Тема 1. Предмет и задачи курса. Основные статистические понятия. Условия и теорема Гаусса-Маркова.
Занятие 1.
1) Расчет дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента корреляции в среде Microsoft Office Excel.
2) Исследование статистической значимости коэффициента корреляции с использованием t-критерия Стьюдента в среде Microsoft Office Excel.
3) Повторение действий с матрицами в среде Microsoft Office Excel.
Тема 2. Метод наименьших квадратов. Парная линейная регрессия. Анализ, построенной модели.
Занятие 2.
Определение параметров уравнения линейной регрессии, остатков и суммы квадратов остатков, стандартных ошибок параметров, t-статистик параметров, доверительных интервалов параметров, TSS, RSS, ESS, коэффициента детерминации, F-статистики с использованием пакета анализа среды Microsoft Office Excel.
Анализ значимости параметров уравнения и качества подбора уравнения, точечный прогноз математического ожидания зависимой переменной по уравнению регрессии, расчет доверительного интервала для математического ожидания зависимой переменной, расчет доверительного интервала для отдельного значения зависимой переменной.
Занятие 3.
Определение параметров уравнения линейной регрессии в матричной форме с использованием математических функций среды Microsoft Office Excel.
Определение остатков и суммы квадратов остатков, стандартных ошибок параметров, t-статистик параметров, доверительных интервалов параметров, TSS, RSS, ESS, коэффициента детерминации, F-статистики с использованием математических и статистических функций среды Microsoft Office Excel.
Анализ значимости параметров уравнения и качества подбора уравнения, точечный прогноз математического ожидания зависимой переменной по уравнению регрессии, расчет доверительного интервала для математического ожидания зависимой переменной, расчет доверительного интервала для отдельного значения зависимой переменной.
Тема 3. Спецификация переменных в уравнениях регрессии.
Занятие 4.
Моделирование ситуации, когда в модель не включена значимая объясняющая переменная.
Моделирование ситуации, когда в модель включена незначимая объясняющая переменная.
Тема 4. Автокорреляция случайных возмущений
Занятие 5.
1) Определение параметров уравнения обычным МНК.
2) Расчет статистики Дарбина-Уотсона.
3) Процедура Кохрана-Оркатта.
4) Обобщенный метод наименьших квадратов, формула Эйткена.
5) Прогнозирование в случае автокорреляции.
Тема 5. Гетероскедастичность.
Занятие 6.
1) Нахождение параметров уравнения обычным МНК.
2) Тест Голдфелда-Квандта.
3) Взвешенный метод наименьших квадратов.
4) Обобщенный метод наименьших квадратов.
5) Прогнозирование в случае гетероскедастичности.
Тема 6. Мультиколлинеарность.
Занятие 8.
1) Расчет парных коэффициентов корреляции.
2) Расчет частных коэффициентов корреляции.
3) «Ридж-регрессия».
4) Процедура последовательного исключения переменных.
Тема 7. Независимые фиктивные переменные. Зависимые дискретные переменные.
Занятие 9.
Расчет параметров модели линейной регрессии, содержащей обычные и фиктивные объясняющие переменные.
Бинарные результативные показатели, логит- модель.
Бинарные результативные показатели, пробит- модель.
Тема 8. Нелинейные модели в Microsoft Office Excel. Преобразования Бокса-Кокса и Зарембки.
Занятие 10.
1) Оценка параметров гиперболической модели.
2) Оценка параметров степенной модели.
3) Оценка параметров показательной модели.
Оценка параметров полиномиальной модели.
Производственная функция Кобба-Дугласа.
Занятие 11.
Преобразование Бокса-Кокса.
Выбор формы модели.
Тема 9. Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические модели.
Занятие 12.
1) Оценка параметров уравнения тренда в среде Microsoft Office Excel.
2) Прогнозирование. Доверительный интервал.
3) Моделирование тренда и сезонных колебаний с использованием фиктивных переменных.
Занятие 13.
1) Оценка параметров модели с распределенными лагами. Метод последовательного увеличения количества лагов.
2) Полиномиально распределенные лаги Алмон.
3) Модель авторегрессии, метод инструментальных переменных.
Тема 10. Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA.
Занятие 14.
Моделирование процессов AR,MA, ARMA.
Вычисление автокорреляционной и частной автокорреляционной функции. Кореллограмма.
3) Оценка параметров процессов.
Занятие 15.
1) Процесс ARIMA.
Тема 11. Системы одновременных уравнений.
Занятие 16.
1) Идентификация отдельных уравнений и системы одновременных уравнений.
2) Оценка параметров системы невзаимосвязанных и рекурсивных систем уравнений.
Занятие 17.
Косвенный метод наименьших квадратов.
Занятие 18.
1) Двухшаговый метод наименьших квадратов.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студентов предполагает углубленное изучение студентами теоретического материала по актуальным вопросам дисциплины. Рекомендуется самостоятельное изучение доступной учебной и научной литературы.
Самостоятельно изученные теоретические материалы могут быть представлены в виде научных работ, рефератов, контрольных работ, которые затем обсуждаются на практических занятиях.
Текущий контроль знаний осуществляется в различных формах и видах, предусмотренных в тематическом плане п.4., табл. 2.
При изучении материала следует руководствоваться рабочим планам, методическими рекомендациями, рекомендованной литературой. Для овладения знаниями самостоятельная работа студентов предполагает чтение текста лекций, основной и дополнительной литературы, конспектирование, работу со словарями, справочниками, использование электронных ресурсов. Для закрепления и систематизации материала необходима работа с конспектом лекций, повторение, работа над учебным материалом, составление плана и тезисов ответа, ответы на контрольные вопросы, самотестирование и т.д. Контрольная работа представляется в срок, определенный графиком учебного процесса.
С целью итогового контроля знаний проводится экзамен, к которому допускаются студенты, набравшие необходимое количество баллов.
Темы контрольных работ:
Определение параметров и анализ уравнения линейной регрессии с использованием пакета анализа среды Microsoft Office Excel.
Определение параметров и анализ уравнения линейной регрессии в матричной форме с использованием математических и статистических функций среды Microsoft Office Excel.
Автокорреляция случайных возмущений. Тест Дарбина-Уотсона. Процедура Кохрана-Оркатта. Обобщенный метод наименьших квадратов. Прогнозирование.
Гетероскедастичность случайных возмущений. Тест Голдфелда-Квандта. Взвешенный метод наименьших квадратов. Обобщенный метод наименьших квадратов. Прогнозированпие.
Мультиколлинеарность. Частный коэффициент корреляции. «Ридж-регрессия».
Процедура последовательного исключения переменных.
Процедура последовательного присоединения переменных.
Применение фиктивных независимых переменных. Дискретные зависимые переменные.
Оценка параметров нелинейных моделей сводящихся к линейным.
Оценка параметров уравнения тренда. Прогнозирование.
Аддитивная модель тренда и сезонных колебаний с применением фиктивных переменных.
Мультипликативная модель тренда и сезонных колебаний с применением фиктивных переменных.
Модель с распределенными лагами.
Авторегрессионная молель, метод инструментальных переменных.
Стационарный временной ряд. Авкорреляционная и частная автокорреляционная функции.
Оценка параметров случайного процессов AR, MA, ARMA.
Косвенный метод наименьших квадратов.
Двухшаговый метод наименьших квадратов.
Образец решения задачи с применением среды пакета анализа данных программы Microsoft Office Excel
Предполагается, что студенты знакомы с основами эконометрики. Поэтому для получения уравнений регрессии и его анализа можно использовать специальные программы. Самым простым и повсеместно распространенным является пакет анализа данных Microsoft Office Excel, который перед использованием необходимо активировать.
Задача.
Пусть объем предложения некоторого блага  фирмы линейно зависит от цены  и заработной  сотрудников, производящих данное благо (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Данные для множественной линейной регрессии
|
20
|
35
|
30
|
45
|
60
|
69
|
75
|
90
|
105
|
110
|
|
10
|
15
|
20
|
25
|
40
|
37
|
43
|
35
|
38
|
55
|
|
12
|
10
|
9
|
9
|
8
|
8
|
6
|
4
|
4
|
5
|
Сначала необходимо набрать в среде Microsoft Office Excel 2007 (или использовать предыдущие версии) исходные данные (рис. 7.1). На панели инструментов выбрать: «Данные», «Анализ данных». В открывшемся окне выбрать функцию «Регрессия», «ОК».
Затем (рис. 7.2) задать входные интервалы зависимой и объясняющих переменных (вместе с заголовками, если поставлен флажок «Метки»). Задать уровень надежности 99% (результаты с уровнем надежности 95% программа выдает автоматически). Можно на экран монитора вывести остатки, если поставить соответствующий флажок. Ввести команду «ОК».
На экране появится таблица результатов (рис. 7.3).
Рис. 7.1. Исходные данные
Рис. 7.2. Выбор входных интервалов
Рис. 7.3. Вывод итогов
Проанализируем результаты расчетов. Подставляя коэффициенты уравнения в уравнение регрессии, после округлений получим:
 .
Таблица 7.2
ВЫВОД ИТОГОВ
|
|
|
|
Регрессионная статистика
|
Множественный R
|
0,967477958
|
R-квадрат
|
0,936013599
|
Нормированный R-квадрат
|
0,91773177
|
Стандартная ошибка
|
9,034285327
|
Наблюдения
|
10
|
Дисперсионный анализ
|
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
Регрессия
|
2
|
8357,57182
|
4178,78591
|
51,19912236
|
6,62685E-05
|
Остаток
|
7
|
571,3281796
|
81,61831137
|
|
|
Итого
|
9
|
8928,9
|
|
|
|
|
Коэффици-енты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Y-пересе-чение
|
95,46900084
|
24,42737186
|
3,90827967
|
0,005836338
|
x1
|
0,818475506
|
0,360586468
|
2,269845316
|
0,057490603
|
x2
|
-7,67953626
|
1,878014551
|
-4,089178253
|
0,004635756
|
Нижние 95%
|
Верхние 95%
|
Нижние 99,0%
|
Верхние 99,0%
|
37,70744495
|
153,2305567
|
9,985821009
|
180,9521807
|
-0,034176001
|
1,671127014
|
-0,443390817
|
2,08034183
|
-12,12033501
|
-3,23873751
|
-14,25161681
|
-1,107455708
|
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии равны:
 ;  ;  .
Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии с  объясняющими переменными проверяется на основе t -статистики:
 ,
имеющей в данной ситуации распределение Стьюдента с числом степеней свободы  ( — объем выборки, — количество объясняющих переменных в модели). При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение  -статистики сравнивается с критической точкой  распределения Стьюдента. -статистики параметров уравнения равны:
 ;  ; 
В нашем случае при   . Для коэффициентов  и  абсолютная величина  -статистики превосходит критическое значение, следовательно, эти коэффициенты статистически значимо отличны от нуля.
Статистическую значимость коэффициентов можно исследовать с помощью  -значения. Данная величина соответствует уровню значимости фактической -статистики коэффициента. Таким образом, если -значение меньше заданного уровня значимости, то коэффициент статистически значимо отличен от нуля. Например, -значение для коэффициента  равно 0,005836338. Это число меньше, чем 0,05 или 0,01. Отсюда следует, что данный коэффициент статистически значимо отличен от нуля.
Доверительный интервал, накрывающий с надежностью  неизвестное значение параметра  , определяется неравенством
 ,
где - критическая точка распределения Стьюдента с числом степеней свободы ( – объем выборки, – количество объясняющих переменных в модели) и уровнем доверия  . Если в начальных настройках пакета анализа данных Microsoft Office Excel указать, что уровень надежности равен 99% (уровень значимости равен 1%), то в итоговой таблице выводятся доверительные интервалы для уровней значимости 0,01(1%) и 0,05 (5%). Например, заголовки - нижние 95% и верхние 95% соответствуют левой и правой границам доверительных интервалов коэффициентов. Следовательно, доверительные интервалы при уровне значимости 95% имеют вид:
 ;
 ;
 .
После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации:
 .
Согласно таблице 7.2 он равен  . Рассматривают также скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации:
 ,
где  - количество наблюдений,  - число объясняющих переменных. Согласно таблице 7.2 он равен  .
С ростом значения скорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем (обычный) коэффициент детерминации. Доказано, что  увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда -статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Обычно приводятся данные как по  , так и по , являющиеся суммарными мерами общего качества уравнения регрессии. Однако не следует абсолютизировать значимость коэффициентов детерминации. Существует достаточно примеров неправильно специфицированных моделей, имеющих высокие коэффициенты детерминации. Поэтому коэффициент детерминации рассматривается лишь как один из ряда показателей, который нужно проанализировать, чтобы уточнить строящуюся модель.
После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов. На практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации :
Для проверки данной гипотезы используется следующая  -статистика:
 .
При выполнении предпосылок МНК построенная -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы  . Поэтому, если при требуемом уровне значимости  - критическая точка распределения Фишера, то  отклоняется в пользу  . Это означает, что объясненная дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной . Если  , то нет оснований для отклонения . Значит, что объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, следовательно, общее качество модели невысоко.
Согласно таблице 7.2 -статистика равна 51,199. В данной таблице также приведена значимость -статистики 6,62685E-05 = 0,0000662685. Если значимость -статистики меньше критического значения 0,05, то -статистика значимо больше нуля, а полученное уравнение хорошо описывает имеющиеся данные.
Рассмотрим часть таблицы 7.2, относящуюся к дисперсионному анализу. Общее число степеней свободы  , число объясненных степеней свободы  , число необъясненных степеней свободы  . Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной  , Объясненная уравнением регрессии сумма квадратов отклонений зависимой переменной  . Остаточная сумма квадратов отклонений зависимой переменной  . В столбике, озаглавленном  , результаты получены делением соответствующей суммы квадратов отклонений на число степеней свободы. |
