, когда неудобно находить след следующей плоскости (например: след находится очень далеко от фигуры).
Суть метода заключается:
Данные точки проектируются на плоскость основания, в плоскости основания строится четырехугольник, у которого три вершины – точки проекции, а вершина – одна из вершин основания.
В плоскости сечения строится прообраз точки пересечения диагоналей четырехугольника.
Строятся точки пересечения секущей плоскости с ребрами.
Н апример:
Построить сечение четырёхугольной
призмы плоскостью, которая проходит
через точки М, N и P, которые лежат на
боковых ребрах AA1, BB1 и CC1
Построение
       
D1
А1
А
В
D
В1
      Спроецируем точки M, N и P на
О1
плоскость нижнего основания,
С1
Q
получим точки А,В,С.
     
Х
В четырехугольнике АВСD проведем
С
N
P
 диагонали АС и ВD, которые
пересекаются в точке О.
Через О проведем прямую ОО1 || ВВ1,
пересечет МР в точке Х. В плоскости ВВD проведем прямую NX, которая пересекает DD1 в точке Q.
MNPQ – искомое сечение
Решение задач
Точки K,L и M лежат в разных гранях произвольной четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1, причем К є АА1В1В, L є ВВ1С1С, М є СС1D1D. Построить сечение плоскостью KLM.
О
А1
D1
твет:
   
   5. Постановка домашнего задания
К
М
В1
С1
 & 5, п. 41; контрольные вопросы
 
D
А
№ 13-14; задачи № 7,10
L
В
С
6. Подведение итогов урока
Вопросы к классу
Какой фигурой является диагональное сечение призмы?
Какая фигура является сечением призмы плоскостью параллельной основаниям?
Какие методы построения сечений вам известны? В чем их суть?
|
