Тема 5. Индексы
Методические указания по теме
Задача 1. Имеются следующие данные о продажах торговой точкой двух видов товара:
ТоварЦена за кг, руб.Объем продаж, тыс. кгЯнварьФевральЯнварьФевральАпельсины2018100160Бананы2225150120Определить: 1) индивидуальные индексы цен, физического объема и выручки; 2) общие индексы цен, физического объема и выручки; 3) абсолютное изменение выручки за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж (для каждого фактора в отдельности) по всей продукции и по каждому товару в отдельности. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.
Решение. В основе решения задачи лежит формула ( ):
Q = pq, ( )
где p – цена товара, q – физический объем (количество), Q – выручка (товарооборот).
Применив формулу ( ) к нашей задаче, рассчитаем выручку по каждому товару в январе (Q0j) и феврале (Q1j) в таблице 0.
Таблица 0. Расчет выручки и ее изменения по каждому товару
Товар
jЯнварь
Q0jФевраль
Q1jИзменение выручки
Qj= Q1j– Q0jАпельсины20*100 = 200018*160 = 2880880Бананы22*150 = 330025*120 = 3000-300Итого53005880580Из таблицы видно, что абсолютное изменение общей выручки составило:
 = ∑Q1–∑Q0 = 5880-5300 = 580 тыс. руб., то есть она выросла на 580 тыс. руб.
Общий индекс изменения выручки равняется:
= ∑Q1/∑Q0 = 5880/5300 = 1,1094, то есть выручка от продажи фруктов увеличилась в 1,1094 раза или на 10,94% в феврале по сравнению с январем.
Определим индивидуальные индексы цен (ip), физического объема (iq), выручки (iQ) и доли товара (id) по формуле ( ), используя в качестве Xi цены (p), физический объем (q), выручки (Q) и доли товара (d=q/∑q) каждого вида фруктов соответственно. Результаты расчетов представим в таблице 0.
Таблица 0. Расчет индивидуальных индексов
Индивидуальный индексапельсиныбананыколичества iq160/100 = 1,6120/150 = 0,8отпускных цен ip18/20 = 0,925/22 = 1,136выручки iQ2880/2000=1,443000/3300=0,909доли товара id(160/280)/(100/250) = 1,429(120/280)/(150/250) = 0,714Правильность выполненных расчетов проверяется следующим образом:
1) общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных (по каждому товару в отдельности) изменений: = 880+(-300) = 580 (тыс. руб.);
2) произведение факторных индивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки: iQА=1,6*0,9 =1,44; iQБ= 0,8*1,136 = 0,909.
Из таблицы видно, что в феврале по сравнению с январем:
– количество проданных апельсинов увеличилось в 1,6 раза или на 60%, а бананов – уменьшилось в 0,8 раза или на 20%;
– цена апельсинов понизилась в 0,9 раза или на 10%, а бананов – повысилась в 1,136 раза или на 13,6%;
– выручка по апельсинам выросла в 1,44 раза или на 44%, а по бананам – снизилась в 0,909 раза или на 9,1%;
– доля проданных апельсинов увеличилась в 1,429 раза или на 42,9%, а бананов – уменьшилась в 0,714 раза или на 28,6%.
Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле Error: Reference source not found:
= (2)
В нашей задаче == 5840/5300 = 1,10189, то есть количество проданных фруктов в базисных (январских) ценах выросло в 1,10189 раза или на 10,189% в феврале по сравнению с январем.
Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле Error: Reference source not found:
= (2)
В нашей задаче = = 5880/5840 = 1,00685, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж отчетного (февральского) периода выросла в 1,00685 раза или на 0,685% в феврале по сравнению с январем.
Контроль осуществляется по формуле: IQ = = 1,10189*1,00685 = 1,1094.
Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле Error: Reference source not found:
= (2)
В нашей задаче = = 5550/5300 = 1,04717, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж базисного (январского) периода выросла в 1,04717 раза или на 4,717% в феврале по сравнению с январем.
Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле Error: Reference source not found:
= (2)
В нашей задаче = 5880/5550 =1,05946, то есть количество проданных фруктов в отчетных (февральских) ценах выросло в 1,05946 раза или на 5,946% в феврале по сравнению с январем.
Контроль осуществляется по формуле: IQ = = 1,04717*1,05946 =1,1094.
Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле (2) для количества товаров и по формуле (2) – для цен:
= (2) = (2)
В нашей задаче ==1,0805, то есть в среднем количество проданных фруктов выросло в 1,0805 раза или на 8,05%; ==1,0268, то есть в среднем цена проданных фруктов выросла в 1,0268 раза или на 2,68%.
Далее выполняется факторный анализ общей выручки. В его основе лежит следующая трехфакторная мультипликативная модель выручки:
IQ =, ( )
где =, – индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданных фруктов в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Он определяется по формуле ( ):
==. ( )
В нашей задаче == 0,9838, то есть структурный сдвиг должен был уменьшить отчетную выручку в базисных ценах в 0,9838 раза или на 1,62%.
Тогда изменение выручки за счет изменения общего количества фруктов определяется по формуле ( ):
=. ( )
В нашей задаче = (1,12-1)*5300 = 636 (тыс. руб.), то есть изменение количества проданных фруктов увеличило выручку на 636 тыс. руб.
Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов находится по формуле ( ):
=. (2)
В нашей задаче = 1,12*(0,9838-1)*5300 = –96 (тыс. руб.), то есть структурный сдвиг в количестве проданных фруктов уменьшил выручку на 96 тыс. руб.
Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен рассчитывается по формуле ( ):
=. (2)
В нашей задаче =1,12*0,9838*(1,00685-1)*5300 = 40 (тыс. руб.), то есть изменение цен на фрукты увеличило выручку на 40 тыс. руб.
Контроль правильности расчетов производится по формуле (2), согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за счет каждого фактора в отдельности.
=-=++. (2)
В нашей задаче = 636 + (–96) + 40 = 580 тыс. руб.
Результаты факторного анализа общей выручки заносятся в последнюю строку факторной таблицы 0.
Таблица 0. Результаты факторного анализа выручки
Товар
jИзменение выручки,
тыс. руб.В том числе за счетколичества продуктаструктурных сдвиговотпускных ценА880240960–320Б-300396–1056360Итого580636–9640Наконец, ведется факторный анализ изменения частной (по каждому j-му товару в отдельности) выручки на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели:
=. (2)
Тогда изменение частной выручки за счет каждого из 3-х факторов (количество, структурный сдвиг и цена) по j-му виду товара определяется соответственно по формулам ( ) – ( ).
=; ( )
=; ( )
=. ( )
Так, по апельсинам изменение выручки за счет первого фактора (изменения общего количества проданных фруктов) по формуле ( ) равно:
=(1,12-1)*2000 = 240 (тыс. руб.).
Аналогично по бананам: = (1,12-1)*3300 = 396 (тыс. руб.)
Контроль правильности расчетов:
= , то есть 240 + 396 = 636 (тыс. руб.).
Так, по апельсинам изменение выручки за счет второго фактора (структурных сдвигов в количестве проданных фруктов) по формуле ( ) равно:
=1,12*(1,429-1)*2000 = 960 (тыс. руб.).
Аналогично по бананам: =1,12*(0,714-1)*3300 = –1056 (тыс. руб.).
Контроль правильности расчетов:
=, то есть 960 + (–1056) = –96 (тыс. руб.).
И, наконец, по апельсинам изменение выручки за счет 3-го фактора (изменения отпускной цены) по формуле ( ) равно:
=1,12*1,429*(0,9-1)*2000 = –320 (тыс. руб.).
Аналогично по бананам: =1,12*0,714*(1,136-1)*3300 = 360 (тыс. руб.).
Контроль правильности расчетов:
= , то есть (–320) + 360= 40 (тыс. руб.)
Результаты факторного анализа частной выручки также заносятся в таблицу 0, в которой все числа оказались взаимно согласованными.
Контрольные задания по теме
Имеются следующие данные о продажах минимаркетом 3-х видов товаров (A, B и C):
ТоварЦена за единицу продукта, руб.Объем продаж, тыс. штук
1 квартал2 квартал1 квартал2 квартал
1 вариант
А102105205195
В5651380423
С2630510490
2 вариант
А112109202260
В5148365420
С2226477316
3 вариант
А99103198182
В5559370361
С2018502456
4 вариант
А99109188182
В5556380385
С2021508444
5 вариант
А120110170220
В6058350390
С1920550490
ТоварЦена за единицу продукта, руб.Объем продаж, тыс. штук1 квартал2 квартал1 квартал2 кварталвариантА130125138198В5056339264С2021613511вариантА107110220189В4644490550С1820720680вариантА9598264197В4850360294С2625448640вариантА8992360294В5856410482С242555859310 вариантА120125150108В4446513461С1619891550
Определить:
Индивидуальные индексы цен, физического объема и товарооборота;
Общие индексы цен, физического объема и товарооборота;
Абсолютные приросты товарооборота за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж (для каждого фактора в отдельности) по всей продукции и по каждому товару в отдельности.
По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.
Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязей Методические указания по теме
Задача 1. По условным данным таблицы 0 о стоимости основных фондов х и валовом выпуске продукции у (в порядке возрастания стоимости основных фондов) выявить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y.
Таблица 0. Стоимость основных фондов и валовой выпуск по 10 однотипным предприятиям
Предприятия
iОсновные производственные
фонды, млн. руб.
xiВаловой выпуск
продукции, млн. руб.
yi1
2
3
4
5
6
7
8
9
1012
16
25
38
43
55
60
80
91
10028
40
38
65
80
101
95
125
183
245–
–
–
–
–
+
+
+
+
+–
–
–
–
–
+
–
+
+
+Итого5201000Решение. Для выявления наличия и характера корреляционной связи между двумя признаками в статистике используется ряд методов.
1. Графический метод, когда корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Соединяя последовательно нанесенные точки, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии (см. рисунок справа). Анализируя эту линию, визуально можно определить характер зависимости между признаками x и y. В нашей задаче эта линия похожа на восходящую прямую, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии прямой зависимости между величиной основных фондов и валовым выпуском продукции.
2. Рассмотрение параллельных данных (значений x и y в каждой из n единиц). Единицы наблюдения располагают по возрастанию значений факторного признака х и затем сравнивают с ним (визуально) поведение результативного признака у. В нашей задаче в большинстве случаев по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y (за несколькими исключениями – 2 и 3, 6 и 7 предприятия), поэтому, можно говорить о прямой связи между х и у (этот вывод подтверждает и эмпирическая линия регрессии). Теперь необходимо ее измерить, для чего рассчитывают несколько коэффициентов.
3. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) – простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений () и (), а их знаки («+» или «–»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:
. (2)
Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадут, то КФ=1, что характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадут, то КФ=–1 (обратная связь). Если же С=Н, то КФ=0. Итак, как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. Однако, если КФ=1, то это ни в коей мере нельзя воспринимать как свидетельство функциональной зависимости между х и у.
В нашей задаче ; .
В двух последних столбцах таблицы 0 приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков – 9, а несовпадений – 1. Отсюда КФ==0,8. Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует сильную зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку КФ зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.
4. Линейный коэффициент корреляции применяется в случае линейной зависимости между двумя количественными признаками x и y. В отличие от КФ в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:
и .
Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:
, (2) или . ( )
Числитель формулы (2) или . ( ), деленный на n, т.е. , представляет собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, именуемое ковариацией. Поэтому можно сказать, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений. Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:
. (2)
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Например, если , то r по формуле (2) или . ( ) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.
В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу 0.
Таблица 0. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции
ixiyitxtytx ty1122816005184-1,36526-1,100321,50222328833,62164012963600-1,22873-0,916931,12666721664325387293844-0,92155-0,94750,873167167,495438651961225-0,47784-0,534880,255587492475438081400-0,30718-0,305640,09388918344655101910,1023940,0152820,0015650,3555,57609564250,273052-0,07641-0,02086-45708801257846250,9556810,3820560,365124701000991183152168891,3311281,2684251,688436323,71665,3101002452304210251,6383112,2159243,6303736962450Итого52010008584428189,5161661824,47024,4В нашей задаче: = =29,299; ==65,436. Тогда по формуле (2) или . ( ) r = 9,516166/10 = 0,9516. Аналогичный результат получаем по формуле (2) или . ( ): r = 1824,4/(29,299*65,436) = 0,9516 или по формуле (2) или . ( ): r = (7024,4 – 52*100) / (29,299*65,436) = 0,9516, то есть связь между величиной основных фондов и валовым выпуском продукции очень близка к функциональной.
Проверка коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σr. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .
Существуют некоторые особенности расчета σr в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) – n.
Если число наблюдений достаточно велико (n>30), то σr рассчитывается по формуле (2):
. (2)
Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные пределы (границы) r = (), где t – коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа (см. таблицу 0).
Если число наблюдений небольшое (n<30), то σr рассчитывается по формуле (2):
, (2)
а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (2) и сопоставляется c tТАБЛ.
. (2)
Табличное значение tТАБЛ находится по таблице распределения t-критерия Стьюдента (см. приложение 2) при уровне значимости α=1-β и числе степеней свободы ν=n–2. Если tРАСЧ> tТАБЛ , то r считается значимым, а связь между х и у – реальной. В противном случае (tРАСЧ< tТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.
В нашей задаче число наблюдений небольшое, значит, оценивать существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции будем по формулам (2) и (2): = 0,3073/2,8284 = 0,1086; = 0,9516/0,1086 = 8,7591. При вероятности 95% tтабл=2,306, а при вероятности 99% tтабл=3,355, значит, tРАСЧ> tТАБЛ, что дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0,9516 значимым.
5. Подбор уравнения регрессии представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как вероятностную гипотетическую функциональную связь величины результативного признака у со значениями факторного признака х.
Уравнение регрессии можно также назвать теоретической линией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими. Они обычно обозначаются (читается: «игрек, выравненный по х») и рассматриваются как функция от х, т.е. = f(x). (Иногда для простоты записи вместо пишут .)
Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, — одна из основных задач регрессионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей.
Для аналитической связи между х и у могут использоваться следующие простые виды уравнений:
– прямая линия; – парабола;
– гипербола; – показательная функция;
– логарифмическая функция и др.
Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной), а все остальные — криволинейными зависимостями.
Выбрав тип функции, по эмпирическим данным определяют параметры уравнения. При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, при которых рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака были бы максимально близки к эмпирическим данным.
Существует несколько методов нахождения параметров уравнения регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.
.
Поставив данное условие, легко определить, при каких значениях , и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной. Данный метод уже использовался нами в методических указаниях к теме 4 «Ряды динамики», поэтому, воспользуемся формулой ( ) для нахождения параметров теоретической линии регрессии в нашей задаче, заменив параметр t на x.
( )
Исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 0.
Таблица 0. Вспомогательные расчеты для решения задачи
ixyx*xy*xy'1122814433615518472252164025664023,536005852,253253862595042,62538443291,891438651444247070,251225885,0625543801849344080,875400365,765665510130255555106,375140,64063760953600570011725289880125640010000159,56253540,25991183828116653182,87568896868,2661010024510000245002022102510404Итого5201000356247024410004281838762,125
; ; ;
; ; ; =100–52*2,125 = – 10,5.
Отсюда искомая линия регрессии:=–10,5+2,125x. Для иллюстрации построим график эмпирической (маркеры-кружочки) и теоретической (маркеры-квадратики) линий регрессии.
Рис.6. График эмпирической и теоретической линий регрессии.
6. Теоретическое корреляционное отношение представляет собой универсальный показатель тесноты связи. Измерить тесноту связи между коррелируемыми величинами – это значит определить, насколько вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного признака. Ранее были рассмотрены показатели, с помощью которых можно выявить наличие корреляционной связи между двумя признаками x и y и измерить тесноту этой связи: коэффициент Фехнера и линейный коэффициент корреляции.
Наряду с ними существует универсальный показатель – корреляционное отношение (или коэффициент корреляции по Пирсону), применимое ко всем случаям корреляционной зависимости независимо от формы этой связи. Следует различать эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е.
. (2)
Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. представляет собой относительную величину, получаемую в результате сравнения среднего квадратического отклонения в ряду теоретических значений результативного признака со средним квадратическим отклонением в ряду эмпирических значений. Если обозначить дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , то каждая из них выразится формулами:
, (2)
. (2)
Сравнивая вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации:
, (2)
который показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y. Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение:
. (2)
Оно может находиться в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь между вариацией y и x. При <0,3 говорят о малой зависимости между коррелируемыми величинами, при 0,3<<0,6 – о средней, при 0,6<<0,8 – о зависимости выше средней, при >0,8 – о большой, сильной зависимости. Корреляционное отношение применимо как для парной, так и для множественной корреляции независимо от формы связи. При линейной зависимости .
В нашей задаче расчет необходимых сумм для использования в формуле (2) приведен в последних двух столбцах таблицы 0. Тогда теоретический коэффициент детерминации по формуле (2) равен:2теор = 38762,125 / 42818 = 0,9053, то есть дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y, составляет 90,53%.
Теоретическое корреляционное отношение по формуле (2) равно: теор== 0,9515, что совпадает со значением линейного коэффициента корреляции и, следовательно, можно говорить о большой, сильной зависимости между коррелируемыми величинами.
Контрольные задания по теме
На основе исходных данных контрольных заданий по теме 2 определить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y 6-ю методами.
|
