Моделирование систем автоматического управления с дробным пид-регулятором
Скачать 0.9 Mb.
|
Пример использования алгоритма для решения задачи оптимального нагрева В качестве первого примера рассмотрена задача оптимального нагрева в проходной двухзонной индукционной печи. Температурное поле рассчитывалось по численной модели, разработанной в [13]. Данная модель учитывает взаимодействие тепловых и электромагнитных полей в нагреваемой заготовке и печи, а также позволяет учесть нелинейные тепловые и электромагнитные свойства нагреваемого материала. В качестве параметров оптимизации были выбраны токи индукторов. Наличие всего двух параметров оптимизации позволяет достаточно подробно и наглядно проследить ход итерационных процессов.
На рис. 1 показана структура поля отклонений температуры от заданной в координатах «ток первого индуктора» – «ток второго индуктора». Это поле имеет достаточно протяжённые и искривлённые истинные овраги, которые сходятся в точке оптимума (5141.38А; 1678.47А). По предложенному алгоритму были многократно проведены расчёты, отличающиеся начальными приближениями. Ход расчётов для трёх достаточно характерных случаев начальных приближений представлен на рис. 2-4. Расчёты показали, что вторая стадия проведения итераций, в ходе которой происходит локализация точки оптимума, заканчивается к седьмому шагу (рис. 2) и начинается стадия уточнения положения искомой точки оптимума. В ходе этой третьей стадии наблюдается геометрическая сходимость (рис. 3, 4). Из проведённых расчетов видно, что итерации сходятся, и максимум за десять обращений к модели нагрева гарантированно достигается точность определения оптимальных токов – не менее 1А, при этом точность нагрева отличается от максимально достижимой (7.67 °C) менее чем на 0.2 °C. Пример использования алгоритма в случае вырожденной задачи В качестве примера использования алгоритма [3] в сложном многомерном случае рассмотрим задачу из [14]. Ищется минимум функции пяти переменных  . Здесь  евклидова норма, a1=(0; 0; 0; 0; 0), a2=(2; 1; 1; 1; 3), a3=(1; 2; 1; 1; 2), a4=(1; 4; 1; 2; 2), a5=(3; 2; 1; 0; 1), a6=(0; 2; 1; 0; 1), a7=(1; 1; 1; 1; 1), a8=(1; 0; 1; 2; 1), a9=(0; 0; 2; 1; 0), a10=(1; 1; 2; 0; 0), b=(1; 5; 10; 2; 4; 3; 1.7; 2.5; 6; 3.5).Задача является вырожденной, множество активных индексов (2; 4; 5; 9). В работе [14] эта задача решалась одним из вариантов метода растяжения пространства (при этом на каждом шаге требуется вычислять производные функций). Результаты проведения итераций частично приведены табл. 1. Т а б л и ц а 1
К данной задаче применён предлагаемый подход. В качестве начального приближения взято: x1=(0; 0; 0; 0; 1), x2=(0.5; 0; 0; 0; 1), x3=(0; 0.5; 0; 0; 1), x4=(0; 0; 0.5; 0; 1), x5=(0; 0; 0; 0.5; 1), x1=(0; 0; 0; 0; 1.5). Ход итераций приведён в табл. 2. Видно, что предлагаемый алгоритм демонстрирует более быструю сходимость по сравнению с результатами [14] (и при этом не требует вычисления производных исследуемой функции). Приводимые рисунки (рис. 5-8) демонстрируют примерно геометрическую (линейную) сходимость итерационного процесса. Выбор других начальных приближений может приводить к некоторому удлинению стадий итерационного процесса. При этом сохраняется примерно геометрическая сходимость на третьей стадии итерационного процесса. Т а б л и ц а 2
Видно, что поведение критерия  в общих чертах может служить для описания сходимости итерационного процесса.Таким образом, приведённые достаточно разнородные примеры демонстрируют высокую эффективность предложенного алгоритма сплайновой экстраполяции при численном решении задач полубесконечной оптимизации. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Статья поступила в редакцию 1 сентября 2009 г. UDC 519.6 APPLICATION OF SPLINE EXTRAPOLATION ALGORITHM FOR SOLUTION OF SEMI-INFINITE OPTIMIZATION PROBLEMS A.P. Efimov Samara State Technical University 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100 The main features of application of suggested numerical algorithm for solution of semi-infinite optimisation problems are considered. This algorithm uses extrapolation of minimised field by pseudo-cubic splines on each iteration of optimisation procedure. The described examples show high efficiency of the given approach. Keywords: semi-infinite optimisation, numerical methods, iterations, convergence, extrapolation, Dm-splines, pseudo-cubic splines. УДК 519.254 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСВЯЗНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАЗНОГО ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ ВО ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ О.А. Кацюба, Е.В. Козлов Самарский государственный университет путей сообщения 443066, г. Самара, 1-й Безымянный пер., 18 Предложен современный метод идентификации многосвязных динамических систем, описываемых разностными уравнениями при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах. Доказана состоятельность получаемых оценок. Данный метод идентификации не требует знания закона распределения помех и сигналов. Ключевые слова: параметрическая идентификация, многосвязная динамическая система, состоятельная оценка, априорная неопределенность, численный метод. Во многих практических задачах идентификации линейных динамических систем помехам подвержен не только выходной, но и входной сигнал. Применение классического метода наименьших квадратов не позволяет получать состоятельные оценки параметров В [1] предложен нелинейный метод наименьших квадратов, позволяющий получать сильно состоятельные оценки матриц параметров многомерного линейного уравнения. Данный метод применим при равных для всех входов и выходов значениях степеней разностного уравнения  и соответственно  . В данной работе представлен критерий, позволяющий получать сильно состоятельные оценки параметров при разных и  .Рассмотрим многомерную динамическую систему с дискретным временем, которая описывается уравнением  , (1) ,  ,где  ;  ,  – наблюдаемые и ненаблюдаемые выходные сигналы,  ; – число выходных переменных;  – число входных переменных; – векторы параметров линейного разностного уравнения; ,  – наблюдаемые и ненаблюдаемые входные сигналы,  ; – помеха наблюдений в l-м выходном сигнале; – помеха наблюдений в j-м входном сигнале.Требуется определить оценки неизвестных коэффициентов динамического объекта, описанного уравнением (1) по наблюдаемым последовательностям  ,  .Предположим, что выполняются следующие условия:  . Вектор входных переменных и истинные значения параметров удовлетворяет условию где N – объем выборки,  ,  ,H – положительно определенная матрица.  . Случайные последовательности ,  независимы в совокупности и удовлетворяют условиям п.н.; п.н.; п.н.; п.н.;  п.н.; п.н.;для «n» выхода при   , где E – оператор математического ожидания. . статистически не зависят от  ,    . . Множество  , которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы, является компактом.Представим уравнение (1) для всех  в векторной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений   , (2)где  ,  , ,  , ,  , ,  .Введем следующую обобщенную ошибку   .Из условия  следует, что обобщенная ошибка имеет нулевое среднее, а из предпосылки 2 и леммы[2,3]: ; ; п.н; п.н; (3)где  ,  .Получаем, что средняя дисперсия обобщенной ошибки равна:  Определим оценки  неизвестных истинных значений из условия минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений  с весом  . , (4)где  ,  .Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1) и выполняются условия  . Тогда оценка  , определяемая выражением (4) (при  ), существует и является сильно состоятельной оценкой, т.е. .Рассмотрим функцию   где  , .    .Тогда из условия  и (3) получим, что ..Из условия  следует: .Первые два слагаемых в  в силу условий  удовлетворяют условиям леммы [2, 3] и, следовательно:  .Заметим, что  (5)Таким образом, (5) можно представить в виде  слагаемых, каждое из которых в силу предположений  по лемме [1, 2] сходится к нулю. Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых. ; . Покажем, что решение задачи  (6)существует и достигается в единственной точке. Для этого вместе с задачей (6) рассмотрим функцию    .Тогда  окончательно:  .Дифференцируя  по и приравнивая производную к нулю, получим:  (7)и тогда   .Если  – минимальное характеристическое число регулярного пучка форм, определяемых положительными матрицами  ,  , то  . Функция  на интервале  непрерывна и на .Из этого следует, что на данном интервале  имеет не более одного корня. Нетрудно убедиться, что  является корнем этого уравнения. Тогда из (7) непосредственно следует справедливость (6). Если ввести, согласно [4], следующие обозначения:  ,  ;  ,то (4) можно записать в виде  , (8)где  . В дальнейшем ход доказательства практически полностью аналогичен доказательству при условии, что n=m=1[4]. В качестве примера была рассмотрена модель, где  ,  ,  ; ,  ,  ,  ;  ,  ,  ,  ,  ,  .Входной сигнал – белый шум с  ;   ;   . – среднеквадратическое отклонение помех на входе ( ,  ,  ); – среднеквадратическое отклонение помех на выходе.На основании описанных выше алгоритмов создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки параметров с наперед заданной точностью. Проведено сравнение полученных результатов с методом наименьших квадратов. Определим погрешность оценок как  , где  – эвклидова норма.Результаты моделирования приведены в таблице. |
Похожие:
 | Программа учебной дисциплинЫ «теория автоматического управления» Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических... |  | Рабочая программа дисциплины «теория автоматического управления» Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических... |
| Программа дисциплины "Теория автоматического управления" Цели и задачи дисциплины: Дисциплина обеспечивает теоретическими знаниями в области проектирования систем управления | | Структурное моделирование и синтез системы автоматического управления... Специальность 05. 13. 06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность) |
| Изучение регулятора напряжения переменного тока Таким образом, возникает вопрос о создании локальных систем автоматического регулирования напряжения в электрической сети. Представляется... | | Исследование систем управления процесс определения организационной... Место исследований систем управления в комплексе дисциплин по теории и практке управления |
| Математическое моделирование систем управления Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 080200 Менеджмент | | Рабочая программа учебной дисциплины проектирование информационных... Целью дисциплины является: изучение методологии структурного анализа, моделирование информационных систем в стандарте idef, проектирование... |
| Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,... | | Рабочая программа учебной дисциплины «электронные промышленные устройства» «Электроника электропривода», «Программные средства пэвм», «Теория автоматического управления», «Основы микропроцессорной техники»... |
| Конспект лекций математическое моделирование систем управления Худенко Е. Д. Требования к планированию и анализу коррекционно- развивающих уроков. [Текст] / Е. Д. Худенко // Развитие и коррекция.... | | Синтез астатических законов управления с неполной обратной связью для морских подвижных объектов Важным требованием к системе управления является наличие астатизма по регулируемой координате. В работе представлен алгоритм построения... |
| Примерная тематика рефератов по курсу «Исследование систем управления» Современный менеджмент и необходимость исследования систем управления социально-экономической организацией | | Исследование систем управления Целью работы является рассмотрение частных методов исследования систем управления, а именно эксперимент, наблюдение и опрос |
| Исследование систем управления Специальности: «Менеджмент организации» «Исследование систем управления» является ведущей,в учебном процессе среди смежных дисциплин | | Рабочая программа учебной дисциплины «исследование систем управления» Студенты научатся методам планирования эксперимента и организации исследования систем управления и научатся использовать приобретенные... |
