2.6.Критерий Байеса-Лапласа.
Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:
ZBL= .
Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).
Возвращаясь к нашей таблице 1 предположим, что q1=0.4, q2=0.2 и q3=0.4. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа таблицу 1 дополняем столбцом математических ожиданий и среди этих значений выбираем максимальное. Получим таблицу 13.
Таблица 13.
B
X
|
В1
|
В2
|
В3
|
аir
|
|
X1
|
1
|
10
|
1
|
2.8
|
2.8
|
X2
|
1.1
|
1.1
|
1.2
|
1.14
|
|
Оптимальным является решение X1.
Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
вероятности появления состояний В известны и не зависят от времени;
решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.
Исходная позиция применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.
Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:
Таблица 14. Оптимальные варианты, полученные с помощью различных критериев
Решение
|
Критерии
|
Стратегии
|
Вальда
|
maxmax
|
Гурвица,
=0.6
|
Сэвиджа
|
Лапласа
|
Байеса-Лапласа
q1=0.4, q2=0.2, q3=0.4
|
X1
|
|
*
|
*
|
*
|
*
|
*
|
X2
|
*
|
|
|
|
|
|
Из таблицы 14 видно, что от выбранного критерия (а, в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.
Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.
Примеры постановки решения задач
В данном параграфе на примере решения задач мы должны научиться определять вектор стратегий, вектор состояний и платёжную матрицу и применять различные критерии для получения оптимального решения.
Задача. В приморском городе решено открыть яхт-клуб. Сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек. Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год.
Решение. Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Для уменьшения объема перебора ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак: X= {Xi} = (2, 3, 4, 5) – количество яхт (i=1,2,3,4); B = {Bj} =(10, 15, 20, 25) – количество членов яхт-клуба (j=1,2,3,4).
Для того, чтобы начать поиск решения, построим матрицу решений, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j –ом количестве членов яхт-клуба:
aij = 100´min(5´Xi ; Bj) - 170´Xi - 730
т.е. решающее правило в нашей задаче формулируется как "доход – затраты".
Выполнив несложные расчеты, заполним матрицу решений {aij} (см. табл. 15):
Таблица 15. Платёжная матрица
B
X
|
B1=10
|
B2=15
|
B3=20
|
B4=25
|
X1=2
|
-70
|
-70
|
-70
|
-70
|
X2=3
|
-240
|
260
|
260
|
260
|
X3=4
|
-410
|
90
|
590
|
590
|
X4=5
|
-680
|
-80
|
420
|
920
|
Например, a11 = 100´min(52, 10) - 170´2-730 =-70
a12=100´min(5´2, 15)-170´2-730=-70
a13 = a14 = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки.
Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) - для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:
ZMM=max(-70; -240; -410; -580)=-70
Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е.
Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице 16 выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных ):
Таблица 16. Решения по Гурвицу для различных
X
|
=0,2
|
=0,5
|
=0,8
|
X1 = 2
|
-70
|
-70
|
-70
|
X2 = 3
|
-140
|
10
|
160
|
X3 = 4
|
-210
|
90
|
390
|
X4 = 5
|
-380
|
170
|
620
|
Вывод: при 0,5 следует закупить 5 яхт и ожидать прибыль порядка, не меньшую 170 д.е. (надеемся на широкую популярность нашего клуба и определенную финансовую состоятельность любителей), при = 0,2 не следует закупать более 2 яхт (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от создания клуба).
Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D - для нашего примера, вычитанием (-70) из первого столбца матрицы полезности, 260 из второго столбца, 590 и 920 из третьего и четвертого столбцов соответственно, получим матрицу рисков (см. табл. 17):
Таблица 17. Матрица рисков
B
X
|
B1=10
|
B2 =15
|
B3 =20
|
B4 =25
|
air
|
X1 = 2
|
0
|
330
|
660
|
990
|
990
|
X2 = 3
|
170
|
0
|
330
|
660
|
660
|
X3 = 4
|
340
|
170
|
0
|
330
|
340
|
X4 = 5
|
510
|
340
|
170
|
0
|
590
|
Наименьшее значение среди максимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:
ZS=min(990; 660; 340; 510)=340
Вывод: покупая 4 яхты для открываемого яхт-клуба, мы уверены, что в худшем случае убытки клуба не превысят 340 д.е.
Критерий принятия решения Байеса-Лапласа. Предположим, что есть статистические данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса на членство в яхт-клубе: q=(0,1; 0,2; 0,4; 0,3). Тогда математическое ожидание величины прибыли для каждого из рассматриваемых вариантов решения (предложение яхт в яхт-клубе):
a1r = (-70´0,1)+(-70´0,2)+(-70´0,4)+(-70´0,3) =-70 ,
|
a2r= (-240´0,1)+(260´0,2)+(260´0,4)+(260´0,3) =210;
|
a3r = 390; a4r = 370.
|
Вывод: в условиях рассматриваемой ситуации наиболее целесообразно закупить 4 яхты (в этом случае максимальная ожидаемая прибыль яхт-клуба составит 390 денежных единиц).
Для применения критерия Лапласа находим:
a1r = ((-70)+(-70)+(-70)+(-70)) / 4 = -70 ;
|
a2r = ((-240)+(260)+(260)+(260)) / 4 =135;
|
a3r = 215; a4r = 170.
|
Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса на членство в яхт-клубе следует закупить 4 яхты и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 215 д.е.
Общий вывод. Рассмотренные критерии приводят к различным решениям и дают тем самым информацию к размышлению (принятое решение здесь будет существенно зависеть от психологии и интуиции субъекта решения).
Литература
Аллен Р. Математическая экономия. М., Изд.ин. лит.,1963
Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972
Вильямс Дж. Д. Совершенный стратег. - М.: ИЛ,1960
Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и эконмике М.: Мир, 1964
Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. М: Мир, 1966
Ланге О. Оптимальные решения. М. Прогресс, 1967 .
Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., Физматгиз,1966
Оуэн Г. Теория игр. М., Мир 1971
Р.Л. Кини, Х. Райфа. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981
Р.Штойер. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления, приложения. М.: Радио и связь, 1992
Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976
Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений М.: Статистика, 1979.
Р.Л.Кини. Теория принятия решений. - В кн. Исследование операций. М.: Мир, 1981 г.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков, М.: Наука, 1985.
Крушевский А.В. Теория игр. Киев: Вища школа, 1977.
Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981
Мешковой Н.П., Закиров Р.Ш. Теория игр, конспект лекций. Челябинск, ЧПИ, 1974
Э.Й.Вилкас в сб. Современные направления теории игр. Вильнюс. Мокслас, 1976
А.Д.Школьников Основы теории игр. Л, Изд. Горного института, 1970
Смоляков. Всегда существующее решение кооперативных игр и его применение к анализу рынков. М.: ВНИИСИ, 1978.
http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/145/doc/ext.html
|
