Моделирование систем автоматического управления с дробным пид-регулятором

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2010. № 1 (26) Системный анализ, управление и автоматизация УДК 681.3 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ДРОБНЫМ ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ А.В. Авсиевич, В.В. Авсиевич Самарский государственный университет путей сообщения 443066, Самара, 1-й Безымянный пер., д. 18 Развитие современных систем автоматики дает возможность применения более сложных алгоритмов регулирования для организации оптимального управления. В данной работе разработан цифровой алгоритм управления на основе дробного ПИД-регулятора и построена имитационная модель системы управления с его применением. Это позволило произвести сравнительный анализ на основе полученных параметров качества переходных процессов. Ключевые слова: автоматическое управление, интеграл дробного порядка, дифференциал дробного порядка, дробный ПИД-регулятор, система автоматического управления, цифровые системы управления. Ведение. В настоящее время в российских и иностранных научных изданиях наблюдается повышенный интерес к дробному исчислению вообще [1-6], а также к применению производных и интегралов дробных порядков в различных областях науки и техники [7-9], в том числе и в теории управления [10-15]. Применение в системах управления электроприводами ПИД-регуляторов, реализующих дробномерные законы управления, позволяет снизить перерегулирование, увеличить быстродействие и повысить запас устойчивости по сравнению с аналогичными системами, реализующими классические законы управления. Техническая реализация таких производных и интегралов может осуществляться несколькими способами: на основании аппроксимационных зависимостей Грюнвальда [11], с использованием цепных дробей [13] и путем применения преобразования Фурье. [11]. В данной работе проведено моделирование системы автоматического управления, в основе которой лежат ПИД-законы регулирования [16], где интегральные и дифференциальные звенья первого порядка заменены дробным интегралом и дифференциалом соответственно. Исследование временных и частотных свойств ПИД-законов регулирования дробного порядка приведено в работах [17, 18]. В результате выполненной работы исследована модель системы автоматического управления с использованием классического и предлагаемого метода регулирования. Исследовались качественные характеристики САУ с ПИД-законами регулирования дробного порядка. Был проведен сравнительный анализ между классической и предлагаемой моделью системы автоматического управления, что позволило выявить сильные и слабые стороны предлагаемой САУ. Постанова задачи. Пусть система автоматического регулирования с обратной отрицательной связью, показанная на рис.1, состоит из следующих блоков: РУ – регулирующее устройство, ОУ – объект управления, где x(t) – управляющее воздействие, е(t) – сигнал рассогласования, u(t) – выходная величина регулятора, у(t) – регулируемая величина. Р и с. 1. САУ с обратной отрицательной связью Регулирующее устройство представим в виде дробного ПИД-регулятора с передаточной функцией вида , которой соответствует интегро-дифференциальное уравнение вида , (1) где интеграл дробного порядка , , (2) дифференциал дробного порядка , , (3) , – дробный порядок интеграла и дифференциала соответственно, – время, , – пропорциональный коэффициент (коэффициент усиления), – постоянная интегрирования, – постоянная дифференцирования, – гамма-функция. Предложенный регулятор в дальнейшем будем обозначать как ПИД-регулятор. С учетом выше сказанного необходимо решить следующую задачу: получить алгоритм цифрового ПИД-регулирования; построить модель САУ с ПИД-регулятором; исследовать работоспособность САУ на объектах управления разного порядка. Моделирование САУ. При разработке цифровых ПИД-регуляторов основную сложность представляет выбор алгоритмов вычисления интегральной составляющей. Сравнение точности разных методов вычисления дробного интеграла приведены в работе [19]. Рассмотрим построение цифрового ПИД-регулятора с замещением интеграла дробного порядка Римана – Ливиулля суммой, приведенной в работе [5] , (4) где – шаг квантования, – число разбиений интервала (0,t). При вычислении дробной дифференциальной составляющей уравнения (3) воспользуемся гельдеровской производной [2] . (5) Основываясь на вышеперечисленном, из непрерывного ПИД-закона регулирования (1) получим цифровой путем замены интегрального звена выражением (4) и дифференциального – выражением (5). Тогда выражение для вычисления управляющего воздействия будет следующим: . (6) Отметим, что при достаточно малых периодах квантования цифровой ПИД-закон регулирования обеспечивает почти такое же качество процессов управления, что и исходный непрерывный закон (1). На практике вместо вычислений абсолютных значений управляющего сигнала удобней вычислять его приращения на каждом такте, т.е. получаем рекуррентный алгоритм управления, который полностью эквивалентный исходному. В этом случае становится возможным использовать этот алгоритм для управления объектами, оснащенными как пропорциональным, так и интегрирующими исполнительными механизмами. Для этого представим алгоритм управления в разносном виде: . (7) Найдем , подставляя в (7) значения (6) для и и в результате получим: Используя поправочный член , получаем рекуррентные выражения, описывающие динамику дискретного закона управления: , (8) где , , , – уточняющий коэффициент дробной интегральной составляющей. Как видно из полученного рекуррентного алгоритма (8), в уточняющем коэффициенте осталась сумма, которую требуется пересчитывать при каждом новом отсчете, но в отличии от уравнения (6) расчет уточняющего коэффициента можно ограничивать и тем самым уменьшать количество операций ( – погрешность вычисления, задаваемая исходя из точности работы системы). На основе полученного алгоритма вычисления управляющего воздействия в пакете MATHLAB с применением приложения SIMULINK разработана S-функция, реализующая ПИД-регулятор (PidD), и составлена имитационная модель системы автоматического регулирования (рис. 2). Для нахождения оптимальных настроек регулятора использован блок «Simulink response optimization» c градиентным методом оптимизации, также реализована функция нахождения интегральной оценки процесса управления. При определении оптимальных настроек для чистоты эксперимента на систему были наложены следующие ограничения: перерегулирование не должно превышать 60%, время переходного процесса ограниченно 3 с, погрешность регулирования должна находиться в пределах 5%. Р и с. 2. Модель системы регулирования Для исследования свойств полученного цифрового ПИД-закона регулирования возьмем передаточные функции, наиболее часто встречающиеся в реальных объектах управления 1-го, 2-го и 3-го порядков (табл. 1). В результате проведенного моделирования получены оптимальные настройки ПИД (табл. 2) и ПИД-регуляторов (табл. 3). По вычисленным переходным характеристикам определены следующие показатели качества: перерегулирование (,%); время управления (ty); время переходного процесса (tp); статическая ошибка () и интегральная оценка (I0). Т а б л и ц а 1 Тестовые передаточные функции № ПФ Объект управления 1. 2. 3. 4. Т а б л и ц а 2 Настройки и показатели качества ПИД-регулятора №ПФ k Ti Td ,% ty, c tp, c I0 1 6,5 7,7 2,3 15 0,83 2,7 0 0,23 2 11,8 3,8 4,8 47 0,91 3 0 0,38 3 11,8 5,6 3,2 17 0,98 2,85 0 0,37 4 1,51 0,75 0,78 13 0,89 2,79 0 0,43 Т а б л и ц а 3 Настройки и показатели качества ПИД-регулятора №ПФ k Ti Td   , % ty, c tp, c  I0 1 5 0,76 6 0,99 0 0,45 0,27 1,35 0 0,17 2 0,69 16,6 68,5 0,55 0 33 0,40 1,08 0 0,28 3 5,9 416 0,78 0,95 0,76 0,43 0,44 1,44 0 0,31 4 0,3 1,05 4,08 0,98 0,08 30 0,79 2,61 0 0,46 Как видно из табл. 2 и 3, имеет место преимущество ПИД-регулятора в среднем по времени управления на 47%, по времени переходного процесса – на 42% и по интегральной оценке – на 13%. Время расчета управляющего воздействия на компьютере с процессором Pentium IV Core duo в среднем составляет 0,535 мс. Полученную скорость вычисления можно объяснить тем, что в алгоритме (8) на каждом шагу приходится неоднократно вычислять гамма-функцию. Так как для систем управления используются контроллеры с процессорами, имеющими гораздо более низкую частоту, время вычисления управляющего воздействия может возрасти в несколько раз. Поэтому для систем управления с высоким быстродействием данный алгоритм может вырабатывать управляющее воздействие с запаздыванием и тем самым ухудшать процесс управления. Увеличить скорость вычисления управляющего воздействия можно за счет применения менее точного и менее трудоемкого с точки зрения вычисления интегратора. Поэтому получим цифровой ПИД-регулятор с дробной интегральной составляющей вида [19] . (9) Тогда выражение для вычисления управляющего воздействия запишется как . (10) Представим уравнение в разностном виде (7), для этого определим В результате получим рекуррентное выражение, описывающие динамику дискретного закона управления , (11) где , , , – уточняющий коэффициент дробной интегральной составляющей. Реализуем полученный алгоритм в приложении SIMULINK и проведем моделирование процессов управления на модели, представленной на рис. 2, с настройками ПИД-регулятора, приведенными в табл. 3. В процессе моделирования определим параметры показателей качества (табл. 4) для выражения (11). Т а б л и ц а 4

Похожие:

	Программа учебной дисциплинЫ «теория автоматического управления» Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических...		Рабочая программа дисциплины «теория автоматического управления» Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических...
	Программа дисциплины "Теория автоматического управления" Цели и задачи дисциплины: Дисциплина обеспечивает теоретическими знаниями в области проектирования систем управления		Структурное моделирование и синтез системы автоматического управления... Специальность 05. 13. 06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность)
	Изучение регулятора напряжения переменного тока Таким образом, возникает вопрос о создании локальных систем автоматического регулирования напряжения в электрической сети. Представляется...		Исследование систем управления процесс определения организационной... Место исследований систем управления в комплексе дисциплин по теории и практке управления
	Математическое моделирование систем управления Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 080200 Менеджмент		Рабочая программа учебной дисциплины проектирование информационных... Целью дисциплины является: изучение методологии структурного анализа, моделирование информационных систем в стандарте idef, проектирование...
	Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,...		Рабочая программа учебной дисциплины «электронные промышленные устройства» «Электроника электропривода», «Программные средства пэвм», «Теория автоматического управления», «Основы микропроцессорной техники»...
	Конспект лекций математическое моделирование систем управления Худенко Е. Д. Требования к планированию и анализу коррекционно- развивающих уроков. [Текст] / Е. Д. Худенко // Развитие и коррекция....		Синтез астатических законов управления с неполной обратной связью для морских подвижных объектов Важным требованием к системе управления является наличие астатизма по регулируемой координате. В работе представлен алгоритм построения...
	Примерная тематика рефератов по курсу «Исследование систем управления» Современный менеджмент и необходимость исследования систем управления социально-экономической организацией		Исследование систем управления Целью работы является рассмотрение частных методов исследования систем управления, а именно эксперимент, наблюдение и опрос
	Исследование систем управления Специальности: «Менеджмент организации» «Исследование систем управления» является ведущей,в учебном процессе среди смежных дисциплин		Рабочая программа учебной дисциплины «исследование систем управления» Студенты научатся методам планирования эксперимента и организации исследования систем управления и научатся использовать приобретенные...