§10. Исследование функций и построение графиков

Скачать 81.51 Kb.

Название	§10. Исследование функций и построение графиков
Дата публикации	20.04.2015
Размер	81.51 Kb.
Тип	Исследование

100-bal.ru > Информатика > Исследование

§10. Исследование функций и построение графиков

§10. Исследование функций и построение
графиков

1. Возрастание и убывание функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству

^¹ (

).

Функция называется убывающей (невозрастающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству

^² (

).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Из определения возрастающей функции следует, что если

возрастает на

, то на этом интервале приращение аргумента

и соответствующее ему приращение функции

будут иметь одинаковый знак.

Действительно, если

, то

⇒

,

⇒

.

Если

, то

⇒

,

⇒

.

Аналогично показывается, что если

убывает на

, то на этом интервале приращение аргумента

и соответствующее ему приращение функции

будут иметь разный знак.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда

1) если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),

т.е.

(

);

2) если производная на интервале положительна (отрицательна), т.е.

(

),

то функция на возрастает (убывает).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО^³

1) (Необходимость.) Пусть

возрастает на

. Требуется доказать, что

.

Так как

возрастает на

, то знак

и соответствующего ему приращения

совпадают.

⇒

(при условии, что

).

Но тогда

.

Аналогично доказывается, что если

убывает на

, то

.

2) (Достаточность.) Пусть

. Требуется доказать, что

возрастает на

.

Пусть

. Рассмотрим разность

. По теореме Лагранжа, существует точка

, такая, что

.

⇒

.

Так как

получаем:

.

Следовательно,

возрастает на интервале

.

Аналогично доказывается, что если

, то

убывает на

. ∎

2. Экстремумы функции

Пусть функция

определена на множестве

ℝ,

– внутренняя точка

(т.е. существует некоторая окрестность точки

, целиком лежащая во множестве

).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкой максимума функции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка называется точкой минимума функции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.

Замечания:

1

) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. По сути, они отражают одно свойство функции: они показывают, в каком отношении находятся значение функции в данной точке и значения функции в других точках. Различие в области действия этих понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера («

»), максимум и минимум – понятия локального характера («

»). Чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь понятий, в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2) В силу локального характера понятий максимума и минимума, функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов (см. рис. 1).

Для функции, дифференцируемой в точке

, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Если – точка экстремума функции и – дифференцируема в точке , то ее производная в этой точке равна нулю.

Геометрический смысл теоремы 2. Если – точка экстремума функции и кривая имеет невертикальную касательную в точке , то эта касательная – горизонтальная (см. рис 2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО^⁴

Пусть, для определенности

– точка максимума функции. Так как

– дифференцируема в точке

, то существуют

, причем

.

По определению

.

Так как

– точка максимума функции, то

в некоторой окрестности точки

.

⇒

при

.

Следовательно,

.

Итак, получили:

.

Но это возможно только при

. ∎
Точки, в которых производная функции

равна нулю, называются стационарными точками функции

.

Очевидно, что не любая стационарная точка функции является ее точкой экстремума. Например, функция

имеет стационарную точку

, которая не является ее точкой экстремума. Для функции, дифференцируемой в точке

, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть – внутренняя точка области определения функции , непрерывна в окрестности точки и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, возможно, самой точки . Если при переходе через точку производная функции меняет знак, то является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума, если с минуса на плюс – то – точка минимума.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО^⁵

Пусть, например, при переходе через точку

производная

меняет знак с плюса на минус.

По формуле Лагранжа для любой точки

из некоторой окрестности

точки

справедливо равенство

,

где

– некоторая точка, лежащая между

. Используя это равенство, определим знак

. Имеем:

1) если

, то

;

2) если

, то

.

Таким образом, для любой точки

из некоторой окрестности

точки

выполняется неравенство

и, следовательно, точка

является точкой максимума функции

.

Аналогично доказывается, что если при переходе через точку

производная

меняет знак с минуса на плюс, то точка

является точкой минимума функции

. ∎
Замечание. Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной).

Стационарные точки функции

и точки, в которых производная функции

не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).

ПРИМЕР. Найти экстремумы функции

.

РЕШЕНИЕ

1) Находим область определение функции:

ℝ.

2) Находим производную функции и ее критические точки:

;

, ⇒

;

: таких точек нет.

3

) Определяем знак

:

Таким образом,

– точка минимума функции

– точка максимума функции

.
Если функция

раз дифференцируема в критической точке

, то справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть – внутренняя точка области определения функции и раз дифференцируема в точке , причем

.

Тогда: 1) если – четное и , то является точкой минимума функции ;

2) если – четное и , то является точкой максимума функции ;

3) если – нечетное, то не является точкой экстремума функции .
Замечание. На практике пользоваться вторым достаточным условием экстремума функции менее удобно, чем первым. Это связано с тем, что 1) не всегда легко вычислить

; 2) поведение функции (возрастание и убывание) определяется не на всех интервалах области определения. Но иногда, все же лучше применить второе достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много.
ПРИМЕР. Найти экстремумы функции

.

РЕШЕНИЕ

1) Находим область определение функции:

ℝ.

2) Находим производную функции и ее критические точки:

;

⇒

ℤ;

: таких точек нет.

3) Находим вторую производную функции и вычисляем ее в критических точках:

Таким образом, функция

имеет максимумы в точках

(

ℤ),

;

и имеет минимумы в точках

(

ℤ),

1 Иначе говоря, функция

называется возрастающей на интервале

, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

2 Иначе говоря, функция

называется убывающей на интервале

, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

3 см. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, стр. 145.

4 см. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, стр. 148.

5 см. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, стр. 150-151.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Закрепить навыки преобразования графиков функций и построение графиков при преобразовании тригонометрических функций		Тема: "Построение графиков функций в Excel" Для построения графиков функций используется тоже мастер диаграмм. Но при этом нужно использовать тип диаграмм «Графики»
	Конспект урока тема: построение графиков функций в паскале авс. Цель... Воспитательная: воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости		Средств информационных технологий и ресурсов интернет Построение графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований
	Отчет методической цикловой комиссии Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств		Урок в контексте нового стандарта Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	Конспект урока информатики в 11 «А» классе Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств		Решение уравнений на языке Delphi Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	Урок: Информатика Математика Обобщить зун учащихся по темам «Электронные таблицы. Построение графиков функций с использованием информационных технологий»		Тема: «Программирование на языке паскаль. Оператор присваивания» Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	Обобщение опыта работы по использованию на уроках истории современных образовательных технологий Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств		Конспект и презентация к уроку информатики "Создание простейшего текстового редактора в Delphi" Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им.... Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств		План-конспект урока электрический ток. Сила тока. Источник тока Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	Учебно-методический комплекс дисциплины высокоуровневые методы информатики... Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств		Урок 2 Тема: «Классификация языков программирования. Трансляторы... Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств

Школьные материалы