Непараметрические методы обнаружения и оценивания сигналов и изображений
Скачать 0.63 Mb.
|
В третьей главе диссертации предложен универсальный подход к синтезу непараметрических критериев при произвольных альтернативах. Данный подход основан на использовании оценок проекций. Он позволяет:
Основная идея данного подхода заключается в следующем. Пусть распределения наблюдений при гипотезе  и альтернативе  описываются плотностями  и  соответственно. Задаваясь функциональным базисом, построенным на основе функций, производных от и  , можно обеспечить одинаковое представление плотности в данном базисе вне зависимости от конкретного вида этой плотности. В соответствии с вышесказанным в качестве базисных функций предложено использовать базисные функции вида:  . (14)Легко убедиться, что базис, основанный на функциях (14), не является ортогональным. Эти функции лишь линейно независимы. Векторы проекций функций  и  , определяемых плотностями и , соответствующих гипотезе и альтернативе на этот базис обозначим как  и  . Принятие решений основывается на измерении расстояния между полученным вектором проекций  и векторами проекций  и  . Необходимо отметить, что вектор проекций  не зависит от вида распределения исходных наблюдений. Наиболее простая процедура нахождения расстояния для векторов и  может быть представлена в ортонормальном базисе. Используя процедуру Грама – Шмидта, можно привести базис (14) к ортонормальному. При этом получается следующая система ортонормальных базисных функций  :  ,  ,   , (15) ……………………………Как отмечалось выше, значение вектора проекций при гипотезе  не зависит от вида функции распределения наблюдений и в базисе, заданном функциями (15), имеет вид:  {1,0,0,0,0,….}. При решении статистических задач с непараметрической неопределённостью, когда функции распределения неизвестны, задача заключается в получении оценки вектора и проверки статистических гипотез о его принадлежности к или .Главным вопросом является технология использования исходных данных при вычислении проекций, поскольку в распоряжении обнаружителя имеются лишь выборки наблюдений, на основе которых необходимо принимать решение. Один из возможных способов заключается в построении по  наблюдениям рабочей выборки  оценки функции  , а на основе  наблюдений опорной выборки  - оценок базисных функций  . Далее находятся оценки проекций: . (16)Очевидно, что значения оценок проекций  являются случайными величинами, поскольку оценки  и  являются функциями наблюдений. Данный подход имеет одну привлекательную особенность. Допустим, что с некоторой вероятностью  можно считать распределение опорной выборки известным, а с вероятностью  полагаться на оценку  , построенную по опорной выборке . В этом случае значение функции распределения в точке  можно оценивать как  . При этом уменьшается дисперсия оценок проекций и, следовательно, увеличивается эффективность алгоритма различения гипотез. Указанным способом дополнительная информация о распределениях может учитываться при синтезе решающего правила. Для получения непараметрической оценки плотности вероятности обычно используются методы окон Парзена или  ближайших соседей. Распределение оценки проекции, вычисляемой в соответствии с выражением (16), зависит, вообще говоря, от распределения исходных наблюдений. В первом приближении её распределение можно считать гауссовским с математическим ожиданием равным значению проекции: . (17)На основе теоремы Буняковского - Шварца при гипотезе можно оценить верхнюю границу дисперсии оценки проекции. При этом: . (18)Поскольку  , то:  ,где  ,  - соответственно коэффициенты при  и в  -й функции базиса (15). Из выражения (18) следует, что данная граница оценки максимальной дисперсии проекции наблюдений при гипотезе является непараметрической, так как в эту формулу не входит выражение для распределения исходных наблюдений. Данный факт можно использовать для стабилизации вероятности ложной тревоги обнаружителя. Было показано, что принятие бинарного решения по критерию Неймана-Пирсона может осуществляться в результате сравнения с порогом решающей статистики  , представляющей собой сумму проекций, взятых с некоторыми весами: . (19)Оптимальный выбор коэффициентов  , максимизирующий вероятность правильного обнаружения правила, зависит от типа альтернативы (сдвиг, масштаб, масштаб и сдвиг) и вида распределения наблюдений. Выше было отмечено, что при гипотезе средние значения проекций, отличных от нулевой, равны нулю при любом распределении исходных наблюдений. Поэтому при непараметрической априорной неопределённости можно использовать статистики проекций, зависящие только от типа альтернативы. Например, в случае альтернативы сдвига предлагается использовать статистику вида: . (20)При альтернативе масштаба в случае симметричного распределения эффективна статистика:  . (21)Четвёртая глава диссертации посвящена вопросам адаптации непараметрических алгоритмов при работе с зависимыми наблюдениями. Реальные помехи, на фоне которых осуществляется обнаружение полезного сигнала в системах радиолокации, навигации, связи являются процессами с зависимыми отсчетами. Таким образом, использование ранговых обнаружителей полезного сигнала (распределение которого, например, отличается сдвигом от распределения помехи) по критерию Неймана – Пирсона в условиях подобных помех невозможно, т.к. не удаётся стабилизировать вероятность ложной тревоги. Тем не менее, некоторые полезные свойства ранговых статистик, например, их инвариантность к монотонным нелинейным преобразованиям, заставляют искать возможности стабилизации вероятности ложной тревоги и в условиях зависимости наблюдений. В работах П.С.Акимова предлагался подход к преодолению указанной проблемы, предполагающий адаптацию рангового алгоритма принятия решения по обучающей выборке наблюдений, содержащей лишь зависимые отсчеты помехи. Адаптация решающего правила сводится к коррекции (в сторону ужесточения по сравнению со случаем независимых отсчетов) порога принятия решения с целью сохранения на заданном уровне вероятности ложной тревоги непараметрического правила. Для эффективной коррекции порога необходимо получение распределения ранговой статистики  при гипотезе  , которое определяется степенью зависимости исходных наблюдений. Поскольку в условиях непараметрической априорной неопределённости в распоряжении наблюдателя имеется только обучающая выборка данных, то речь может идти лишь об оценке распределения ранговой статистики. Данная оценка должна обладать рядом полезных качеств:
Основной подход, используемый при адаптации ранговых критериев и развиваемый в диссертации, заключается в построении параметрической оценки распределения ранговой статистики при основной гипотезе. Вводимый для описания зависимости наблюдаемых данных параметр распределения определяется степенью зависимости исходных наблюдений. Исходя из указанных выше качеств оценки распределения ранговой статистики  , для её получения в диссертации предложен следующий эвристический подход. Во-первых, вводится показатель «степени зависимости» исходных наблюдений  (скалярный, либо векторный), который является малочувствительным к вариации вида распределения исходных данных, а определяется лишь мерой зависимости элементов, составляющих эти данные. Во-вторых, находится функциональная зависимость распределения ранговой статистики от этого показателя  , на основе которой производится коррекция порога обнаружения. Выполнение условия слабой зависимости от вида распределения исходных наблюдений показателя представляется важным, поскольку, если оно не выполняется, зависимость распределения ранговой статистики от вида распределения исходных наблюдений передаётся опосредованно через этот показатель. Рассмотрим один из показателей зависимости наблюдений – одношаговый коэффициент корреляции  . В случае, если распределение исходных наблюдений является гауссовским и характеризуется экспоненциальной корреляционной функцией, данный показатель служит исчерпывающим описанием степени зависимости наблюдений. Если распределение отличается от гауссовского или является гауссовским с более сложным видом корреляционных связей, коэффициент корреляции  уже не является исчерпывающей характеристикой зависимости отсчетов выборки и не может быть использован для адаптации непараметрического обнаружителя. Так, в диссертации было показано, что нелинейное монотонное преобразование исходных данных делает невозможным использование данного показателя для стабилизации вероятности ложной тревоги ранговой статистики. Для выбора эффективного и устойчивого показателя «степени зависимости» исходных наблюдений был проанализирован механизм (модель) влияния зависимости исходных наблюдений на одномерное распределение рангов. Было показано, что такую модель можно описать в терминах уменьшения «эффективного» объёма выборки по сравнению с её физическим объёмом. Это означает, что для выборки зависимых наблюдений физического размера можно указать такое эквивалентное (эффективное) значение размера выборки  , состоящей из независимых наблюдений, которая содержит столько же информации о многомерном распределении, сколько содержит вариационный ряд из отсчетов исходной выборки. Величину  можно рассматривать, как степень уменьшения эффективного объема выборки вследствие зависимости её отсчетов и использовать в качестве показателя зависимости . Простейший способ моделирования уменьшения эффективного объема выборки по сравнению с исходным объемом состоит в представлении исходной выборки в виде  независимых отсчетов, каждый из которых повторяется  раз,  . Физический объём выборки остаётся при этом равным . Ранг независимого наблюдения  в вариационном ряду, составленном из зависимых наблюдений , в рамках данной модели может принимать значения   , а его распределение задаётся выражением: . (22)В диссертации получен алгоритм МП оценивания параметра  на основе выборки рангов наблюдений  . Было показано, что МП оценка находится по формуле:  . (23)В последнем выражении значение  определяется из уравнения  , где  - ближайшая к рангу  точка из множества допустимых значений ранга  .Анализ описанной модели, выполненный в диссертации, показал необходимость ее дальнейшего совершенствования. Основным ее недостатком является детерминированный механизм кратного дублирования независимого отсчета. Более адекватным для описания широко используемых на практике сигналов с зависимыми отсчётами (например, гауссовского марковского сигнала) представляется подход, когда механизм дублирования приобретает стохастический характер. Поэтому в подразделе 4.2. диссертации была предложена усовершенствованная модель формирования зависимых наблюдений. Ключевым для этой модели является предположение о случайной длине группы совпадающих наблюдений. При этом условное распределение исходных наблюдений, следующих одно за другим, представляется в виде: , (24)где  - действительное число из интервала  ,  -  - функция,  - одномерная плотность вероятности исходных наблюдений. Модель, задаваемая выражением (24), имеет ряд преимуществ перед гауссовской марковской моделью и моделью - кратного повторения отсчётов при описании распределения рангов зависимых наблюдений:
В диссертации показано, что распределение ранга, соответствующее данной модели, определяется выражением:  . (25)В подразделе 4.2.1. рассматривается задача оценивания параметра модели (24) по выборке рангов . Было показано, что МП-оценка  является корнем алгебраического уравнения: , (26)где представляют собой общее количество наблюдений  , которые характеризуются максимальным или минимальным рангом в соответствующих выборках  .На основании полученных в подразделах 4.1, 4.2 диссертации распределениях рангов зависимых наблюдений возможна адаптация ранговых правил, распределение решающих статистик которых определяется одномерным распределением ранга. Примером правила такого типа является модифицированный критерий Вилкоксона, предложенный в работе П.С. Акимова для обнаружения сигналов в радиолокации. Статистика этого критерия  определяется выражением: , (27)где  - ранг отсчёта , полученный в -м независимом эксперименте ( ) для выборки зависимых наблюдений  . В данном случае распределение решающей статистики определяется - кратной свёрткой распределений (22) или (25). На практике более часто используются двухвыборочные ранговые правила, решающая статистика которых определяется не одномерным, а многомерным распределением рангов рабочей выборки. Типичным примером подобных правил является классический тест Вилкоксона. Его решающая статистика  также задаётся выражением (27), однако смысл параметров алгоритма  и несколько иной. В случае классического критерия Вилкоксона представляет собой ранг -го элемента рабочей выборки объема в вариационном ряду, составленном из элементов общей выборки (рабочая выборка является частью общей выборки). Подраздел 4.3. посвящен вопросам адаптации двухвыборочных ранговых алгоритмов подобных классическому тесту Вилкоксона в условиях зависимых наблюдений. Как уже отмечалось выше особенностью адаптации данных алгоритмов по сравнению с рассмотренной в подразделах 4.1 и 4.2 является необходимость оценивания распределения ранговой статистики на основе многомерного распределения рангов зависимых наблюдений. Так, распределение статистики классического теста Вилкоксона определяется - мерным распределением рангов рабочей выборки, состоящей из зависимых отсчётов. Выше было отмечено, что механизм влияния зависимости исходных наблюдений на распределение ранговых статистик может быть описан в терминах уменьшения эффективного объема выборки с использованием детерминированного показателя этого уменьшения . В подразделе 4.3.1 описывается использование данной модели для представления распределения статистики классического теста Вилкоксона в условиях зависимых наблюдений. Статистику  для зависимых наблюдений можно представить в виде: , (28)где  - статистика Вилкоксона, вычисляемая по независимым наблюдениям выборки. Порог обнаружения  , обеспечивающий заданную вероятность ложной тревоги , рассчитывается по формуле: , (29)где  - порог обнаружения для статистики Вилкоксона . Значение порога  является табличным для параметров  ,  . МП-оценивание параметра зависимости может осуществляться в результате анализа выборки статистик Вилкоксона  , полученной в ходе  независимых экспериментов. Используя гауссовскую аппроксимацию для распределения статистики Вилкоксона, можно показать, что МП-оценка  находится по правилу: . (30)Согласно выражению (30) МП-оценка параметра представляет собой отношение выборочной дисперсии статистики Вилкоксона, полученной для текущих выборок с зависимыми отсчетами, к дисперсии, характерной для данной статистики при независимых наблюдениях. Полученная оценка может быть использована для устойчивой адаптации обнаружителя, использующего статистику Вилкоксона, при работе по зависимым наблюдениям с целью стабилизации вероятности ложной тревоги на заданном уровне. Адаптация предполагает подстройку порога обнаружения на основе измеренной по наблюдениям обучающей выборки оценки в соответствии с выражением (29).В подразделе 4.3.2. предложена иная модель учета зависимости наблюдений для нахождения распределения статистики Вилкоксона, основанная на представлении зависимой общей выборки как смеси, состоящей из наблюдений групп (классов) с распределениями, отличающимися средними значениями. Каждая из групп содержит  отсчетов (здесь  – номер группы (класса)). Предполагается, что если отсчет выборки  принадлежит классу , то и  наблюдений некоторой минимальной окрестности этого отсчета принадлежат тому же классу. Указанную окрестность формируют смежные с отсчетом элементы. Предполагается, что количество отсчетов, принадлежащих каждому классу в выборке, одинаково  , и одинаковы также размеры окрестности отсчёта каждого класса  . Структура выборки зависимых наблюдений представлена на рис.1.  Рис.1. Структура выборки зависимых наблюдений В этом случае модель, описывающая общую выборку, характеризуется двумя параметрами  , либо  , подлежащими оценке. Предположим, что наблюдения упомянутых выше классов различаются средними значениями настолько сильно, что каждому из классов соответствует не содержащая промежутков последовательность рангов  . Предположим (без ограничения общности рассуждений), что номера классов упорядочены по возрастанию их средних значений. Так, ранги отсчетов класса 1, имеющего минимальное среднее, принимают значения из диапазона  , а класса 5, характеризующегося максимальным средним –  . В этом случае распределение рангов рабочей выборки будет определяться количеством окрестностей  каждого из классов, попавших в рабочую выборку. Таким образом, это распределение зависит от вектора  , где  и  . Введём новую переменную  , которая имеет смысл общего количества элементов класса , содержащихся в рабочей выборке. Вектор  определяет количество точек каждого класса в рабочей выборке. Статистику Вилкоксона зависимых наблюдений в рамках данной модели можно представить в виде:  , (31)В выражении (31) учитывается, что сумма рангов каждой из групп  представляет собой статистику Вилкоксона  , смещенную на величину  . Таким образом, распределение статистики Вилкоксона для описанной двухпараметрической модели представляет собой смещенную на  свертку распределений Вилкоксона с параметрами  . В диссертации показано, что достаточной статистикой для параметра модели  является вектор  , поэтому МП-оценку можно строить на основе вероятностной модели для данного вектора. При этом: . (32)Алгоритм нахождения МП – оценки в результате решения уравнения правдоподобия (32) методом перебора может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:
 ;
Алгоритм нахождения МП-оценки , основанный на приведённой выше последовательности шагов, является достаточно громоздким в вычислительном плане. Его можно упростить, если аппроксимировать условную плотность  гауссовским распределением. Использование данной аппроксимации позволяет заменить процедуру оценивания, основанную на поиске максимума функции правдоподобия путём прямого перебора, непосредственным вычислением оценки. В этом случае первые три шага процедуры оценивания остаются неизменными, а затем производится вычисление оценки параметра по формуле: , (33)где  ,  и  . |
. Использование в качестве аппроксимации реального распределения ранговой статистики распределения с заведомо более тяжелыми «хвостами», хотя и гарантирует вероятность ложной тревоги 
меньшую заданной 
в результате завышения порога обнаружения. Низкие значения вероятности ложной тревоги ограничивают возможность использования статистического моделирования для оценки порога обнаружения, необходимого для обеспечения заданной вероятности ложной тревоги. Временные затраты на проведение подобного статистического эксперимента, а также объем обучающей выборки оказываются недопустимо велики. Необходимо учитывать также возможную нестационарность получаемых данных.
;
), либо 
(
);
и формируется вектор 
подставляются в выражение (32);
, максимизирующее (32) при заданном векторе 
, значение полученного максимума 
запоминается;
рассматривается как искомая МП-оценка Похожие:
 | C остояние и проблемы использования информационных систем субъектами хозяйственной деятельности При этом важно определить эффективность информационных систем и их компонент. Необходимо выделить набор соответствующих критериев,... |  | Минобрнауки росии Статистическая теория радиотехнических систем, обнаружение и различение сигналов, разрешение сигналов, восстановление сигналов |
| Декомпозиция сигналов на основе вейвлетов Гаусса и Морле (dwsignal) Программа предназначена для декомпозиции сигналов и может применяться в научных исследованиях и при обучении студентов специализирующихся... | | Восстановление акустических сигналов по неравномерным выборкам При этом попытки повышения соотношения сигнал/шум на этапе вторичной обработки особенно актуальны когда электронные методы подавления... |
| Урока по информатике и геометрии по теме "Алгоритмы создания изображений.... ... | | Цель дисциплины рассмотрение методов исследования, т е. методов проверки,... В программе курса отражены методы проверки, обоснования, оценивания количественных закономерностей и качественных утверждений (гипотез)... |
| Программа вступительного экзамена по специальности научных работников... Направление подготовки (12. 06. 01 Фотоника, приборостроение, оптические и биотехнические системы и технологии.) | | Методы и алгоритмы обработки изображений в системе телевизионного... Специальности: 05. 13. 11 математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей |
| Моделирование изображений с заданными фрактальными характеристиками (mif) При этом ичх синтезированных изображений является инвариантом относительно мультипликативных уменьшений масштаба в области пространственных... | | Программа элективного курса для учащихся 11 классов «Обработка изображений... Под «компьютерным художником» можно понимать любого, кто занимается созданием или редактированием изображений с помощью ЭВМ |
| Конспект урока №1 «Графика. Виды графики. Первоначальное знакомство с редактором TuxPaint» Методы и приёмы обучения: объяснительно-иллюстративный; словесный (фронтальная беседа); наглядный (демонстрация компьютерной презентации);... | | Памятка-практикум «Освоение технологии оценивания учебных успехов» Совместная выработка порядка оценивания (этот пункт оправдан только если внедрение технолоиги осуществляется не в 1-м классе) |
| Ортогональное частотное разделение каналов с мультиплексированием Следовательно, в точке приема результирующий сигнал представляет собой суперпозицию (интерференцию) многих сигналов, имеющих различные... | | Некоторые методы обнаружения геопатогенных зон Как обнаружить геопатогенные зоны? Сегодня уже созданы приборы, позволяющие это сделать. Но приборов мало, а геопатогенных зон много. Поэтому в разных случаях следует... |
| Курсовая работа на тему: «Исследование эффективности поиска в Интернете... Целью данной работы является оценка эффективности поисковых стратегий в информационно-поисковых системах (ипс) | | Инструкция учащегося по переходу на балльно рейтинговую систему (брс)... Самостоятельно ознакомиться с Положением о балльно рейтинговой системе оценивания знаний учащихся на сайте школы |
